偏微分方程数值解法对比研究

 社会的进步，科技的发展，越来越多复杂的计算问题涌现出来等待人类解决。在计算机没有发明出来的情况下，为了使得一些比较复杂的计算问题能够得到解决，许多科学家竭尽一生的精力进行研究思考，倾注了大量的心血。因此，数值方法便以解决复杂问题为目的应运而生。而其中至关重要的一部分便是偏微分方程的数值解。例如：人们想要得到精准无误的数据来预测天气变化情况，就需要人工计算。但是，需要求解成千上万的偏微分方程组。工作量之大，耗时时间之长，需要消耗大量的人力脑力。^[1]所以，这样的方法很不现实。此时，偏微分方程的数值解就显得非常重要了。而偏微分方程数值解中最重要的方法便是以下三种：有限差分法、有限元方法、有限体积法。对于任何一种数学问题的研究，我们在掌握它各种解决思路的同时，也应该更好的分辨每种解决方法之间细微的差别，以便对症下药，为今后可能遇到的数学问题寻找最佳的解决方法。

一、 应用范围和基本思路不同

一个问题的多种解决方法的本质区别便在于求解思想的差别，由于每种解决方法的求解思想不同，一些方法的基本思路由于更利于大众接受而被广泛利用，当然不能排除一些因素，例如解决方法的适用范围，另外，解题人的个人偏爱和解题方法操作的难易程度也会对偏微分方程数值解法的选择产生影响。

（一）有限差分法基本思路

应用于计算机数值模拟最早，可以说是有限差分法。一直到今天，该方法仍然被广泛运用。同其他的方法相比较，有限差分方法无疑是最年长，同时也是应用范围最广，也就是最有阅历的。这种方法首先要将需要求解的领域进行分割，划分为不同的网格。利用有限的网格节点来代替需要持续计算求解的领域。通过开展不同的方法，将网格节点上的不同数值间的差商来替代方程中的数值，进行缩小。达到需求数值组建代数方程组的目的。运用包含可以计数的在差分方程中的未知量，逐步接近并且渐渐产生可以代替的数值的微分方程和定解条件。同时，我们在差分方程求得的结果，就可以作为所需求的近似解。接着，把以前方程中出现的微分和在边界条件中出现的微分，使用差分来寻求近似。近似值同时也可以运用到机械求积公式中进一步使得其逐步的运用不同的条件转化成为差分方程组。在有限差分法中，最简便就是把微分问题变成代数问题，进一步求得近似值。这样得到的数据简洁直观，同时精准度更高。可以说，是一种发展较早同时比较成熟的一种数值方法。

（二）有限元方法基本思路

有限元方法的基本理论主要是变分原理和加权余量法。它主要是将所需计算的领域通过划分，变成可以计数的并不重复的单元。在不同的单元内，需求适合的节点作为插值点，最终得到一系列的插值函数组成的线性表达方式。以主要理论为基础，将微分方程分散求解。在选取了不同的数值以后，会形成不同有限元方法。通过利用得到线性组合不断接近方程的精确值，那么所有计算域内的解就能够看成是由所有单元上的近似解组成的。^[2]使用有限元法解题过程中，可以把求解域人为的分成许多的有限元的的小的相互接近的子域组成。接着，假设一个比较简单的近似值，针对所划分的所有小单元，逐步的演算出这个领域需要的条件，进而得到我们需要的答案。但是，求得的结果并不是精确值，而是近似的。总的来说，有限元法在计算精度上算是很高的，并且可以应对各种不同复杂的形状，是使用最多也是最有效的方法。最早的时候，这种方法应用于结构力学领域。随着计算机技术的持续发展，逐渐的可以应用于流体力学领域。相信随着科技的不断发展，将衍生出更多更便捷的方法来进行计算，解决科学以及工程中的问题。

（三）有限体积法基本思路

有限体积法的另外一个名字是控制体积法。它主要是将所需要计算的区域分割成为一系列的不重叠的可控制的体积。同时，将不同的网格点的四周都得到一个控制体积；接着将需要解决的方程进行一定方法的计算，得到一组离散方程。假如需要求出控制体积的积分，则需要设定假设值。将其插入到网格点间的分布剖面上。因此，可以得到有限体积法的基本方法就是子区域法。这种方法非常利于理解和认识，同时可以直接应用于实际。它最大的优点就是可以达到令人满足的守恒，就像是守恒原理。同有限差分法就离散方法相较来说，有限体积法即使在粗网格的状况下，依然能够展示出精确的积分守恒，而有限差分法只能在网格特别细密时，离散方程才有条件符合积分守恒。^[3]在实际的生活中，不同的工程由于具体的情况会产生各种复杂的状况或者难于解决的问题。而使用有限体积法，面对许多的复杂的问题，就能够得到更好的解决方式。同时，也可以更好的适应网格。在进行不同的分析时，与其他的方法可以进行完美的融合，比如：有限元法。

