改进粒子群算法在系杆拱桥成桥索力优化中的应用

作者：杨雅勋张宇航柴文浩吴富勇来源：《武汉大学学报（工学版）》日期：2022-08-12人气：550

系杆拱桥是一种基于拱肋、吊杆、系杆，外部静定内部超静定的三元结构，因其整体刚度较大，力学性能较好、施工便捷、造价低等特点被国内外广泛应用。系杆拱桥以合理成桥状态为设计目标，即在恒载作用下系杆、拱肋的受力合理、主桥线形平顺，这就需要吊杆具有合适的成桥索力。因此，系杆拱桥的优化问题便可转化成吊杆索力的优化问题。

目前系杆拱桥吊杆的索力求解方法主要沿用一些斜拉桥上的索力求解方法，Leonhardt率先提出了刚性支撑连续梁法并最早应用于美国P-K桥的分析中；肖汝诚等^［1，2］结合影响矩阵推导了弯曲最小能量法的公式；梁鹏等^［3］提出通过调整结构刚度来近似求解最小弯曲能量法。传统的调索方法因受限于各自的局限性而不具有普遍适用性，如刚性支撑连续梁法不能考虑多条件的约束问题，因而用其计算的索力值往往不合理；弯曲最小能量法在结合影响矩阵情况下，想要精确求解计算会十分繁琐，而采用近似求解方法也需要不断调节结构的刚度才能使其达到预期结果。为了使索力求解的结果更加准确，很多学者将数学方法与桥梁模型相结合^［4，5］，然而通过数学方法所得的目标函数往往十分复杂而不易求解。为了避免传统调索方法的缺点，且能够快速有效地求解出索力，有学者提出将计算机智能优化算法与索力结合的方法，陈志军等^［6］、吴霄等^［7］分别采用传统的粒子群和遗传算法对斜拉桥索力进行了优化，但传统的优化算法因其自身的局限性导致结果往往不够理想。为了使结果更加准确，本文以实际工程项目为依托，通过对粒子群优化算法加以改进并与影响矩阵相结合，在兼顾计算效率和多目标约束的条件下求解吊杆索力，并与其他多种方法进行分析比较，从而验证该方法的可行性。

1 基于改进粒子群算法的自动调索

1.1　理论基础

粒子群算法最早是由Kennedy和Eberhart^［8］提出的一种基于群鸟觅食的仿生智能算法，其原理是群鸟在觅食过程中，每只鸟的初始位置和飞行方向都处于随机的状态，而且不知道最佳的觅食点在何处。鸟群通过相互学习、信息共享，并在每次觅食过程中结合自身经验和种群之间的信息传递不断调整速度和位置，最终步步逼近食物。粒子寻优示意图如图1所示。

图1 粒子寻优示意图

Fig.1 Schematic diagram of the particle swarm optimization

如果将该方法运用到实际应用中，则是把鸟群抽象为 $m$ 个没有质量和体积的粒子，再将其延伸至N维空间，粒子在N维空间中的位置表示为 $X_{i} = (x_{i 1}, x_{i 2}, \dots, x_{i j})$ ，速度表示为 $V_{i} = (v_{i 1}, v_{i 2}, \dots, v_{i j})$ ，且其位置和速度需限制在 $[X_{m i n}, X_{m a x}]$ 和 $[V_{m i n}, V_{m a x}]$ 范围内。每个粒子都有一个由目标函数决定的适应度值fitness，并且知道自己迄今为止发现的最好位置 $p_{b} = (p_{i 1}, p_{i 2}, \dots, p_{i j})$ 和群体发现的最好位置 $g_{b} = (g_{1}, g_{2}, \dots, g_{j})$ 。粒子通过追踪 $p_{b}$ 和 $g_{b}$ 来更新自己的速度和位置。速度和位置更新公式为

（1）

（2）

式中：i表示粒子的个数，i=1，2，…，m；j表示粒子的维度，j=1，2，…，N；k是迭代步数； w是惯性因子； $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 是学习因子； $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 是［0，1］范围内的均匀随机数；v_max为用户自定义常数，一般取v_max=aX_max，v_min=aX_min，通常a为0.1~0.2。

