数学方法论下高中数学教学的思考

 数学教学首先要让数学恢复其本来面目，恢复其创造过程中的形式，进行所谓返璞归真的改革，才能通过学生自己的发现与创造学习数学.当然，要让学生像数学家一样亲身来发现与创造数学模式似乎不可能，但通过主动建构来学数学，体验数学家发明与创造的喜悦是完全可能的.
一、“返璞归真”的概念课
数学概念是数学学习的基石，只有把概念理解透彻，牢固掌握，才能在数学的学习过程中游刃有余.因此，教师对数学概念教学应该返璞归真，根据不同教学内容的要求，努力揭示数学的本质.
在数学概念教学中，就应引导学生特别注意概念所反映对象的范围，概念定义中的关键词语，概念定义中词语的严密性，概念的语言表达方法，概念中的“特例”与“一般”，概念间的相互联系等等，以此作为思维的展开点，学生才能真正理解概念，掌握概念.
二、经历“再创造”，主动建构
著名数学家徐利治指出“无论是数学中的概念和命题，或是问题，或方法，事实上都应该被看成一种具有普遍意义的模式”.因此，学生在学习数学过程中，通过点典型例子的分析和主动探索，逐步建立各种结构.
1.建立知识结构
认知心理学揭示了人们学习数学中不断建构的过程，当学生原有认知结构与外界数学新情境基本相符时，学生可以通过同化和顺应的方式来扩大自己的认知结构.
如：a+b与ab是最基本的运算形式，在二次方程中，两根之和.两根之积表达为根与系数的关系，对解决二次方程相关问题的应用之大，从初中起学生就感受很深.高中阶段可进一步发掘a+b，ab结构式的运用.
在三角公式中，a+b，ab可共存于两角和的正切：
tan（α+β）=tanα+tanβ[]1-tanαtanβtanα+tanβ=tan（α+β）·（1-tanαtanβ）.
对于正余弦，sinα±cosα与sinαcosα经常需要相互转换.
例1 （1）求tan70°+tan50°-3tan70°tan50°的值；
（2）已知sin2x+2（sinx+cosx）-22-1=0，求tanx；
（3）求函数y=sinx·cosx[]1+sinx+cosx的值域.
（解略）
进一步探索发现a+b与ab自身结构变形：
（a±1）（b±1）=a·b±a±b+1有奇特的应用场合.
例2 已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为An， Bn ，那么数列{Anbn+Bnan-anbn}的前n项和是.
分析与解 对于a+b与ab可以构造出（a±1）（b±1）.
据此，设新数列为Cn ，则
Cn=AnBn+Bnan-anbn=AnBn-AnBn+Anbn+Bnan-anbn=AnBn-（An-an）（Bn-bn）=AnBn-An-1Bn-1，n∈N，C1=A1B1-A0B0，
C2=A2B2-A1B1.
不妨设A0B0=0，则
C3=A3B3-A2B2；

Cn=AnBn-An-1Bn-1.
所以，
C1+C2+C3+…+Cn=AnBn-A0B0=AnBn.即{Anbn+Bnan-anbn}的前n项和是AnBn.
这样，把学生原有的知识加以巩固和深化，建立一个知识结构，有助于新问题的解决.
2.建立思想方法结构
为了让学生掌握新模式，传统教法总是先做各种铺垫，让学生跟着老师的步子被动地承认与模仿，但最终还是改变不了知其然不知所以然的一知半解的局面，因此，让学生在学习实践中探索，主动建立数学思想方法结构，从本质上掌握各种新问题.
例如建立目标性解题思想方法结构.
所谓目标性解题就是根据题目的条件，按明确的解题方向，一步步趋近于实现解题的结论，只要条件应用得当，思路与方法不错，也就能成功地作出解答.
例3 已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2∈R，x1≠x2都有|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|，且存在一个实数x0使f（x0）=x0，数列{an}中，a1
（1）an分析 本题容易形成数学归纳法的解法，但如果把题设条件用起来，由目标性解题的思想，可使证明显得顺利而简单.
证明 据题意，不妨设x1=an，x2=x0，则
|f（an）-f（x0）|<|an-x0|，
|2an+1-an-x0|<|an-x0|.
两边平方，化简，得
an+1（an+1-an）-x0（an+1-an）=（an+1-an）（an+1-x0）<0.（*）
所以， an（1）an+1an，n∈N.此即欲证之结论.
（2）an+1>x0，an+1x0矛盾，舍去.
所以，命题成立.
说明 直接利用|f（x1）-f（x2）|<|x1-x2|的条件，结合f（an）=2an+1-an进行运算化简，这就是目标性解题思想的应用，其中x1=an，x2=x0的关联性代换以及对（*）的讨论，显得很重要、很关键.
在建立某一思想方法结构后，学生就能将其渗透并贯穿于今后的问题解决.这对高中数学的学习是极有利的.
3.建立技巧结构
数学的解题能力之一，讲究的就是变换、转化、代换、化归等技巧，这些的获得，全在于对于基本概念的准确把握与灵活运用的同时，建立一定的技巧结构.
如代换技巧就有消元代换、参数代换、增量代换、三角代换、结构代换等，灵活而有效地使用各种代换方法，使看起来不易解决的问题能得到较为理想、较为满意的解决.
例4 求证：对任意实数a>1，b>1，有不等式a2[]b-1+b2[]a-1≥8.
证明 设a=1+x，b=1+y， x，y∈R+，则
a2[]b-1+b2[]a-1=（1+x）2[]y+（1+y）2[]x≥（2x）2[]y+（2y）2[]x=4x[]y+y[]x≥8，
当且仅当1=x=y，即a=b=2时取等号.
说明 该题采用了增量代换，使问题变得简单明了.有了一定的解题技巧，在解决较复杂的数学问题时会有事半功倍之效.
因此，数学方法论的指导思想与学生学习的心理特征结合起来，实践于新课程改革下的高中数学教学，对学生的学习方式的改善和老师的教法的逐步完善具有莫大的帮助和促进作用.同时在教学中把教会学生学会发现、发明与创造进一步落到实处.