二、 解题步骤方面的不同

同样的问题会产生不同的解决方法，在具体的解决过程中会产生不同的解题思路。由于每种解决方法的求解步骤不同，因此所利用的原理亦不相同，产生的优缺点也各不相同，因此适用的范围也将不同。以下，将从不同解法出发，进行详细的阐释，让大家对偏微分方程数值解的不同方法有更为清晰、明确的认识。

（一）有限差分法解题步骤

在数学模型形成一定的系统之后，主要就是运用此种方法求解。主要的步骤中具体分为以下几步：第一，区域离散。将在偏微分方程中得到的区域，通过方法分成含有可以计数的格点的网格，即叫做网格的节点。第二，近似代替。运用所学的有限差分公式成为导数，能够代替其中的任何一个格点。第三，逼近求解。用另外的一句话说，在求解的过程都可以认为是使用一个插值多项式及其微分来代替其求解的过程。在一定意义上，以上方法可以在一定程度上达到使人满意的计算精度。在不断的求解过程中，方程中的数值解将不断减小变量间格，或是求得近似的数值，使用离散点上的函数值。按照一定的理论，要想求得更加精确的数值，那么网格步长就要逐渐的接近零。但是，人为或者机器计算是存在偏差的，所以说没有必要说一定取得特别小。它的收敛性这个时候显得尤为重要。例如：在二阶偏微分方程中，都可以进行相似的使用。在二阶偏微分方程的一般形式中，包括某有特征的物理量也就是常说的连续函数。在A、B、C为具体数值时，会出现三个方程形式。分别是：椭圆形方程，抛物型方程，以及双曲型方程。不同的方程形式会解决存在中的不同问题，同时还需要给出定界的三个不同条件。

（二）有限元法解题步骤

偏微分方程中的有限元法在求解过程中，可以比较随意的配置离散点，选取合适的数值和单元剖分密度，从而达到要求中的计算精确程度。具体的运用步骤如下:第一，剖分。首先把需要的区域进行分裂，分割成为可以计数的要素集合。每一个小的单元，原则上形状是可以随意的。这样可以使得计算更加简便，结果更加的准确。一般情况下，二维问题通常使用的形状为三角形或者是矩形；三维空间则使用的是多面体等。第二，单元分析。在分割的不同区域中，插入我们研究所得的数值，也就是说把任意单元中的任意点进行展开计算，从而建立一个线性的插值函数。第三，求解近似变分方程。把可以计数的单元将连续体的数值进行相应的缩小，提高计算的时空效率，同时分区域插值解决各种需要的问题。杆系结构的形状是一个杆件，而连续体的形状可以是三角形，四边形或者是六面体等等。^[4]不同的单元中，包含着可以计数的一些比较简单的函数。这些简单的函数集合是整个连续体函数的元素集合。接着，通过精确的计算，就都可以得到所需求的数值。现在，有限元法已经应用于各种大型或是专用程序。随着时间的推移，有限元法也不断的衍生出更多的解法，以便于解决更多的问题。

（三）有限体积法解题步骤

有限体积法易于人们理解和使用，并且可以得到合理的解释。它的最大的意义在于，使用有限体积法得到的离散方程，完美的体现了守恒性。就像在微分方程中因为不断变化的量而产生的不断变小的体积的原理守恒是同样的道理。同时，假设可以具有更加灵活性，解决了泰勒由于离散产生的一些缺点。其具体的步骤如下：第一，在计算过程当中，将需要计算的区域分割成为一连串的具有不重复的控制体积。使得各个得以控制的体积都可以有一个作为代表的节点，把需要求出的方程在随意的控制体积内或是具体的时间间隔内作积分。第二，提出不同的假设。面对需要求解的函数或者是导数，通过对它们的时间或者是空间的变化线做出可能的需要假设。进一步提高计算的精准度，达到所需要的数值，使得工程能够得到更好的解决。第三，整理。对于以上步骤当中出现的一系列的的线型，划分类别作出不同的整理。总结出，节点上的不可知量的离散方程的形式。这样得到的数值，最大限度的满足了守恒，数值更加的精确，整个计算推导过程更加的清晰。

 

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