一种新的自适应MCMC方法在金融市场风险VaR计算中的应用

1前言

伴随着经济和金融全球化的进程不断加快，金融环境和金融市场也发生了重大的变化，金融工具所蕴含的风险结构日益复杂。金融机构的这些危机也使监管当局频频出台新的政策,对风险管理提出了严格的要求。风险价值（Value-at-Risk，缩写VaR）理论正是在这个背景下产生的一种描述不同市场风险的度量方法。和传统的衡量风险的方式不同，VaR提供了综合分析投资组合的方法，即通过综合杠杆、相关性和目前头寸等因素得出结论。因其具有的前瞻性，VaR方法不仅适用于金融衍生品，也适用于其他金融工具，可从衡量市场风险扩展到衡量其他任何类型的金融风险[1]。

目前，对VaR的应用研究大多基于经典统计学推断，如常用的矩估计、极大似然法等，它们的主要缺点是计算结果的可靠性会受VaR低频高损的风险特点的影响[2]。针对现有VaR计算中主流方法的缺陷，本文提出了一种新的马尔科夫链蒙特卡罗方法——自适应Metropolis抽样方法，以我国股票市场投资风险的VaR模型为例，基于上证综合指数的变化，将自适应Metropolis方法应用于整个沪市大盘VaR的计算，并与传统的MCMC模拟结果比较，以考察自适应Metropolis方法在求解VaR时的优劣。

2 VaR模型介绍

2.1 VaR的定义

VaR是度量有价证券潜在金融风险的一种基本方法，其核心在于构造证券组合价值的概率分布。VaR的基本思想是利用资产收益率的历史信息来推断将来的情形，并用一个概率分布，而非一个确定的值，对未来价值波动的给出推断[3]。VaR可定义为，在一定持有期内，在一定的统计置信区间内，某一金融资产或证券组合所面临的最大潜在损失[4]。用数学公式表示：

                                         （1）

其中，为在持有期内某一资产（或资产组合）的市值变化，则表示给定的置信水平。更具体地说，就是在一定的市场条件下，对某一有价证券，对给定的时间区间和置信水平，VaR给出了该有价证券最大可能的预期损失。例如，某机构每天交易的有价证券在95%置信水平下，日VaR值为2000万美元，其含义是，在正常市场条件下，今后24小时内发生大于2000万美元亏损的概率只有5%，指出了该机构面对的市场风险以及出现不利情况的概率[4][5]。

2.2 VaR的计算方法

假设为初始投资金额，作为资产（资产组合）在持有期内随机的收益率，同时假设头寸是不变的，则该投资组合价值在时间期满时为。可看作是一个随机变量，其年度均值为，方差为。投资组合在某一给定置信水平下的最低回报率为，则在该置信水平下的最低价值。那么VaR可表示为公式：

                                    （2）

由上式可见，如果已知某置信水平下的和，就可以求出某投资组合在该特定置信水平下的VaR值。也可以说，持有期的长短、置信区间的大小和未来资产组合价值的分布特征是计算VaR值的三大要素。持有期即计算价格变动的时间间隔，持有期的选择需权衡诸多因素，通常持有期越长，预期的价格变化就越大，计算结果的风险也越大。置信度的选择则反映了投资者的风险偏好以及从事交易的谨慎程度。通常，金融机构采用的置信区间是90%-99%的范围。

在VaR计算过程中，存在的一个主要难点是证券（投资）组合的价值函数往往与市场因子呈非线性关系，而且市场因子的分布也往往不满足正态分布。目前计算VaR的主要方法包括历史模拟方法（Historical Simulation）、分析方法（方差-协方差方法）(Variance-covariance method)以及蒙特卡罗模拟方法(Monte Carlo Simulation)。历史模拟方法是一种非参数方法，对金融资产的回报不需要作分布上的假定，困难之处在于该方法要求大量的历史数据，计算量较大，原因在于必须对证券组合中每一个金融工具进行估价 [6]。分析方法是一种利用证券（投资）组合的价值函数与市场因子间的近似关系、市场因子的统计分布来简化计算方法，其优点是简化了VaR的计算，但要求市场因子必须服从正态分布、价值函数非线性程度低，而现实中往往无法满足这两个假定。为了克服分析方法在处理非线性证券组合时的缺陷，蒙特卡罗模拟法逐渐成为近年来学术界研究VaR计算的主流方法，但其本身也存在计算效率较低以及维数高、静态性两个重要缺陷。传统的蒙特卡罗模拟方法难于从高维的概率分布函数中抽样[3]。此外，经济问题中的变量都具有时变性，而蒙特卡罗模拟法采用抽样方法产生随机序列，均值和协方差矩阵不变，用静态的方法处理时变变量时难免会产生一定的偏差。为此，王春峰等（2010）[7]提出了一种基于MCMC模拟的VaR计算方法，提高了估算精度，较好地克服了传统蒙特卡罗法的高维、静态的缺陷，其关键之处是运用MCMC方法估计分布的参数，即均值向量和协方差矩阵。

