分段函数的求导方法探索——数学论文

    对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，不要把它看作是几个函数。分段函数的定义域是各段函数定义域的并集;值域也是各段函数值域的并集。所以，对于分段函数的求导，既要考虑它的特殊性，分段点处的左右表达式不一致，又要考虑它的整体性，它是一个函数。

例1：设函数求.

解法一：当时，,=3；

当时，=3；

所以，=3.

解法二：当时，；

当时，；

不存在.

解法三：；

；

所以不存在.

    分析:解法一利用导数公式求左导数和右导数，简单快捷，若某点处的左导数等于右导数，则这点处的导数存在，但忽略了导数存在的前提是函数在该点处连续，这是一类常见的错误.解法二首先判断函数在该点处是否连续，因为连续是可导的必要条件，不连续肯定不可导，所以解法二简单正确.解法三从左右导数的定义出发，分别求出左右导数，因为左导数不等于右导数，所以该点处导数不存在,解法三也正确.

    函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的对应法则决定的.对于初等函数，这种依赖关系是用一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量对应法则的数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，除非函数在分段点处连续，因此要么直接用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在且相等，要么先判断分段点处是否连续再利用导数公式求左右导数.

例2：设函数，求.

解法一：时，，所以=.

解法二：，=.

所以在处不连续，

所以在处不可导。

解法三：.

因为函数在处的左导数不存在，所以函数在处的导数不存在.

    分析:解法一中，虽然和的表达式一样，但仍需要考虑分段点处是否连续的问题，因为这点可能是跳跃间断点，所以解法一错误.连续是可导的必要条件，一定要在用导数公式之前先验证分段点处的连续性.解法二利用连续与可导的关系先判断函数在分段点处是否连续，把握住连续的定义，左右极限相等但不等于该点处函数值，所以函数在分段点处不连续，所以函数在分段点处不可导，简洁明了.解法三利用导数的定义先求左导数，左导数不存在就没有必要再求右导数了，解法三也一目了然.

例3：设函数，求.

解法一：=)’=2+=(2 -)，因为在处此式无意义，

所以不存在

解法二：，=；

所以在处连续；

==；

所以.

解法三：==0；

所以.

    分析:解法一犯了两个错误，既没有考虑连续，又用错了导数积的求导法则，没有考虑前提条件必须是乘积的两部分都可导才能利用求导法则，而且仅在时求得的’()，不能用它在处无意义就去判定函数在处不可导.解法二利用连续与可导的关系先判断函数在分段点处是否连续，在连续的前提下进一步再求在该点处的导数，此时发现利用导数公式并不是那么简单的，而且也不能把直接代入，所以结果错误.解法三利用导数的定义求导数，利用无穷小量的性质，结果很容易得出，简洁正确.所以在平时做题时不要故意避开利用定义求导数，在此例题中这种方法还是最简单最行之有效的方法。

例4：设函数 ,求.

解法一：’()=)’=+=( -)=0

所以.

解法二：，=

所以在处连续

==0

所以.

解法三：==0

所以.

    分析:解法一同样又没有考虑连续，导数积的求导法则也应用错误，结果正确但过程错误.解法二利用连续与可导的关系先判断函数在分段点处是否连续，在连续的前提下进一步再求在该点处的导数，此时利用导数公式不是那么得心应手了，而且也不能直接代入，结果正确但过程错误.解法三利用导数的定义求导数，过程简单，一目了然.

    通过以上四个典型的例题分析了分段函数求导数的问题，我们可以总结出求分段函数的导数，首先应该考虑函数在分段点处是否连续，若连续再求左右导数，判断左右导数是否相等，若不连续，直接得出结论就可以了.当然也可以直接利用导数的定义求分段点处的左右导数.分析问题时要从其本质入手，找到最核心的部分，从而解决这个问题.