充要条件的判断与证明

若条件与结论互相不能推出，则既不是充分条件也不是必要条件。
（三）理解3：从集合观点看
二、充要关系的判断
（一）定义法：根据推出式及定义判断
例1.指出下列各命题中，命题p是命题q的_________条件。
（1）p：两个三角形的面积相等，q：两个三角形全等。
（1）∵条件p不能推出结论q，结论q能够推出条件p
∴p是q的必要而不充分条件
（2）∵（条件p）能够推出（结论q）
（结论q）不能够推出（条件p）
∴p是q的充分而不必要条件
（3）∵
∴p是q的充分必要条件
说明：用定义法进行判断有以下两个步骤：
（1）分清条件与结论（2）找推式并判断真假（3）根据定义得结论。
（二）等价法：将命题转化为与之等价又便与判断真假的命题
例2.曲线C的方程为F(x,y)=0
命题甲：点P的坐标适合方程F(x,y)=0
命题乙：点P在曲线C上
命题丙：点Q的坐标不适合方程F(x,y)=0
命题丁：点Q不在曲线C上
已知：命题甲是命题乙的必要而不充分条件，试判断命题丙与命题丁之间的充要关系。
解析：∵命题甲是命题乙的必要而不充分条件，即“点P在曲线C上，则点P坐标适合方程F(x,y)=0”为真，∴其逆否命题“点P坐标不适合方程F(x,y)=0，则点P不在曲线C上”也为真。∴命题丙可以推出命题丁，又命题甲是命题乙的不充分条件，∴命题丁不能推出命题丙。∴命题丙是命题丁的充分而不必要条件，命题丁是命题丙的必要而不充分条件。
说明：对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般采用等价转化法。
说明：用集合法判断时，常用图示法，形象、直观的简化过程，降低思维难度，便于学生理解接受。
（四）逻辑判断法
例4.下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
解析：
①图中，A闭合，B亮；而B亮时，A不一定闭合。所以A是B的充分而不必要条件。
②图中，A闭合，B不一定亮；而B亮时，A必须闭合。所以A是B的必要而不充分条件。③图中，A闭合，B亮；而B亮时，A必闭合。所以A是B的充分必要条件。
④图中，A闭合，B不一定亮；而B亮时，A不一定闭合。所以A是B的非充分非必要条件。
三、利用充要条件等价转化命题
直接求解某一个问题比较困难时，可以先寻求它的充要条件，使原问题等价转化成一个比较熟悉的问题，从而使问题顺利得到解决。
例5.如果一元二次方程有两个不相等的正实数根，求实数k的取值范围。
解析：方程有两个不相等实数根的充要条件为
从而求得k的取值范围是。
说明：判断充要条件的关键是抓住推出式，而合理利用数学定理、集合的包含关系、逻辑推理证明是判断充要条件的主要工具。
在充要条件的教学中，对定义的正确理解是基础，正确判断充要关系是重点，利用充要关系解决相关问题是关键。所以在教学中，要使各类知识融会贯通，合理培养学生的逻辑思维能力。