“类比”在高中数学教学中的应用-数学论文发表

摘要：高中数学中有许多同一知识体系中的不同概念及不同知识体系中的相关概念具有相同或相似点，在教师的教学与学生的学习过程中，可根据其相似性对它们进行类比，根据已经学过的知识推导出新的知识，既可让学生在学习中学得轻松，也可以很好地培养学生良好的思维品质，提高学生学习数学的兴趣。

关键词：类比 概念  性质  结论  方法

类比方法是数学发现中最常用、最有效的方法之一，是从特殊到特殊、特殊到一般、或从一般到一般的间接逻辑推理方法。通过对两个或两类对象进行比较，找出它们之间在某些关系或性质上的相同或相似点，以此为依据，推测它们在另外的关系或性质上的相同或相似的结论。这是一种合情推理，尽管逻辑依据不是很充分，类比的结果具有或然性，但是，良好的类比给出的“相似”比较接近于事物的本质，只要通过验证即行了。高中数学中的代数、立体几何以及解析几何中有许多的概念、定理、性质、结论等有许多的相似之处，正因为它们有着惊人的相似，所以在学习中可以将相似的概念等进行类比，通过类比的方法去理解、去体会，便可加深对所学知识的认识与理解，从而提高学习效率。

1、等差数列与等比数列中的类比

等差数列与等比数列是高中数学的重要内容之一，也是高考中的热点内容。对于这两个特殊的数列，它们的定义分别是：对于一个数列{a_n}，如果从第二项起，每一项与它前面一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列；如果从第二项起，每一项与它前面一项的比值都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。根据其定义的相似性，在学习其性质时，不妨将它们进行类比。对于等差数列与等比数列的类比，有如下的关系：

（1）等差数列 用“差”定义 用“加法”表述性质

类比　　　  　 类比

等比数列 用“商”定义 用“乘法”表述性质

即在等差数列中用“差”或“和”表述的性质，在等比数列中类比可得到相应的用“商”或“积”表述的性质。如：

① 在等差数列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且成等差数列，则a_m、a_n、a_r、a_s成等差数列，即a_n－a_m＝a_s－a_r；

在等比数列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且成等差数列，则a_m、a_n、a_r、a_s成等比数列，即 ＝  。

② 在等差数列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且m+n=r+s，则a_m+a_n=a_r+a_s；

在等比数列{a_n}中，若m、n、r、s∈N，且m＋n=r+s，则a_m·a_n=a_r·a_s 。

③ 在等差数列{a_n}中，S_n为前n项的和，则S_k, S_2k-S_k, S_3k-S_2k, …成等差数列；

在等比数列{a_n}中，T_n为前n项的积，则T_k, , ,…成等比数列。

（2）等差数列中“某些项的和为0”可类比得到等比数列中“相应项的积为1”。

例1、（2000年上海卷）在等差数列 中，若 ，则有等式

成立，类比上述性质，相应地：在等比数列 中，若 ，则有等式                   成立.

分析：根据等差数列与等比数列中的类比方法，同时等差数列中的“0”与等比数列中的“1”类比，并且注意已知条件中“n＋（19-n）=2×10”，便可得到相应结论：

在等比数列 中，若 ，则有等式 成立.

评注：一般地，对等差数列 ，如果 ，则

。所以有：

）（ ）。从而对等比数列 ，如果 ，则有等式： 成立。

（3）等差数列中的“n分之一”可类比得到等比数列中的“n次方根”。

例2、若数列 为等比数列，且 ， ，则数列 也为等比数列，类比上述性质，若 为等差数列， 　　　　　　　，则数列 为等差数列。

分析：由上述类比方法可得结论：

若 为等差数列， ，则数列 为等差数列。

（4）等差数列中“某项的n倍”可类比得到等比数列中的“某项的n次幂”。

例3、等差数列 的前n项的和记为S_n，则 ，若等比数列 （ ＞0）的前n项的积记为T_n，类比等差数列的前n项的和公式，可得结论：T_n＝　　　　　　　　。

分析：等差数列中的两项的和可类比得到等比数列中相应两项的积，和的n倍可类比得到积的n次幂，等差数列中两项和的二分之一可类比得到等比数列中两项积的平方根，于是可得结论： ，或写成： （证明略）

通过类比加深了学生对知识的理解，便于学生记忆与应用。

2、函数中的类比

反函数是高中数学中的一个重要概念，根据反函数与其原函数之间的关系，在讨论反函数的性质时，将其与原函数进行比较，可以体现数学中的对称美。

根据反函数的定义及求法，不难发现原函数与反函数之间存在x与y互换的性质。比如，原函数的定义域与反函数的值域的对应关系、原函数的图象与其反函数的图象之间的对称关系无不反映这一点，在指数函数与对数函数的学习中，便可利用这一互为反函数的关系进行学习，在讨论对数函数的性质时，只要将指数函数的相应性质的“x”、“y”互换，即可得到对数函数的性质。

3、平面几何与立体几何的类比

在空间问题与平面问题的类比中，通常可抓住几何要素的如下对应关系作类比：

 　 多面体         多边形；         （平） 面          边（直线）

        体 积          面 积 ；        二面角（多面角）        平面角

     面 积          线段长；          … …

例4、如图1，在三棱锥A－BCD中，截面B₁C₁D₁平行于底面BCD，若三棱锥A－BCD的体积为1， ，则三棱锥A－B₁C₁D₁的体积为    　  。

面积之比等于相似比的平方，则类比可得到在                           

立体几何中，两个相似多面体的体积之比等于

相似比的立方，此题中的三棱锥A－B₁C₁D₁与

三棱锥A－BCD是相似多面体，由已知可求得

AB₁＝AB，因此可求得 。

这种通过对知识的归纳类比，并总结出一般的结论的思考方法是学习数学的一种基本的方法，它有助于我们养成良好的思维习惯，不断地对知识进行归类整理，使所学知识系统化。

4、平面向量与空间向量的类比

平面向量与空间向量的定义、运算法则及它们的坐标运算都是一样，只是维数不同，因此在高二（下B）学习空间向量时，完全可以在高一平面向量的基础上通过类比的方法进行学习。在平面向量中的一些结论可利用类比的方法得到空间向量中的结论，如：

