V型电热驱动器的理论建模及位移响应特性
作为微机电系统(Micro-Electro-Mechanical System,MEMS)的驱动机构,微驱动器也称为微执行器或致动器,通过将其他形式的能量转化为机械能,从而产生驱动力或力矩;其输出力或力矩、驱动位移和可靠性等参数决定了整个MEMS的性能,是MEMS重要的组成部分[
为了研究电热驱动器的位移响应特性,通常需要先对电热驱动器进行解耦[
考虑到温度对材料参数的影响,本文在建立V型电热驱动器的电-热耦合子模型时引入材料参数更新函数。利用改进型切比雪夫谱方法求解V型电热驱动器电-热耦合子模型中的偏微分方程,计算得到V型电热驱动器的温度表达式。在此基础上,结合受迫振动原理,建立V型电热驱动器的热-力耦合子模型,计算得到V型电热驱动器的瞬态位移表达式。然后,通过有限元仿真验证理论下V型电热驱动器的温度和瞬态位移表达式。最后,通过搭建电热驱动器瞬态位移响应实验平台来测量恒定电压激励下V型电热驱动器的瞬态位移,并与理论和仿真下V型电热驱动器的瞬态位移结果进行对比。同时,测量V型电热驱动器在周期方波电压激励下的瞬态位移。本文的研究结果可为V型电热驱动器在微机电系统中的周期性微驱动应用提供参考。
2 V型电热驱动器的电-热-力耦合模型
V型电热驱动器是一个弯曲梁结构,其结构如
图1 V型电热驱动器的结构
Fig.1 Structure of V-shaped electrothermal actuator
2.1 电-热耦合子模型
与热对流和热辐射相比,热传导传输的热量更多[
图2 V型电热驱动器的微元
Fig.2 Micro element of V-shaped electrothermal actuator
和分别为以热传导方式流入和流出V型电热驱动器微元的热量,则[
(1) |
式中:=时,分别为V型电热驱动器的左梁和右梁;为V型电热驱动器左右各梁的温度;κ为室温下V型电热驱动器的导热系数;为导热系数κ关于温度的函数。
V型电热驱动器的微元与空气发生热对流而产生的热损失为,与基底的传热而产生的热损失为,则:
(2) |
式中:为V型电热驱动器与空气的热对流系数,取70 W/();为V型电热驱动器与基底的传热系数,取6 000 W/()[
依据焦耳效应,V型电热驱动器微元在通电条件下产生的焦耳热为:
(3) |
式中:J为电流密度;为室温下V型电热驱动器的电阻率;为电阻率关于温度的函数。
V型电热驱动器的宽度和厚度远小于其长度,因此将它简化为一维几何模型,如
图3 V型电热驱动器的一维简化模型
Fig.3 One-dimensional simplified model of V-shaped electrothermal actuator
依据能量守恒定理,得到V型电热驱动器的瞬态模型方程,如下:
(4) |
且:
(5) |
式中:为V型电热驱动器的密度;为V型电热驱动器的比热容;V(t)为V型电热驱动器加载电压V关于时间t的函数。
由
(6) |
式中:为和时,分别为V型电热驱动器左、右梁的温度关于位置x和时间t的函数。
此外,由模型的边界条件和初始时刻得到:
(7) |
(8) |
由式(6)~
(9) |
式中:和分别为驱动器左、右梁上选取的切比雪夫点的数量;为切比雪夫点处的绝对温度向量;Δt为求解时间步长;n为时间步序号;为绝对温度关于位置x的二阶偏导数的切比雪夫求导矩阵;g(n)为材料参数更新函数,定义如下:
(10) |
式中:[]为去尾取整函数;ns为材料更新时间步。
由于V型电热驱动器的温度随时间变化,因此驱动器的部分材料参数也会变化。为了提高模型的求解精度,在求解过程中需要隔一段时间更新一次材料参数。
(11) |
(12) |
式中:
(13) |
同理,在第n+1个时间步,V型电热驱动器电-热模型间断点处满足
(14) |
式中:
(15) |
(16) |
综合式(11)~
图4 V型电热驱动器电-热模型求解的总体矩阵方程
Fig.4 Overall matrix equation for solving electric-thermal model of V-shaped electrothermal actuator
2.2 热-力耦合子模型
V型电热驱动器受热膨胀会运动,但位移较小,因此可用受迫振动方程来描述V型电热驱动器中心区域的瞬态运动,则有:
(17) |
式中:为V型电热驱动器的等效质量;为运动阻尼,但驱动器尺寸较小,不属于大平板运动,因此忽略运动阻尼的影响;为V型电热驱动器的等效刚度系数;为V型电热驱动器所受的等效外力;y(t)为V型电热驱动器位移y关于时间t的函数。
对于V型电热驱动器的等效刚度系数,由材料力学可得:
(18) |
式中:A为V型电热驱动器梁的横截面积;d为V型电热驱动器中心到两梁根部连线的垂直距离;为V型电热驱动器梁的杨氏模量;为V型电热驱动器梁的惯性矩。当倾斜角为0时,等效刚度系数=6EI/L3,该结果与简支梁中心刚度的计算公式一致。而且在等效外力作用下,V型电热驱动器的拉伸量与热膨胀产生的伸长量相等,可得:
(19) |
式中Δlt为V型电热驱动器的热膨胀总伸长量。
依据电-热耦合子模型中关于温度的分析,并结合热膨胀计算公式,可得V型电热驱动器左、右梁的热膨胀总伸长量为:
(20) |
式中:()为V型电热驱动器的热膨胀系数关于温度的函数。
结合式(18)~
(21) |
式中:
(22) |
(23) |
3 仿 真
V型电热驱动器的结构参数如