3 自适应Metropolis方法

MCMC方法是一种有效工具，适用于复杂统计模型的贝叶斯计算，它能将一些复杂的高维问题转化为系列简单的低维问题。MCMC方法基于贝叶斯理论框架，通过建立平衡分布为的马尔可夫链，并对其平衡分布进行采样，不断更新样本信息，使马尔可夫链能充分搜索模型参数空间，并最终收敛于高概率密度区。因此，MCMC方法是对理想的贝叶斯推断过程的一种近似。

MCMC方法的关键在于构造有效的推荐分布，确保按照推荐分布抽取的样本收敛于高概率密度区。推荐分布的构造不同，导致的MCMC方法也不同。Gibbs采样方法[8-9]和Metropolis-Hastings[10]方法是目前在贝叶斯分析中应用最为广泛的MCMC方法，关键是确定参数的推荐分布和参数相关性的处理。由于参数先验信息较少，对于复杂模型来说，算法推荐分布的选择存在较大的不确性，导致参数最大后验概率密度区的推求非常困难，算法收敛速度十分缓慢。本文在前人的研究基础上，针对传统MCMC模拟方法存在的计算效率低的缺陷，提出了一种基于自适应Metropolis抽样的VaR计算方法。

3.1 自适应Metropolis抽样原理

针对常用MCMC抽样方法存在的搜索速度缓慢的问题，Haario等(2001)提出一种自适应的Metropolis算法。相比传统的Metropolis-Hastings算法，自适应Metropolis不再需要预先确定参数的推荐分布，而是由后验参数的协方差矩阵来进行估算。后验参数的协方差矩阵在每一次迭代过程后能自适应调整。第步参数的推荐分布定义为均值为，协方差为的多元正态分布形式，协方差矩阵计算定义如式（3）所示。

                          （3）

上式中：为初始协方差，在初始采样次数时，为克服算法初始阶段采样不稳定的影响，协方差取固定值；为一个较小的常数，以确保不成为奇异矩阵；为比例因子，依赖于参数的空间维度d，建议[10]；为d维单位矩阵。

第次迭代时，协方差计算公式可由式（4）推得：

                  （4）

式中：为前次迭代参数的均值；为前次迭代参数的均值。

自适应Metropolis的关键问题首先是定义第步参数的推荐分布，其次是定义接受概率，用于判断是否接受新产生的子本。AM算法的优势在于推荐分布随计算过程自动更新，不再需要事先指定。与传统M-H算法相比，参数同时更新，不再需要分组更新，大大减少了计算量。

                               （5）

自适应Metropolis的搜索遵循如下流程 [11]：

(1) 初始化，；

(2) 状态随机产生和接受；

(a) 根据公式（3）计算；

(b) 产生候补样本；

(c) 根据公式（5）计算接受概率；

(d) 产生随机数；

    (e) 若接受，否则；

(3) 重复(a)-(e)直到产生足够的样本为止。

3.2 算法收敛准则

自适应Metropolis算法应用上的一个关键是判断采样序列是否收敛到参数后验分布。理论上，一个各向同性的采样器在时必将收敛，但在实际应用中，我们必须确定算法收敛于稳定的后验分布所需要进行的采样次数。Gelman和Rubin在1992年提出了一种定量收敛判断指标对计算终止进行判断，称为比例缩小系数，计算基于每条马尔可夫链的方差，如式（6）所示。当采样序列的比例缩小系数接近1.2时，判断算法收敛于稳定的后验分布。

                              （6）

4 案例研究

4.1 数据

下面以我国股票市场投资风险的VaR模型为例，基于上证综合指数的变化，将自适应Metropolis方法应用于整个沪市大盘VaR的计算，以考察自适应Metropolis方法在求解VaR时的优劣。采用的样本数据是上证综合指数每日收盘价，样本区间从2005年1月4日至2009年12月31日的（时间以交易日为准），共计1215个样本，样本数据近似服从多元正态分布。定义某一时间的收益率公式为，其中为上证综合指数在时刻的价格。

