递推公式解数列问题的模式探究-数学论文

摘要：本文给予十种递推公式模型，是对参考文献和各省高考试题的提炼。由于参考文献中所给出的递推解法都是笼统的，分类讨论也不够完善。经过对每一递推公式仔细的揣摩、详尽的分类讨论，给出了变式模型等较为完善的解题模式。通过对各种类型模式的探究，提炼了解决递推问题的常用方法。

关键词：递推公式  数列  解题模式  探究

数列是初等数学很重要的内容之一，蕴含着丰富的数学思想，在高中阶段，等差数列、等比数列是最基本的数列。但是在许多题目往往都不单纯的考察等差、等比数列的问题，而是以递推公式的形式给出题设情景，需要通过题目条件进行等价转化，借助于等差、等比数列的相关公式进行解答。递推数列是一类广泛而复杂的问题，其形式多样，逻辑性强，求解方法开放、灵活。如果没有一个较好的方法，不但不能很好的解决问题，反而会将简单问题复杂化，耗费大量时间也达不到解题效果。但是有很多递推公式的数列问题还是有着固定的解题模式可寻的，以下以十种具有代表性的递推公式模型为例，进行深入探究其解题模式，整个分类讨论过程围绕着高中所学（等差数列为常数、等比数列、周期数列 或 ）三种数列通项公式形式展开，探讨一些解题策略和模式解法。

一、递推公式为 （其中 为常数）

探索：这种递推公式类似于等比数列通项公式的展开式，因此我们可以采取待定系数法，换元法

把它化为等比数列进行求解。

解题模式：(1)当 时，递推公式变为 ，∴  即 为等差数列,

其公差为 ；

(2)当 时，原递推公式转化为 ，将其展开后与 的对应系数相等，得 ，换元化为等比数列求解 ；

例1、已知数列 中， ， ，试求 的通项公式？

解：设递推公式 可以转化为 即 故递推公式为 ,令 ，则 ,且 。所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 。

二、递推公式为

探索：这类递推公式中出现了函数 ，解题过程中，我们通常是要看 的形式，把它消

去或者进行变量集中，引入辅助数列 ，通过对辅助数列的研究从而达到解决问题的效果。

解题模式：对于以上公式求 可以做下列探讨:

(1)当 时，若 的和是可求的，由 得：

时， ， ， ，  以上各式相加得： ；

(2)当 、 时,递推公式变为: ,即 ,

由以上两等式可得, ,则数列{ }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论；

                      (3)当 ，且 为 的函数（非常数）时，可通过构造转化为 型，通过

累加来求出通项，得 ，分奇偶项来分求通项；

(4)当 、且 时，通过构造新数列 ，消去 的差异，通过求解 达到解

决 的效果  其中最常用化归法（设 根据对应系数相等）,或者阶差法进行转化。

例2、已知数列 满足 ,证明 。

证明：由已知得： ，从而有：

=   。

例3、已知， ,且 满足 ,试求数列 的通项公式？

解：∵ ，∴ ，即 ，

        ∴  _，∴ 是以2为周期的周期数列，

     ∴ ， 。

例4、数列 满足 , ,求数列 的通项公式？

解：由    ，∴ 时， ，两式相减得： .

