基于量子三叉树的量子Black—Scholes期权定价

 量子金融是量子概率应用于金融市场的研究，体现了期权定价[1]思想上的创新。目前，国内外学者在这方面已做了一定的工作。陈泽乾[2]提出二项式期权定价量子模型。E.Sega[3]用量子效应解释在金融市场期权价格的不规则变化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系统中，Black-Scholes模型的具体含义。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理论的有息债券欧式期权利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier变换和量子算符模型分析股票信息与价格的关系。本文建立了量子三叉树模型。根据期权折现流在量子概率下是一个鞅过程，给出了量子概率在金融问题中的作用。同时根据Tailor公式，用量子力学过程代替经典随机过程描述股票价格，在股票价格St遵循量子Brown运动的情形下，得到连续量子B-S模型。实例应用和Matlab仿真都证实了量子B-S的有效性。一方面简化了期权计算，另一方面更好地揭示了金融市场的量子特征。
1 量子三叉树模型
2 连续量子Black-Scholes模型
定理2. 量子期权平价公式
在任意一个时刻t证明：在t=0时刻，由文献[9]可以构造两个量子投资组合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。
设Vt（φ）是投资组合φ在时刻t的财富值，考虑上面两个量子投资组合，在t=T时刻的值
VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}
VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}
故VT（φ1）=VT（φ2），从而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。
有了量子期权平价公式，由量子B-S算出看涨期权的价格，就可以得出看跌期权的价格。
4 实例应用
5 量子欧式期权敏感性[10]应用
以下是用MATLA对欧式期权敏感性做的仿真：
图1和图2表示期权标的物的价格波动性变动对期权价格的影响程度，数学表达式■，f为Black-Scholes期权定价公式中期权价格函数C。颜色反映灵敏度，下面是量子图，它比上面的经典图更能体现细微的波动值的变动。
6 结论
本文以量子概率的角度，利用量子力学理论建立了量子三叉树和量子Black-Scholes模型，处理了复杂期权定价问题。实例应用和敏感性分析都证实了量子B-S模型的有效性，量子期权图对金融市场标的物的价格细微波动变化反应更敏感，更能体现金融市场的量子特征。