（1）“平面向量中，两个向量 与 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使 ＝λ ”，类比可得“空间向量中，三个向量 、 、 （ 与 不共线）共面的充要条件是存在唯一的一对实数λ与μ，使得 ＝λ +μ ”；

（2）“平面向量中，A、B、C三点共线的充要条件是对平面内的任意一点P，存在实数λ与μ，使得 ＝λ +μ ，且λ+μ＝1”，类比可得空间向量中，A、B、C、D四点共面的充要条件是存在实数λ、μ与ω，使得 ＝λ +μ ＋ω ，且λ+μ+ω＝1”；

（3）在平面向量中有平面向量基本定理：如果 与 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且仅有一对实数 ，使 ＝ ，在空间向量中，可由此类比得到空间向量基本定理：如果 、 、 是空间三个不共面的向量，那么对于空间的任一向量 ，有且仅有一组实数 ，使 ＝ ；

5、解析几何中的类比

解析几何中的椭圆、双曲线的定义非常相似，从定义上看，仅仅是“和”与“差（的绝对值）”的区别，并且它们有统一的第二定义，它们的第二定义也仅是常数e的取值范围不同。因此，在讨论了椭圆的几何性质后，便可类似地得到双曲线的相应的几何性质，如它们的范围、对称性、离心率等。

例5、（2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值。试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明。

分析：根据椭圆与双曲线的定义与性质的相似性，可得结论：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值。    

（证明略）。

6、在解题策略中通常采用规律类比、数形类比、形式类比等

解题过程中，借助类比将陌生对象和熟悉对象、未知规律和已知规律相互类比之后，往往达到启发思路、举一反三的效果。

例6、计算D=sin(α₁+α₁)sin(α₂+α₂)sin(α₃+α₃)+sin (α₁+α₂) sin (α₂+α₃) sin (α₃+α₁)+ sin(α₁+α₃)sin(α₃+α₂)sin(α₂+α₁) - sin(α₂+α₁)sin(α₃+α₃)sin(α₁+α₂)-sin(α₂+α₃)sin(α₃+α₂)sin(α₁+α₁) - sin(α₃+α₁)sin(α₁+α₃)sin(α₂+α₂) 。

分析：由求解式的构成特点、规律类比到三阶行列式，从而

     sin(α₁+α₁)  sin (α₁+α₂)  sin(α₁+α₃)      

 D=  sin(α₂+α₁)  sin(α₂+α₂)   sin(α₂+α₃)   

sin(α₃+α₁)  sin(α₃+α₂)   sin(α₃+α₃)      

  sinα₁  cosα₁     0     cosα₁    cosα₂  cosα₃    

=  sinα₂  cosα₂     0 ·    sinα₁   sinα₂   sinα₃      = 0.

   sinα₃   cosα₃     0      0       0       0

例7、求满足方程组   y = 4x³ – 3x,

                     z= 4y³ – 3y,

                     x= 4z³ – 3z.  的实数（x,y,z）。（1990北京IMO集训题）

分析：由每个方程的形式联想三倍角的余弦公式，用三角法。首先证明 ≤1，用反证法 ＞1由y = 4x³ – 3x=x(4x²-3)→ ＞ .同理 ＞ 、 ＞ ，矛盾。

因此可设x=cosθ，0≤θ≤ , 则 y=4cos³θ-3cosθ=cos3θ， z=cos9θ，x=cos27θ. 提出cosθ-cos27θ=0 → sin13θsin14θ=0,θ有27个解：

θ= ，k=0,1,2,┈,13;或者θ= ，k=0,1,2,┈,13。

所以，（x,y,z）=（cosθ,cos3θ,cos9θ）,其中θ= 或 且θ=0，1，2，┈,13。

另外，除了上述概念、定理、性质之间的类比即解题方法的类比外，还有从特殊到一般的类比等等。

总之，知识的类比，实际上也就是新旧知识的迁移；方法的类比，也就是对知识的归纳与总结。张雄将类比分为简单共存类比法——根据对象之间具有简单共存关系而进行类比推理；因果类比法——根据对象的属性间可能有同一种因果关系而进行的推理；对称类比法——根据对象属性之间具有对称性而进行的推理；协变类比（数学相似）法——根据对象属性之间具有某种确定的协变关系（即函数变化关系）而进行的推理；综合类比法——根据对象属性的多种关系的综合相似而进行的推理，数学中有降维与升维类比，等。作为教师，在教学中应该有意识地教给学生如何去进行类比，引导学生通过对新旧知识的对比，找出它们的差异与相似的地方，通过类比得出新的知识，有助于学生对知识的理解与掌握。同时，只要学生学会了正确的方法，则可提高学生学习数学的兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的自学能力。 

参考文献：

[1]杨燕，崭露头角的研究型试题，[Z]，中学数学教学参考，2002.8

[2]张同君，《中学数学解题研究》，[M]，东北师范大学出版社，2002.5

[3]顾国章，高考对类比推理的考查，[Z].，中学数学，2005.2

[4]张雄、李得虎，《数学方法论与解题研究》[M]高等教育出版社，2003.8