∴ 构成以 为首项，2为公差的等差数列; 构成以 为首项，2为公差的等差数列，∴ ， 

  。       ∴

例5、数列 中 ， ，求数列 的通项公式 ？

解法一：（阶差法）,由  

得： ，这 个式子两边相加，

即得：

                  。

解法二、（化归法），由 ，两边同除以 ，得： ，

令： ，则 ，于是上式可化为 ，易知此差是等比数列，从而可用累差迭加法可求得辅助数列 的通项 ，然后由 即可求得通项 。

三、递推公式为

探索：解决数列问题关键在于求通项公式，这类递推公式可以采取变量集中的方法，将 与

分开，若 的积是可求的，可用多式相乘法求得 。

解题模式：∵ 的积是可求的,由 ，得

,即   ， … … ,将以上 个等式相乘可得 从而求出 的通项。

例6、在数列 中， ≥2），试求 的通项公式？

解：由条件知 ，分别令 ，代入上式得 个等式累乘

之，即

又 ，  。

四、递推公式为

探索：此类问题应该分情况讨论，只要采取多式相除的办法求解。

解题模模式:(1)若 ( 为常数)，则有 ， ，即

 可知 ∴数列 是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论；

(2)若 为 的函数（非常数）时，由通过逐差法 ，两式相除后，分奇偶项来分求通项。

例7、已知数列 满足： ,求此数列的通项公？

   解：由 ，可得 ，将以上两等式相除得 x =  ,

 ∴ 是以首项为 ，公比为 等比数列， 是以首项为 公比为 的等比数列。∵ ，∴  ，同理 ，

∴当 时：  ;当 时， 。

五、递推公式为 ( 为常数)

探索：在数列 中，告诉一个关于相邻三项的递推关系，称之为二级递推式，种

情形往往借助于待定系数法，将其化为等比数列再求解。

解题模式：(1)当 时， ，及  用转

化法直接变成等比数列进行求解；

(2)当 时   用待定系数法转化为等比数列再进行求解，

令： ，展开后让其对应系数与 的对应系数相等，可得： ，于是 、 可解，因此 是等比数列。从而求{a_n.}。

例8、数列 中，若 ,且满足 ,试求 的通项公式？

解：把 变形为 。则数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，从而： ，利用类型六的方法可得 。

例9、已知数列 满足 ,且 ,试求 的通项公式？

解：令 ,即 ,与已知 比较，则有 ,故 或 下面我们取其中一组 来运算，即有 ,则数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，故 ,即 ,利用类型二(4)的方法，可得： 。

六、递推公式为

探索：此类数列出现的形式，称为高阶数列。求 时往往要进行降次后再进行求解，主要

用到取对数的方法。

解题模式：∵ ，且p>0， ，两边取以为底的对数可得 ，设 与 ，对应系数相等可求得 ,   ∴ 是一个等比数列，通过求解该数列从而可求 。

例10、设正项数列 满足 ， .求数列 的通项公式？

解：两边取对数得： ， ，

设 ，则 ，∴ 是以2为公比的等比数列，

∵ ， ， ， ，∴ 。

七、递推公式为 （ 为常数，且 ）

探索：此类递推数列出现相邻两项乘积的形式，在求解 的过程中，可以尝试在等号两边同时

除以这两项的乘积，问题就得已转化。

解题模式：∵ ，且 ，∴ ，则在等号两边同时除以 可以得： ； 令 ，则原问题就可转化为 型，采取待定系数的方法即可求解 。

变式：如 （ ），且 （ ），求 。

探索：此类问题也可采用归纳法求解，但过程繁杂。然而用取倒数、化归法构造新

的辅助数列来求解较为快捷。

解题模式：由 ，可得 ，两边同除以 ，得 ，即有 ，则数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，即： 。

例11、数列 中，已知 ，且满足关系式 试求通向公式 。

    解:∵ ,则在等号两边同时除以 可以得： ，

     令 ,∴ ，设 ，根据对应系数相等可解

得：  ，∴ 是以 ，公比 的等比数列。∴ ，

又∵ ， ，∴

八、递推公式为 （ 为常数）

探索：此类递推公式较为复杂，是所有递推公式中较难的模型，我们可以用不动点法求解，借助与分类讨论的思想，问题就得以简化。

解题模式：对于数列 ， ∈常数, ），其特征方程为 ，变形为 ……(*)

