基于轮胎状态刚度预测的极限工况路径跟踪控制研究

随着交通拥堵问题的日益严重和道路安全问题的日益突出, 自动驾驶车辆已经成为汽车行业发展的趋势[1]. 自动驾驶车辆通过传感器实时感知并获取外界环境信息, 运用规划算法规划最优路径, 控制车辆安全到达期望目标[2], 主要包括环境感知、智能决策、路径规划和车辆运动控制等关键技术[3]. 自动驾驶车辆的路径跟踪控制在完成对目标路径跟踪的同时, 还要保证车辆的行驶安全性和稳定性, 属于车辆的底盘运动控制系统[4]. 但是, 由于实际的道路环境十分复杂, 车辆本身也存在着强非线性, 使得自动驾驶车辆的跟踪控制面临巨大的挑战[2].

国内外学者在自动驾驶车辆跟踪控制算法方面已经有了大量研究成果, 传统的控制方法主要有鲁棒控制、预瞄控制和滑模控制[5-7]等. 但上述方法通常只能利用当前的环境信息和车辆状态, 并且难以考虑环境和车辆的约束条件. 因此, 研究人员开始将模型预测控制(Model predictive control, MPC)应用到车辆控制领域. 由于MPC在处理多目标以及系统约束方面具有明显的优势, 而且其滚动优化策略能够弥补模型失配、畸变、扰动等引起的不确定性, 因此在车辆控制领域得到了广泛的应用[8-10]. 然而, 如果模型的误差过大, 仍会对系统的稳定性造成严重影响[11]. 轮胎力是影响车辆稳定性的重要因素[12], 高速极限工况下自动驾驶车辆路径跟踪控制器设计时需要建立高精度的非线性轮胎模型. 但是, 非线性模型的MPC优化求解会增加控制器的计算负担, 影响系统的实时性. 因此, 将非线性模型进行线性化, 采用线性时变MPC进行处理, 是一种广泛应用的能够兼顾系统非线性和实时性的方法[13-14].

国内在进行路径跟踪控制研究时, 通常假设车辆的轮胎侧偏角较小, 将轮胎模型简化成线性轮胎模型[9, 15-16], 因此并不适用于高速极限工况下的路径跟踪控制. 而在车辆稳定性控制领域, 国内外已有很多学者根据当前车辆状态对轮胎模型进行连续线性化处理, 设计基于线性时变MPC的车辆稳定性控制器并取得了很好的控制效果[17-18]. 但是, 这种线性化方法在预测时域内并没有考虑轮胎力的非线性变化, 当车辆处于动力学极限附近时, 这种线性化方式将变得不那么精确. 因此, 一些学者在对轮胎模型进行线性化时, 开始考虑预测时域内轮胎力变化对线性化效果的影响. Brown等[19]在研究基于MPC的路径规划与路径跟踪的集成控制时, 利用上一时刻求解的轮胎侧偏角序列对当前预测时域内的轮胎力进行连续线性化处理, 并在实车上实现了多种驾驶场景的实时跟踪控制. 但仅使用上一时刻优化的侧偏角序列会产生抖动的现象. Funke等[20] 在此基础上, 对轮胎侧偏角进行了正则化处理, 较好地解决了这一问题. 但是上述方法要求控制时域与预测时域长度一致, 较长的控制时域极大地加重了求解器的计算负担. 而且, 这些研究主要针对中低速工况, 尚未讨论高速低附着极限工况下的控制问题.

因此, 本文针对高速极限工况, 提出一种在预测时域内对非线性轮胎模型进行预测和线性化表达的新方法, 能够避免传统方法在紧急避撞时由于轮胎力表达不精确导致的路径跟踪失败问题, 并且不依赖控制时域长度, 有助于降低求解器的计算负担. 该方法利用期望路径信息对轮胎的状态刚度进行预测, 然后将预测的轮胎状态刚度用于预测时域内的非线性轮胎模型的线性化表达. 为了验证该方法的有效性, 本文还设计了在预测时域内轮胎力保持不变的传统线性时变MPC进行路径跟踪控制, 并利用MATLAB和CarSim联合仿真平台进行了对比实验. 为了加以区别, 在本文中将传统的线性时变MPC记为LTI-MPC (Linear time-invariant MPC in horizon), 将所提出方法记为LTV-MPC (Linear time-variation MPC in horizon).

