注重培养数学思维—提高解题能力-数学教学论文

摘要： 教学实践表明，课堂例题教学是培养学生数学思维，提高解题能力的一种十分有效的教学形式，本文结合典型数学例题的变式教学及一题多解的解题过程，阐述了如何培养学生的数学思维能力，提高解题能力。

关键词： 数学思维  解题能力

数学课堂教学离不开解题的教学，解题不仅仅是巩固知识，掌握解题方法，更重要的是训练学生的数学思维的极好方式。在我们的教学中，对待解题采取不同的态度和不同的方法，其效果是大不相同的。

现在，有不少中学数学教师在高考的压力下，收集各种题目搞“题海战术”；大运动量练习，以为这样就能使学生学好数学，其实这样做并不能真正教会学生解题。因为这些题目是“鱼”而不是“渔”，老师是向学生“售鱼”而非“授渔”。

新《课标》提出了中学数学教学新的理念，其中重要的一条就是要把向学生“售鱼”改变为“授渔”。为此我们又应如何去做呢？下面结合本人在解题过程中的教学实践，谈几点看法。

一、改变传统的教学观念

教师对学生的数学学习和解题，要改变灌输和强迫的做法，倡导积极主动，勇于探索的学习方式，要引导学生进行自主探索，动手实践，合作交流，阅读和自学，使学生在学习过程中成为“再创造”的过程，激发学习兴趣，体验成功的乐趣。

二、要注重提高学生的数学思维能力

数学思维是经历直观感知，观察发现，归纳类比，空间想象，抽象概括，符号表示，运算求解，数据处理，演驿证明，反思与建构的思维过程。为此在解题教学中，老师应从不同的角度，用不同的知识采用不同的思考方法，一题多解，通过比较、分析、启迪思维寻求更巧妙的解法，从而培养思维的灵活性，深刻性，广阔性，提高数学思维能力。解题过程是培养数学思维能力的过程，要求学生做到以下几点：

1、要正确理解数学概念，熟练掌握数学基础知识；

2、要进行基础应用的快速练习，形成基本技能；

3、要强化推理形式的规范化的培养和训练，使学生养成理论指导推理的习惯，避免机械套用数学公式；

4、要及时做到解后“三思”：“一思”解题思路和策略是否可取；“二思”解题过程和方法是否最佳；“三思”如何变换题目的条件和结论，以领悟其中的解题方法和规律，这是关键一点。

通过解题培养学生的数学思维，就要选编典型问题，要求老师遵循以下原则。

a)        对课本上的典型例习题挖掘引申

例习题教学应使学生得到一个完整的知识结构，使学生全面地认识理解要掌握的内容，并学会从不同角度运用不同方法去思考，探究问题，研究其内涵与解法，充分“挖潜”研究，通过改变题目的条件或结论变更问题，从而引发或衍生出若干个问题，激发学生的学习兴趣，引导鼓励学生探索研究，通过探求过程学会进行创造性思维的有效方法，达到提高学生发散思维能力的目的。

例如在解“直线与抛物线的位置关系”例题时，可让学生参与以下变换探求。

例：过抛物线y²=2px的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两个交点的纵坐标为y₁,y₂。求证： y₁y₂=-p²  在学生做过后，引导学生在题设条件不变情况下，将结论进行相似拓展。

变题１：条件同上题，若两个交点的横坐标为x₁，x₂。 求证：x₁x₂=p²/4

指导学生证明后，进一步由特殊到一般，将“过焦点”推及到对称轴上任一点，使问题得以引申。

变题2：设M(a,0)是抛物线y²=2px对称轴上任一点过M的直线交抛物线于Ａ、Ｂ，纵坐标y₁,y₂.求证：y₁y₂=-2pa  x₁x₂=-a²

证后可以看出原题是变式２的特例：a=p/2再进一步引导学生交换题设的条件与结论，探求如下：

变题3：过抛物线y²=2px对称轴一点与抛物线相交两个交点的纵坐标y₁,y₂且y₁y₂=-p²。求证：直线一定过焦点F。

如果继续更换条件，对题目引申改造还可得到其它探索性问题，这里仅举3变式为例进行变式探求教学。充分展示例题教学的功能，提高创新思维能力。

b)      多选择一些难度中等且有一定综合性、灵活性的题目。

c)      多选择一些能突破定势，容易混淆的题目，通过学习解题加以针对性的弥补，完善学生的认知结构，促其养成良好的思维习惯。

d)     多选择一题多解，沟通知识，培养发散思维的题目。

一题多解主要考查同学们横向发散思维能力，横向发散思维指的是依据试题给出的条件，使各式各样的信息输出而形成思维过程，它的主要特点是多渠道、多途径去分析、探索解决试题的方法，活跃并拓宽思路，使所学知识连成片，融会贯通，提高学习效率。现举一例如下：

例如  求证：(sinx＋cosx)(sin2x＋cos2x)＝cosx＋sin3x
若说明解本题的方向是和差化积与积化和差公式的合用，则学生一般只有以下两种做法：
   [证法1]：左边＝[sinx＋sin(90°－x)][sin2x＋sin(90°－2x)]
                ＝4sin45°cos(x－45°)sin45°cos(2x－45°)
                ＝2cos(x－45°)cos(2x－45°)＝cos(3x－90°)＋cosx 

＝cosx +sin3x＝右边。                                                                 
   [证法2]：左边＝sinxsin2x＋cosxcos2x＋sinxcos2x＋cosxsin2x
                ＝ (－cos3x+cosx+cos3x+cosx+sin3x－sinx+sin3x+sinx)
                ＝cosx＋sin3x＝右边。
   　若仅说明积化和差与和差化积是辩证的过程，并要求学生大胆地尝试，则他们会想到其它的证法，如：
   [证法3]：左边＝sinxsin2x＋cosxcos2x＋sinxcos2x＋cosxsin2x
                ＝cos(2x－x)＋sin(2x＋x)＝cosx＋sin3x＝右边。
   [证法4]：左边＝2(sinxcos45°＋cosxsin45°)(sin2xcos45°＋cos2xsin45°)
                ＝2sin(x＋45°)sin(2x＋45°)＝－[cos(3x＋90°)－cos(－x)]
                ＝sin3x＋cosx＝右边。
教师给学生一定的思考时间，并启发学生对一个数学问题从多方位、多角度去联想、思考、探索， 虽然学生要花许多时间，但做这样的一题既加强了知识间的横向联系，又提高了学生思维能力和学习数学的兴趣。

总之，把解题的过程作为对数学真理的探索和再发现的过程，通过少量精选题的研究达到贯通数学知识，掌握科学思想方法的目的，学会数学问题的本质，培养学生形成“学数学、做数学、用数学”的意识和良好习惯，培养学生独立自主的思考习惯，培养数学思维，提高解题能力，真正达到“授渔”的良好效果

参考文献：

张宝贵 例谈课本习题充分“挖潜”的教育价值。《中学数学教学》

方定明 改造课本习题 提高解题能力 。《高中数学教与学》