(1)若(*)有二重根 ，则可令 （其中 是待定常数），代入 值可求

得 值。这样数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，于是可求 。

(2):若(*)有二异根 ，则可令 （其中 是待定常数），代入 的值可

求得 值。这样数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是这样可求得 。

例12、已知数列 满足 ，求数列 的通项 。

解:其特征方程为 ，即 ，解得 ，令   ,由 得 ，求得 ，

∴数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，  。

例13、已知数列 满足 ，求数列 的通项 。

解:其特征方程为 ，化简得 ，解得 ，令   ,

由 得 ，可得 ， 数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ，    。

九、递推公式为

探索：有关商型地推公式的问题，一般要想到取倒数、分离变量，将

与 分开，构造新函数与新数列进行求解。

解提模式：由  ，可得

     ，令 ，M(n) , K(n) ，则原递推公式就转

化为：  用待定系数法即可求得 ，从而求得 。

变式：如 ， ，求 。

探索：此类递推公式中，出现了相邻三项的商型关系，在解题时，如果想直接找到三项的关系，

是很困难的。可以采取去分母办法，将二级递推公式转化为一级递推公式，最后转变为周期数列进行求解。

解题模式：由 ，得 ， ，将以上两个等式相乘可以得： ，∴ ，∴ ，  令 ，

则 ，及 ，∴ ，∴ 是以6为周期的周期数列。

例14、已知数列 满足： 求数列的通项公 。

解：由 ， ，从而

2+ ，令  ∴ + ，设 ，对应系数相等可得 ，因此数列 是以 为首项q= 为公比的等比数列，∴   又∵ ，即    ∴ 。

十、递推公式为 与 的关系式(或 )

探索：这种公式中既有 又有 的递推公式称之为混合递推公式，可以设法将 或者 消

去，得到一个只含 或者 的递推关系，借助于 与 的关系求解。

解题模式:利用 与 消去

或与 消去 进行求解。

(1)若条件中 的最高次为一次,此时往往消去 ，从所得的数列前一项与后一项的关系式中发

现规律，或通过构造辅助数列，再求出 。

(2)若条件中 的最高次为二次。此时往往利用 （ ≥2）消去 ，寻找 与

的关系，或通过构造辅助数列，先求出 ，从而求出 。

例15、若数列 对任意 ，满足 ，求数列 的通项 。

解：当 时， ，∴ ,当 ≥2时，

           ∴ ，即 是等比数列，   ∴ 。

例16、数列 中 ， （ ≥2），求数列 的通项 。

解：由题设知： （ ≥2），即 （ ≥2）

   从而： （ ≥2），可知辅助数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，故有 ， ∴ ， （ ≥2），

∴  （ ≥2），

∴所求通项公式为 ，∴ 。

以上给出了十种具有代表性的递推公式模型解法讨论，当然，不同类型的题目需要我们有不同的解题思路，并不是每一道题目都能用以上的方法解决 。同一递推公式在参数不同的条件下解题模式也有差异。因此，在解决递推问题时，首先应该观其题而识其模，利用化归转化的数学思想，将陌生问题熟悉化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，善于进行模式转化，灵活的运用模式变形，还应该与化归法、待定系数法、公式法、累加法、累乘法、取对数法、取倒数法、以及不动点法等等解决递推问题的常用方法进行整合思考，往往会达到事半功倍的效果。通过化归思想，可以将看似不常规的数列问题转化为常见的问题进行解答，采取模式化训练让大家解一题而会解一类题，而不是因为解题而解题，达到触类旁通的效果。这才是能脱离“题海战术”，提高解题能力的有效策略。

参考文献：

[1]连秀云《通用模型解题 高中数学》北京大学音像出版社2008年05第03版

[2]梁中木 《高考神梯总复习》天津人民出版社2005年02第02版

[3]张泉《世纪金榜》天津人面出版社2005年04月第4版

[4]邢福楷  如何求数列的通项公式—《中学数学教与学》2001年第二期。

[5]杜志建《试题调研》新疆亲年少年出版社 2005年05月第二版

[6]张奠宙《中学代数研究》高等教育出版社2006年01月第一版

[7]教材人民教育出版社等编著 高一上《数学》2004年05月01 第一版

[8]闻章宪《解密中国高考》西安地图出版社2003年07月第一版