高中数学中的“新定义”趋势的探究-数学论文

新定义问题主要指学习新的数学概念,新的数学定理、公式和法则;学习新的数学方法。在这类问题中经常出现过去没有学习过的概念、定理、公式和方法。通过叙述有比较简略,比较抽象,又较少说明性的语言,由于高考时间的限制,要求学生在短时间内通过阅读,对新知识加以理解和应用。
要解决好“新定义”问题,首先要通过阅读理解题目中每一个句子的含义,深入理解新的概念的本质属性,分清新的性质、法则、公式、定理的条件和结论,理解掌握新方法。在这基础上,才能有效解决相关问题。
三、实例解读热点问题——“新定义”题型
题型一“新定义——运算”
新定义运算问题这类问题要求大家理解题目所给出的新的运算形式,把这种运算转化为常见的运算.即:“新定义、旧运算”的本质,去体会“遮遮掩掩似新人,揭去面纱是故人”的思想方法。
例题1:对于正实数定义一种运算,其规则是:当时;当时,根据这个规则,求不等式的整数解。
分析:该题目拨去面纱就是一个分段函数,即,
解:,
当时,解得整数解为
当时,,解得整数解为
综上,不等式的整数解为或。
例题2:对任意正整数,定义的双阶乘,如下:
当为偶数时,
当为奇数时,
现有四个命题:①,②③的个位数字为0④的个位数字为5,其中正确命题序号是________________。
分析:类比阶乘的概念,“新定义”双阶乘的概念,既考查对原有知识的掌握情况又考查对新知识的迁移能力。
解:①
②
③,,,,…,的个位数字为0
④
,④的个位数字为5
所以,正确的是①③④
题型二“新定义——概念”
例题3:对于集合和常数,定义为集合相对的“余弦方差”。
求证:集合相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值。
分析:类比方差的概念,新定义“余弦方差”概念,抓住题的本质即:三角问题化简该式子为常值。
证明:
三角问题遇到平方和的情况,一般先进行降幂
例题4:对于函数,若同时满足以下条件:
①在上单调递增或单调递减;
②存在区间,使在上的值域是,那么我们把函数叫做闭函数。
(1)求闭函数符合条件②的区间;
(2)判断函数是不是闭函数?若是,说明理由,并找出区间;若不是,说明理由;3
(3)若是闭函数,求实数的取值范围。
分析:本题的命题意图是考查学生的学习新知识的能力,要求学生在题目给出的两个条件来理解、掌握、运用一个崭新的概念“闭函数”。并要求学生立即将“闭函数”与函数有关的性质,定义域、值域、单调性等结合起来,又通过几个不同的侧面进行提问,考查学生对新定义概念的本质的理解能力。