求与圆有关的最值
作者:周轶红来源:原创日期:2013-07-03人气:662
已知圆C的参数方程为x=cosx,y=sinθ(θ为参数),则圆C上的点到点P(2,2)的最远距离是;圆C上的点到直线x-y+2=0的最近距离是.
分析:根据参数方程得出圆上的任意一点的坐标,然后用相应的距离公式表示出两个距离,再利用函数知识,求它们的最值.
解:设M(cosθ,sinθ)是圆C上的任意一点,则
|MP|=(cosθ-2)2+(sinθ-2)2=9-4(sinθ+cosθ)
=9-42sin(θ+π4)≤9-42=22-1.
即圆C上的点到点P(2,2)的最远距离是22-1,点M到直线x-y+2=0的距离
d=|cosθ-sinθ+2|2≥|2sin(π4-θ)+2|2≥2-1,
即圆C上的点到直线x-y+2=0的最近距离是2-1.
评注:上述两个最值都可以把圆的方程化为普通方程后,利用圆中最值的有关结论来求解.
在求解多元坐标的几何或代数最值有困难时,我们不妨采用参数进行转化,化为求三角函数的最值来处理,这样能简捷地解决有关动点与实点的距离等有问题。
分析:根据参数方程得出圆上的任意一点的坐标,然后用相应的距离公式表示出两个距离,再利用函数知识,求它们的最值.
解:设M(cosθ,sinθ)是圆C上的任意一点,则
|MP|=(cosθ-2)2+(sinθ-2)2=9-4(sinθ+cosθ)
=9-42sin(θ+π4)≤9-42=22-1.
即圆C上的点到点P(2,2)的最远距离是22-1,点M到直线x-y+2=0的距离
d=|cosθ-sinθ+2|2≥|2sin(π4-θ)+2|2≥2-1,
即圆C上的点到直线x-y+2=0的最近距离是2-1.
评注:上述两个最值都可以把圆的方程化为普通方程后,利用圆中最值的有关结论来求解.
在求解多元坐标的几何或代数最值有困难时,我们不妨采用参数进行转化,化为求三角函数的最值来处理,这样能简捷地解决有关动点与实点的距离等有问题。
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