4.2 结果与讨论

根据样本历史数据，运用自适应Metropolis方法估计分布的参数，即均值向量和协方差矩阵。根据参数模拟市场因子未来变化的情景，计算投资组合未来的潜在损益，最终得出给定置信水平下的VaR值。自适应Metropolis算法的参数设置：初始样本数为2000，马尔可夫链为2条，马尔可夫链长为20，计算次数为20000。舍弃每次采集样本前500个以消除初始化阶段的影响，具体模型计算过程通过Matlab语言实现。

将自适应Metropolis方法抽样所得的样本进行分析，可得参数和的基本统计性质。这两个参数的均值分别是0.213和0.017，方差为0.664和0.004，中值为0.218和0.018。概率2.5%时两参数值分别为0.196和0.0153，而概率为97.5%时为0.291和0.021。接着，将参数估值代入公式（2），可求得各置信水平下的VaR值，对比分析由自适应Metropolis算法、Gibbs抽样方法及极大似然方法估算所得的VaR值,可得结果：

1）置信水平和VaR值成正关，即置信水平越高，VaR值也就越大，这体现了投资者对风险的不同偏好。对风险厌恶型的投资者来说，在量化风险时为了降低投资风险，需要较高的置信水平，以便更加准确地锁定风险；而风险喜好型的投资者承受风险的能力比较大，在计算风险时可设置相对低的置信水平。如：置信水平在90%时，自适应Metropolis方法、Gibbs抽样方法、极大似然方法的VaR值分别是2.573，2.406和2.316，而置信水平为95%时，分别为2.926，2.917和2.904；99%时的数值为3.206，3.125和3.408。

2）基于自适应Metropolis方法和Gibbs抽样方法的各置信水平下的VaR值要大于传统的极大似然方法，这是由于自适应Metropolis方法和Gibbs抽样方法把分布的参数看作了随机变量，实际上增加了上证综合指数收益率分布的不确定性，因此，计算出的金融风险值一般大于把参数看作固定值时的风险值。

3）根据算法收敛判断准则，自适应Metropolis方法达到收敛需要的模型运算次数为2890，而Gibbs抽样方法需要进行6540次的迭代，自适应Metropolis的收敛效果优于传统的Gibbs抽样方法。

4）根据算法运算时间看，自适应Metropolis方法的运算时间为77s，而Gibbs抽样方法需要185s的运算时间，前者的搜索性能要优于后者，究其原因，主要是自适应Metropolis方法的协方差矩阵随着抽样过程能自适应的调整，确保马尔科夫链朝着最高后验概率密度区进化，最终收敛于一个平稳的目标分布。

5 结论

本文针对传统MCMC方法计算VaR值时存在的缺陷，提出了一种自适应Metropolis抽样方法。以我国股票市场投资风险的VaR模型为例，基于上证综合指数的变化，将自适应Metropolis方法应用于整个沪市大盘VaR的计算，分析了新方法在推求模型参数后验分布的搜索性能和效率，计算结果表明，自适应Metropolis抽样方法能有效确保参数推荐分布向目标后验概率分布演化，且参数推荐分布在计算过程中自动更新，其整体计算效率和解的精度要明显优于传统的MCMC算法，是求解股票市场的不同置信水平VaR值的高效方法。此外，将这种比较新的模拟方法应用到金融领域中，克服了基于经典统计学推断估计VaR不准确的缺陷。

参考文献：

[1] 曹飞凤，基于MCMC方法的概念性流域水文模型参数优选及不确定性研究[D].浙江大学，2010.

[2]苏涛.金融市场风险VaR度量方法的改进研究[D].天津大学,2007.

[3]赵岩,李宏伟,彭石坚.基于贝叶斯MCMC方法的VaR估计[J].统计与决策,2010（7）.

[4]邱阳,林勇.VaR模型及其在股票风险评估中的应用[J].重庆大学学报(社会科学版),2002(2).

[5]严武，季军.基于VaR的股票风险管理模型比较研究[J].当代财经，2004（12）.

[6]钟波,汪青松.基于Bayes估计的金融风险值—VaR计算[J].数理统计与管理，2007(5).

[7]王春峰,万海辉,李刚.基于MCMC的金融市场风险VaR的估计[J].管理科学学报,2000(2).

[8]Gelfand A E, Smith A F M.Sampling based approach to calculating marginal densities[J].Journal of the American Statistical Association, 1990(, 85).

    [9]Geman S, Geman D.Stochastic relaxation,Gibbs distributions and the Bayesian restoration of images[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1984(6).

    [10]Metropolis N, Rosenbluth A W, Rosenbluth M N, et al. Equations of state calculations by fast computing machines [J]. J.Chem. Phys.,1953(21).