1.2　算法优化

由于传统粒子群算法的程序实现过程十分简单，且需要调整的参数较少，因此在随机优化算法中具有明显的优势，并被广泛应用于工程领域。但同时它也存在收敛速度慢、局部搜索能力差等缺点。

为了提高算法的适用范围，使其结果更加准确可靠，需要对传统的算法进行改进^［9-11］。研究结果表明^［12-16］， $w$ 较大时算法的全局搜素能力较强， $w$ 较小时算法的局部搜索能力较强，因此算法的优化问题便可转化成一个 $w$ 值的选取问题，即当粒子目标值趋于局部最优时，需要增大惯性因子，当粒子目标值比较分散时，则需减小惯性因子。

为了合理选取 $w$ ，本文将权重进行自适应调整，通过判断粒子当前的目标函数值 $U$ 的好坏来自动调整 $w$ ：

当 $U > U_{a v g}$ 时，粒子的目标函数值要比平均目标值差，为了使其向较好的搜索区靠拢，对应的惯性因子要较大。

当 $U_{a v g}^{'} < U < U_{a v g}^{}$ 时，粒子的全局寻优能力和局部寻优能力都较好，故不改变惯性因子。

当 $U < U_{a v g}^{'}$ 时，粒子的目标函数值要优于平均目标值，因此选用较小的惯性因子来保护该粒子，本文改进后 $w$ 的表达式可表示为

（3）

式中： $w_{m a x}$ 、 $w_{m i n}$ 分别表示 $w$ 的最大值和最小值； $U_{m i n}$ 、 $U_{a v g}$ 分别表示当前所有粒子的最小适应度值和平均适应度值。由于本文是以弯曲能量的最小值为目标，因此 ${U^{'}}_{a v g}$ 是所有小于 $U_{a v g}$ 的适应度值的平均值。

1.3　目标函数

目标函数下每一个粒子都有一个适应度值，它作为每次迭代的临时储存变量，并不具有记忆性，优化算法可通过粒子每次迭代的适应度值来评价结果的好坏，进而不断寻优，最终靠近目标。实践证明，通过限制拱桥结构的弯曲能量所求解的吊杆索力能使桥梁结构处于一个较好的受力状态，因此本文以吊杆拱桥的弯曲能量为目标，并将结构离散化，离散后的弯曲应变能公式为

（4）

式中： $U$ 为结构的弯曲应变能； $m$ 为离散单元的数量； $L_{i}$ 、 $E_{i}$ 、 $I_{i}$ 、 $M_{i}$ 分别为单元的长度、材料的弹性模量、截面惯性矩和弯矩。

为了能够建立起设计变量（拱桥的吊杆索力）与优化目标间的函数关系，可利用影响矩阵原理作为连接二者的桥梁，进而达到索力优化的目的。影响矩阵公式具体表示为

（5）

式中： $Y$ 为施调向量，在本文中是指吊杆索力组成的列向量； $D$ 为受调向量，是指结构中关心截面上若干独立元素所组成的列向量，这些元素一般指关心截面的内力、位移，通过将这些元素调整到期望状态来求解施调向量 $Y$ ； $A$ 为影响矩阵，是指当施调向量的某一向量发生单位变化时引起的受调向量 $D$ 的变化量。

从式（4）可以看出，当结构确定时，其单元及材料的具体特性已经确定，即 $L_{i}$ 、 $E_{i}$ 、 $I_{i}$ 已经确定，因而只能通过改变截面弯矩 $M_{i}$ 来调整应变能的大小。将截面的弯矩改变量作为受调向量，将结构调索前离散单元的弯矩组成的向量作为 $M_{0}$ ，将结构单元需要达到的弯矩作为目标弯矩 $M$ ，由每根吊杆索力 $S$ 组成的向量 $X$ 作为施调向量，即 $X = {[S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}]}^{T}$ ，则调索后的弯矩为

（6）

将式（6）中 $M_{0}$ 移至等号左边， $M - M_{0}$ 便对应弯矩的改变量，对应式（5）中的 $D$ 。由每根吊杆单位索力引起的弯矩变化值组成影响矩阵 $C$ ， $X$ 则对应式（5）中的施调向量项。再将式（6）代入式（4）后可得结构的目标函数为