1.   系统建模

1.1   车辆模型

本文采用的的车辆模型如图1所示. XOY$XOY$坐标系为大地坐标系, x˙$\dot{x}$为车辆纵向速度, y˙$\dot{y}$为车辆侧向速度, γ$\gamma$为车辆横摆角速度, δf${\delta }_f$为车辆前轮转角, Fy,f$F_{y,f}$和Fy,r$F_{y,r}$分别为前、后轮胎的侧向力, αf${\alpha }_f$与αr${\alpha }_r$分别为前、后轮胎侧偏角, lf$l_f$与lr$l_r$分别为质心到前轴和后轴的距离.

图 1  车辆模型

Fig. 1  Vehicle model

车辆在大地坐标系中的横摆和侧向运动可以表示为

其中, φ$\phi$为车辆在大地坐标系中的横摆角, Y˙$\dot{Y}$为车辆在大地坐标系中的横向速度, m$m$为整车质量, Iz$I_z$为横摆转动惯量.

1.2   轮胎模型

轮胎力是产生车辆运动的主要外力来源, 直接影响车辆在极限工况下的稳定性. 因此, 在研究极限工况下的路径跟踪控制时有必要采用高精度的非线性的轮胎模型. 目前应用比较广泛的轮胎模型要有魔术公式、Fiala轮胎模型和UniTire模型. 其中UniTire模型是郭孔辉院士提出的适用于车辆动力学仿真和控制的非线性轮胎模型, 能够准确描述轮胎在复杂工况下的力学特性[21]. 因此本文的轮胎模型将采用UniTire模型, 具体表达式和参数见文献[22-23].

2.   控制器设计

控制器的整体结构如图2所示, 主要包括期望路径设计、轮胎模型线性化和MPC控制器设计等关键步骤.

图 2  控制器整体结构

Fig. 2  Overall structure of the proposed controller

2.1   期望路径设计

在主动避撞控制研究方面, 基于制动的纵向控制策略在中低车速具有很好的避撞表现, 但是随着车速升高车辆的安全制动距离迅速增加, 导致制动避撞效果不理想. 袁伟等[24]研究发现: 在附着系数为0.3的道路上当相对车速大于15.5 m/s时, 应优先进行转向避撞. 因此, 在高速极限工况下紧急避撞时规划一条合理的换道路径至关重要. 常见的换道路径规划方法有梯形加速度法、多项式法和Sigmoid函数法. 其中, Sigmoid函数法不仅构成简单, 而且包含了道路条件约束和车辆安全约束, 因此本文将采用Sigmoid函数法进行高速紧急换道路径的规划, 其表达式为

式中, X$X$为纵向位置, B$B$为侧向避撞距离, c$c$为纵向避撞距离的一半, a$a$为避撞路径的倾斜程度, L$L$为预瞄距离, Yref$Y_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$为期望侧向位移, φref${\phi }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$为期望横摆角. 参数的具体计算和推导过程参见文献[25], 基于Sigmoid函数的高速紧急避撞路径规划曲线示意如图3所示.

图 3  基于Sigmoid函数的路径规划

Fig. 3  Path planning based on sigmoid function

2.2   LTI-MPC设计

为了评估和验证本文所提出方法的控制效果, 同时考虑到该方法是在LTI-MPC的基础上进行设计的, 因此本文先进行LTI-MPC的设计.

