浅析“构造法”在初等数论中的运用

 “初等数论”中的构造法
一般地说，“构造法”就是针对所要解决的问题，构造出这个问题或者它的等价问题的数学模型.构造法在初等数论中的运用主要分为以下几类：
1.无穷性命题的证明
古希腊数学家欧几里得不仅是欧氏几何的奠基人，而且也是数学上构造法的创始人.在《几何原本》中，他第一次用构造法巧妙地证明了数论中以他的名字命名的基本定理“质数的个数是无穷的”.
例1 证明：质数的个数是无限的.
证明 假设只有有限多个质数p1，p2，…，pn，则数p1，p2，…，pn都不整除p1p2…pn+1.于是数p1p2…pn+1的质因数与p1，p2，…，pn都不相同.因而与假设只有有限多个质数p1，p2，…，pn矛盾.所以质数的个数是无限的.
这个证明的基本思路是：在假设只有有限个质数的情形下，设法构造一个新的与p1，p2，…，pn都不同的质数.但质数不易构造，转而构造一个合数，它不被p1，p2，…，pn整除.这样的思路常用于证明某种数的无限性.再看下面的例子：
例2 证明：形如4k-1的质数是无限的.
证明 仿照上述欧几里得证明的思路，假设只有有限多个形如4k-1的质数p1，p2，…，pn，取数4p1p2…pn-1，这个数的质因数一定是奇数，即4k-1或4k+1的形式.形如4k+1的数，积也是4k+1的形式.而这个数4p1p2…pn-1是4k-1的形式，所以它至少有一个形如4k-1的质因数p.显然p与p1，p2，…，pn都不相同，矛盾！因此，形如4k-1的质数是无限的.
2.存在性命题的证明
为了证明一个存在性命题，我们可以把满足要求的对象构造出来，使问题得到证明.
例3 对于任意给定的自然数n，证明：必有无穷多个自然数a，使n4+a为合数.
证明 取a=4m4，则
n4+a=n4+4m4=n4+4m2n2+4m4-4m2n2=（2m2+n2）2-4m2n2=（2m2+n2-2mn）（2m2+n2+2mn）.
当m>1时，2m2+n2-2mn=（m-n）2+m2>1，因此2m2+n2-2mn是n4+a的真因数，即n4+a为合数.由m的任意性可知结论成立.
例4 证明：相邻质数之间的间隔可以任意地大，也就是对于任意的自然数n>1，总可以找到n个连续的合数.
证明 设a=2×3×4×…×n×（n+1）=（n+1）！，则a+2，a+3，a+4，…，a+（n+1）是n个连续的自然数，并且分别含有真因数2，3，4，…，（n+1），因而都是合数.
由于在（n+1）！+2前面的质数与在（n+1）！+（n+1）后面的质数的差≥n+1，且n可以任意选择，所以相邻质数的差可以任意的大.
3.假命题的证明
为了论证一个命题假，我们可以举出一个能使命题的条件成立但结论不成立的事例，即“反例”.
例5 设m=8n+9n2，当n=1，3，5时m均为质数，是否对每一个奇数n，m均为质数？
解 答案是否定的.我们可以证明存在无穷多个奇数n，使m都为合数.
取n=9k3，k是奇数，则m=8n+9n2=（2n）3+9（9k3）2=（2n）3+（9k2）3=（2n+9k2）（22n-2n·9k2+81k4），
显然2n+9k2是m的真因数，所以m为合数.
例6 迪波瓦尔（DeBouvelles）曾断言：对所有n≥1，6n+1和6n-1中至少有一个是质数.他的断言正确吗？
解 他的断言错了.取n=20， 则6n+1=121=11×11和6n-1=119=7×17都是合数.并且我们可以证明有无穷多个n使6n+1和6n-1同时为合数.取n=77k+20，这里k是整数，则6n+1=11（42k+11），6n-1=7（66k+17），可见6n+1和6n-1同时为合数.
教学过程中应注意的问题
在初等数论的解题过程中，若按习惯定式思维去探求解题途径比较困难时，教师要有意地引导学生仔细研究条件和结论的特征，构造数学模型，架起一座连接条件和结论的桥梁，使题目化归为容易或已解决了的问题.掌握构造法的关键是要鼓励学生大胆联想，反复尝试寻求多种形式构造出数学模型化解难题.通过构造法解题训练，可以使学生得到创造性体验，激活创造性思维，激发创造性灵感.
【参考文献】
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