（7）

式中： $B$ 为系数矩阵，是对角阵，表示单元柔度对单元弯矩的加权矩阵，其元素 $b_{i i} = l_{i} / (2 E_{i} I_{i})$ 。

1.4　条件约束

对于系杆拱桥，其弯矩主要由系梁承受，因此必须对系梁弯矩加以约束以使其落在允许的范围内。弯矩的约束条件可表示为 $M_{m i n} \leq M \leq M_{m a x}$ 。根据影响矩阵理论，在对弯矩进行限制的同时也相当于对索力进行了约束，从而使调索后的最优解具有了合理性，即当 $M_{m i n} \leq M \leq M_{m a x}$ 时，可得索力约束条件为

（8）

式中： $S_{i}$ 表示第 $i$ 根吊杆的索力； $M_{j m a x}$ 、 $M_{j m i n}$ 分别代表系梁上第 $j$ 个单元所允许的最大、最小弯矩； $M_{0 j}$ 表示系梁第 $j$ 个单元的初始弯矩。同时为了满足索力均匀原则，需将相邻索力的差值限定在可控范围内，另对索力做以下约束：

（9）

式中： $Δ$ 为索力均匀度的评价阈值。

1.5　优化调索路线

本文将索力调整和计算机智能优化算法结合，并考虑了惯性权重的实时变化，使索力调整过程自动化，从而实现索力的高效寻优。其具体步骤如下：

1）利用有限元软件建立拱桥模型，并提取相关结构数据及影响矩阵作为基础数据库。

2）建立目标函数，利用Matlab软件编程粒子群算法并搜索在约束范围内的最优解，如果满足停止条件，则输出当前解，否则更新权重继续搜索。

3）将搜索值代回有限元模型，校核结果的有效性。

优化后的调索路线具体计算流程如图2所示。

图2 计算流程图

Fig.2 Calculation flow chart

2 工程应用

2.1　工程概况

本文以某钢管混凝土拱桥为实际工程依托，主桥总长150 m，计算跨径146.28 m，桥梁总宽 12.9 m，拱轴线为二次抛物线，矢跨比为1/5。拱肋采用哑铃型钢管砼，采用Q345q钢材，内充C50微膨胀混凝土。系梁采用箱形断面，系梁高为240 cm，宽为120 cm，系梁和横梁为预应力混凝土结构，桥面2%横坡通过横梁高度的变化进行调整，吊杆间距为7.30 m，每片拱肋设吊杆19根，吊杆编号由小里程到大里程依次为1~19号，如图3所示。

图3 吊杆编号示意图

Fig.3 Schematic diagram of boom numbering

2.2　参数设置

本文系杆拱桥采用有限元软件ANSYS建模，如图4所示。除吊杆采用桁架单元外，其余均采用梁单元。恒载作用下主梁和拱肋的弯矩值 $M_{0}$ 通过软件的数据提取功能来获取。通过分别改变每根吊杆的初拉力，使其发生单位1的变化，得到关键节点的弯矩变化值从而组成影响矩阵。模型的主要材料特性见表1。

图4 系杆拱有限元模型

Fig.4 Finite element model of tied arch

表1 材料特性

Table 1 Material properties

材料	弹性模量/GPa	泊松比	线膨胀系数/(10^-6/℃)	容重/(kN·m^-3)
C50	34.5	0.2	10	25.0
Q345q	20.6	0.3	12	78.5
Strand1860	19.5	0.3	12	78.5

利用Matlab工具编写改进前和改进后的粒子群算法程序并进行迭代求解，改进前后除惯性权重外，其他系数取值相同。

目前 $w$ 较典型的取值范围为0.2~0.9^［17］，在此范围内取值时算法局部和全局收敛能力较好。为使算法能在一开始便找到较好的解，需要取范围内较大值，因此本文对改进前的惯性权重 $w$ 恒取0.9，对改进后惯性权重系数按式（3）计算。学习因子 $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 取1.49，由文献［18］可知，学习因子取1.49时算法的自我学习能力和社会学习能力均较好。种群规模m取50，索力范围取［500，1 500］，速度范围取索力范围的15%，具体数据见表2。由图5、6可以看出，在迭代次数都为200次的条件下，改进后的算法收敛速度得到明显提高，在收敛精度方面也有一定的改善。