2.2.1   轮胎模型线性化

以往的研究中多采用泰勒一阶展开的方法对轮胎力进行线性化, 即根据当前时刻的轮胎侧偏角对轮胎力进行线性化[18-20], 但是这种方法会引入残余侧向力, 增加了模型的复杂度. 因此, 本文采用状态刚度法对轮胎力进行线性化. 状态刚度的概念由郭孔辉院士提出, 用于解决各向异性刚度条件下轮胎力学特性的表达, 其中侧偏状态刚度定义为每一侧向滑移率Sy$S_y$下, 侧向力与该滑移率的比值, 即, Kys=Fy/Sy$K_{ys}=F_y/S_y$. 本文根据控制系统设计的实际需求定义侧偏状态刚度为每一侧偏角α$\alpha$下, 侧向力与该侧偏角的比值, 如图4所示, 表达式为

图 4  轮胎侧偏状态刚度

Fig. 4  Lateral tire state stiffness

由式(3)即可得到每个轮胎的侧偏状态刚度. 因此, LTI-MPC前、后轮胎的侧向力可以线性化表示为

其中, i=f,r$i=f,r$分别指前轮和后轮, 前轮和后轮的轮胎侧偏角定义为

2.2.2   预测模型

将式(4)代入式(1), 并假设横摆角较小, 存在近似关系sinφ≈φ$\sin \phi \approx \phi$和cosφ≈1,$\cos \phi \approx 1,$ 可以得到LTI-MPC的预测模型为

式中, 控制输入u$u$为转角δf${\delta }_f$, 预测输出ζ$\zeta$为[φ,Y]T${\left[\phi ,Y\right]}^{\mathrm{T}}$, 状态变量ξ=[y˙,γ,φ,Y]T$\xi ={\left[\dot{y},\gamma ,\phi ,Y\right]}^{\mathrm{T}}$.

以步长Ts$T_s$对式(5)进行离散化, 得到增量式的离散模型为

其中, Ad=eATs,Bd=∫Ts0eAtdtB${\mathit{A}}_d={\mathrm{e}}^{\mathit{A}{T}_s},{\mathit{B}}_d={\int }_0^{T_s}{\mathrm{e}}^{\mathit{A}t}\mathrm{d}t\mathit{B}$.

2.2.3   预测方程

基于式(6), 根据模型预测控制理论, 取预测时域为P$P$, 控制时域为M$M$, 可以得到k$k$时刻的预测输出为

其中,

预测输出序列ζ(k+1|k)$\zeta \left(k+1|k\right)$ = [ζ(k+1|k),⋯,$[\zeta \left(k+1|k\right),\cdots ,$ ζ(k+P|k)]T${\zeta \left(k+P|k\right)]}^{\mathrm{T}}$, 控制输入增量序列ΔU(k)$\mathrm{\Delta }\mathit{U}\left(k\right)$ = [Δu(k),$[\mathrm{\Delta }u\left(k\right),$⋯,$\cdots ,$ Δu(k+M−1)]T${\mathrm{\Delta }u\left(k+M-1\right)]}^{\mathrm{T}}$.

同时根据式(2)得到参考输出序列R(k+1)=$\mathit{R}\left(k+1\right)=$[rref(k+1),⋯,rref(k+P)]T$[{\mathit{r}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\left(k+1\right),\cdots ,{{\mathit{r}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}\left(k+P\right)]}^{\mathrm{T}}$, 其中, rref=[Yref,${\mathit{r}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}=[Y_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}},$φref]T${{\phi }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}]}^{\mathrm{T}}$.

2.3   LTV-MPC设计

LTI-MPC在当前时刻对轮胎力进行线性化后, 在接下来的预测时域内轮胎的侧偏状态刚度将保持不变, 如图5中Ck$C^k$所示. 当车辆处于极限工况时, LTI-MPC所采用的轮胎力线性化方法在预测时域内会产生较大的误差. 如图5所示, 随着预测时域向前滚动, LTI-MPC所表示的轮胎力误差越来越大, 如在侧偏角αk+n${\alpha }^{k+n}$处, Fk+ny,LTI$F_{y,\mathrm{L}\mathrm{T}\mathrm{I}}^{k+n}$已经严重偏离了实际值. 在跟踪路径过程中, LTI-MPC会认为只要不断增加前轮转角(前轮转角和轮胎侧偏角存在数学关系)就可以得到更大的侧向力(绝对值), 因此当需要增大侧向力以跟踪期望路径时, LTI-MPC就会不断增大前轮转角, 即使此时的实际轮胎力可能已经达到饱和甚至进入滑移区. 当轮胎力饱和后, 实际轮胎力会迅速减小, 这将导致车辆出现危险的侧滑行为, 失去路径跟踪能力.

