对投入产出数学模型的认知及案例分析

 一、投入产出数学模型的分类
投入产出数学模型有多种分类方法，但从大体上可以分为两类：一类是闭模型，在这类模型中所有产品都被参加生产的部门全部消耗；另一类是开模型，在这类模型中产品的一部分被参加生产的部门消耗，而其余部分由其他部门消耗.当然我们平常接触得最多的是开模型的投入产出数学模型，其按照不同的情况有多种不同的分类方式：（1）按反映的时期分为动态型与静态型.（2）按计量单位的不同分为劳动型、能量型、价值型、实物型等.（3）按资料范围分为国家型、地区型、企业型等.（4）从统计的对象分为随机型与离散型.（5）按资料的性质和内容分为报告期和计划期两类.
二、投入产出数学模型的功能
投入产出数学模型可以清楚地反映国民经济各部门、再生产各环节以及产业结构之间的内在联系，从而进行情况分析、经济预测、制订计划及计划调整.其在经济分析方面有非常多的用途，比如：（1）研究和确定国民经济中许多重要的结构分析，如三大产业之间的结构比例关系、储蓄和消费的比例关系等.（2）研究某些产品的价格变动对其他产品价格的影响，即对价格变动幅度的关系进行分析与讨论.（3）研究生产与消耗部门之间如果结构发生变动对各部门所产生影响的相互关系.（4）研究农村教育状况、农村基础设施的投入水平对新农村建设的影响.（5）研究分析污染治理设施投资对经济的影响和污染治理设施运行成本对经济的影响等.在制订或调整计划方面，它也有多种用途，比如：（1）对经济前景进行分析、预测从而制定最优发展规划.（2）制定科学合理的产品价格.（3）根据情况变化对各部门进行综合平衡.（4）预测未来各类需求情况.（5）构建各类投资对经济贡献的大小及比例等.
三、投入产出平衡表及基本平衡方程
2.基本平衡方程
产品分配平衡方程：xi=∑nj=1xij+yi （i=1，2，…，n），矩阵形式：x=Ax+y
产值构成平衡方程：xj=∑ni=1xij+Nj（j=1，2，…，n），矩阵形式：x=Dx+z
直接消耗系数：aij=xijxj （i，j=1，2，…，n）
四、投入产出数学模型的案例分析
例1 假设某经济系统由三个部门金属、石油、电力构成，每个部门各生产一种产品，本年度它们的生产和消耗情况如下表所示（单位：亿元）.
问题：据预测，两年后总产量需要分别增长30%，20%，40%，求最终产量的增长情况.
解 设该经济系统计划期总产出和最终产品分别为X=x1，x2，x3T，Y=y1，y2，y3T，
则该系统的金属部门总产量为x1=900（1+4%）=1170，石油部门总产量为x2=800（1+20%）=960，电力部门总产量为600（1+40%）=840.从而
A=0.2780.1250.3330.1110.1880.1670.1690.1250.167，E-A=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833，
Y=E-AX=445.02509.37381.99.故两年后三个部门的最终产量分别为：金属部门445.02亿元，石油部门509.37亿元，电力部门381.99亿元.于是可以预测两年后三个部门最终产量的增长幅度分别为：
金属部门增长：445.02-350[]350=27.15%，
石油部门增长：509.37-450[]450=13.19%，电力部门增长：381.99-250[]250=52.79%.
例2 在上例中，如果市场预测四年后的消费需求量（最终产量）为y4=600800450，求所需要的总产量.
解 由AX+Y=X得X=E-A-1Y4，
即x1x2x3=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833-1600800450=1.6050.3570.7130.2951.3360.3860.3660.2271.401600800450=1569.451419.501031.65.
即四年后各部门所需要的总产量为：金属部门1569.45亿元，石油部门1419.50亿元，电力部门1031.65亿元.也就是说，我们根据市场预测的需求总量，得到了若干年后所需要的总产量，从而为下一步制订出科学合理的计划打下了科学的基础.
五、结束语
由以上案例可以看出，投入产出数学模型是一种非常重要的具有深厚意义与价值的研究工具，不管是对宏观经济的研究还是对微观经济的研究都有无可替代的作用.当然，对于投入产出数学模型本身的研究还远远没有结束，还有很多需要进一步深入研究的地方.目前投入产出数学模型研究的发展趋势是把投入产出法与线性规划、非线性规划、动态规划模型等相结合，从而编制最优化模型.
【参考文献】
[1]赵树嫄.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，1997.
[2]张双德.经济与管理中的数学方法[M].天津：天津人民出版社，1995.
[3]广州科技职业技术学院数学教研室.投入产出数学模型[OL].2012，[访问时间：2012-06-28]http：∥jp.gzkjxy.net/2010/sx/jxzy/xs/321.html.