表2 改进后粒子群算法参数

Table 2 Improved PSO parameters

$ω_{m a x}$	$ω_{m i n}$	$c_{1}$	$c_{2}$	$m$	$S_{m i n}$	$S_{m a x}$	$V_{m i n}$	$V_{m a x}$
0.9	0.6	1.49	1.49	50	500	1 500	75	225

图5 算法改进前后效果对比

Fig.5 Comparison of the effect before and after the improvement of algorithm

图6 算法改进前后索力对比

Fig.6 Comparison of cable forces before and after the improvement of algorithm

2.3　优化结果分析

控制拱桥的内力和线形使其在安全的范围内是施工监控过程的重要环节。为了能清楚地展示粒子群优化算法在实际工程中的效果，本节还另使用近似最小弯曲能量法、刚性支撑连续梁法及未知荷载系数法对索力进行求解，4种方法求得的索力见图7。由图可知，利用改进后的粒子群优化算法求得的索力值较其他3种方法更加均匀适中。

图7 索力对比

Fig.7 Comparison of cable forces

图8 系梁弯矩

Fig.8 Bending moment of tie beam

将4种方法求得的索力分别代入有限元模型中，得到各索力下系梁弯矩和竖向位移，如图8、9所示。从图8可以看出，用不同方法约束的系梁弯矩在数值和均匀度上都有较大的差异，其中未知荷载系数法约束的弯矩上下峰值差距较大，在边吊杆处弯矩较大，而刚性支撑连续梁法约束的弯矩在中吊杆处出现了骤增现象，这是因为在吊杆数量有限的情况下，这2种方法不能同时满足多目标约束，可能会导致结构其余部位出现状态异常。近似最小弯曲能量法和改进粒子群优化法优化后的索力均没有出现索力突变现象。而本文的改进粒子群优化法优化后的系梁弯矩较近似最小弯曲能量法更加均匀，且索力值相差不大，适合系杆拱桥成桥索力布置。从图9可以看出，刚性支撑连续梁法和近似最小弯曲能量法优化后的竖向位移较大，这是因为这2种方法只是分别从结构的受力和弯曲能量进行了单一约束，而没有考虑结构的线形。未知荷载系数法是通过限制结构位移的方法来求解索力，因此位移较小，而改进粒子群优化法由于在考虑结构内力的同时对位移也加以约束，因此优化后的竖向位移较好，但本文的改进粒子群优化法较未知荷载系数法优化后的竖向位移更加均匀，峰值更小。4种方法对结构具体影响见表3。

图9 竖向位移

Fig.9 Vertical displacement

表3 4种优化方法对结构的具体影响

Table 3 The specific influence of four optimization methods on the structure

求解方法	最大正弯矩/(kN·m)	最大负弯矩/(kN·m)	位移下限/mm	位移上限/mm
未知荷载系数法	2 319.04	-875.64	-1.28	6.45
改进粒子群优化法	220.76	-441.23	-1.81	5.57
刚性支撑连续梁法	824.76	-740.20	-44.06	-2.18
近似最小弯曲能量法	521.34	-768.62	-29.29	-2.10

3 结语

1）基于粒子群算法的调索方法可以借助有限元软件和数值分析软件实现索力的自动化、智能化求解。改进后算法的寻优能力得到提高，从而避免了繁琐的试算过程，进而可以高效、准确地求解出索力，极大提高了调索效率。

2）粒子群算法改进后较改进前在收敛速度和精度上有一定的改善。

3）4种索力优化方法的结果表明，改进后的粒子群算法较其他3种方法能更加全面地考虑影响因素的作用，进而规避不利因素对优化结果的影响，以达到更好的优化效果。

4）本文提出的方法可进一步推广用于各施工阶段过程中吊杆初拉力的确定问题。

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期刊知识

改进粒子群算法在系杆拱桥成桥索力优化中的应用

1 基于改进粒子群算法的自动调索

1.1 理论基础

1.2 算法优化

1.3 目标函数

1.4 条件约束

1.5 优化调索路线