图 5  预测时域内的轮胎力

Fig. 5  Tire force over prediction horizon

因此, 本文设计了在预测时域内轮胎状态刚度时变的LTV-MPC, 如图5所示, 该方法通过预测出预测时域内未来P$P$步的状态刚度值Ck$C^k$ ~ Ck+P$C^{k+P}$, 实现预测时域内非线性轮胎力的线性近似. 当需要较大的侧向力来跟踪期望路径时, LTV-MPC能够始终在侧向力峰值点附近得到最优控制输入, 避免输出过大的前轮转角致使侧向力超出物理极限.

2.3.1   轮胎状态刚度预测

本文根据已知的期望侧向位移和横摆角对状态刚度进行预测, 具体方法如下.

将线性轮胎模型Fy,i=Ciαi$F_{y,i}=C_i{\alpha }_i$代入到式(1), 得到车辆运动模型为

联立式(8a)和式(8b), 整理后, 可得

式(9)中的横摆角速度γ˙$\dot{\gamma }$和侧向加速度y¨$\ddot{y}$由式(8c)和式(8d)整理后求导得到

将式(2)得到的Yref$Y_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$及其对时间的一阶和二阶导Y˙ref${\dot{Y}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$, Y¨ref${\ddot{Y}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$与φref${\phi }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$及其对时间的二阶导φ¨ref${\ddot{\phi }}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$代入式(10), 得到

进而, 由式(9)可以得到预测的前、后轮胎的状态刚度为

其中, Cf,pre$C_{f,\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}$与Cr,pre$C_{r,\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}}$分别表示预测的前、后轮胎的状态刚度, κμ,γ˙${\kappa }_{\mu ,\dot{\gamma }}$, κμ,y¨${\kappa }_{\mu ,\ddot{y}}$和κμ,F${\kappa }_{\mu ,F}$为补偿附着系数影响的调节因子, ε$\epsilon$是避免分母为零的极小数.

由于状态刚度的预测值是由期望路径信息根据式(1)所示车辆运动模型逆向求解得到, 因此无法直接体现路面附着系数对侧向力的影响, 进而在式(9)中无法体现附着系数对状态刚度的影响, 因此式(11)和式(12)引入了路面附着系数调节因子, 以补偿附着系数对状态刚度预测值大小的影响, 这里κμ,γ˙${\kappa }_{\mu ,\dot{\gamma }}$和κμ,y¨${\kappa }_{\mu ,\ddot{y}}$的值取为当前道路的附着系数, κμ,F${\kappa }_{\mu ,F}$的值通过实验调节得到, 取值范围为0.5 ~ 0.8.

由于轮胎力附着极限的影响, 式(12)得到的状态刚度应满足约束

其中, Fz$F_z$为轮胎垂直载荷, μ$\mu$为路面附着系数, i=f,r$i=f,r$分别指前轮和后轮.

因此, 向前取P$P$个期望路径数据即可得到未来预测时域内的轮胎状态刚度为

其中, 函数f(⋅)$f(\cdot )$表示式(11)和式(12)的函数关系, n=$n=$0, 1, ···, P.

预测的状态刚度变化量可以表示为

最终可以得到预测时域内的状态刚度为

其中, Cki$C_i^k$表示当前时刻的状态刚度, 由式(3)得到.

2.3.2   预测模型

将式(16)代入式(4)可得到预测时域内各时刻轮胎侧向力的线性化表达式为

将式(17)代入式(1), 并进行离散化处理后可以得到增量式的LTV-MPC的预测模型, k$k$时刻预测模型可以表示为