参数 | L/µm | w/µm | θ/(°) | h/µm | g /µm |
---|---|---|---|---|---|
数值 | 1 500 | 37 | 1 | 100 | 100 |
参 数 | 符号 | 值 |
---|---|---|
比热容/(J·m-1·K-1) | c | 787 |
密度/(kg·m-3) | ρd | 2 300 |
导热系数/(W·m-1·K-1) | κ0 | 146 |
电阻率/(Ω·m) | ρ0 | 2×10-4 |
热膨胀系数/K-1 | α0 | 2.56×10-6 |
杨氏模量/GPa | E | 1.1×1011 |
泊松比 | v | 0.28 |
依据
图5 V型电热驱动器的有限元模型
Fig.5 Finite element model of V-shaped electrothermal actuator
在16 V电压的作用下,V型电热驱动器在理论和仿真下的温度分布如
图6 理论和仿真下V型电热驱动器不同时刻的温度分布
Fig.6 Temperature distribution of V-shaped electrothermal actuator at different time in theory and simulation
不同电压作用下,V型电热驱动器的理论和仿真瞬态位移曲线如
图7 理论和仿真下V型电热驱动器的瞬态位移
Fig.7 Transient displacements of V-shaped electrothermal actuator in theory and simulation
4 实 验
4.1 高速光学动态测量系统平台
利用基于高速摄影的MEMS结构动态测试技术来进行V型电热驱动器动态响应特性实验,所搭建的动态测量系统实验平台如
图8 动态测量系统实验平台
Fig.8 Experimental platform of dynamic measurement system
4.2 恒定电压激励
在3种不同恒定电压作用下,V型电热驱动器位移的实验测量结果如
图9 V型电热驱动器位移的实验测量结果
Fig.9 Experimental measurement results of displacement for V-shaped electrothermal actuator
在12 V和16 V的电压作用下,V型电热驱动器瞬态位移的理论、仿真和实验曲线如
图10 V型电热驱动器瞬态位移在理论、仿真和实验下的曲线
Fig.10 Curves of transient displacement for V-shaped electrothermal actuator in theory, simulation and experiment
4.3 周期方波电压激励
将频率为20 Hz、峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压1和频率为20 Hz、峰峰值为7 V、偏置为+7 V的周期方波电压2施加到V型电热驱动器上,对应的V型电热驱动器位移分别为位移1和位移2。所施加的电压-时间曲线与V型电热驱动器在第一个周期中的位移-时间曲线如
图11 第一个周期内的电压加载曲线和V型电热驱动器的位移-时间曲线
Fig.11 Loading curves of voltage and displacement-time curves of V-shaped electrothermal actuator in first cycle
将频率为50 Hz、峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压3和频率为50 Hz、峰峰值为7 V且偏置为+7 V的周期方波电压4施加到V型电热驱动器上,对应的V型电热驱动器位移分别为位移3和位移4。V型电热驱动器在第13,14个周期中的位移-时间曲线,与在前10个周期中电压相位为0°和180°时的位移-周期曲线如图
图12V型电热驱动器的位移-时间曲线
Fig.12Displacement-time curves of V-shaped electrothermal actuator
将频率为100 Hz、峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压5和频率为100 Hz、峰峰值为7 V且偏置为+7 V的周期方波电压6施加到V型电热驱动器上,所对应的V型电热驱动器位移分别为位移5和位移6。V型电热驱动器在第26,27个周期中的位移-时间曲线,与在前20个周期中电压相位为0°和180°时的位移-周期曲线如图
5 结 论
本文在建立V型电热驱动器的电-热-力耦合模型时,引入了材料参数更新函数,并利用改进型切比雪夫谱方法求解电-热模型中的偏微分方程,最终推导出V型电热驱动器的温度和瞬态位移表达式。将理论下V型电热驱动器的温度和瞬态位移结果与有限元仿真下温度和瞬态位移结果进行对比。最后,通过实验测量V型电热驱动器在恒定电压和周期方波电压作用下的位移响应。实验结果表明:周期方波电压作用下,V型电热驱动器在稳态阶段做周期性运动,且周期与方波电压的周期相等;在峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压作用下,V型电热驱动器的位移平均值约为20 µm,但在峰峰值为7 V且偏置为+7 V的周期方波电压作用下,位移平均值约为28 µm;在其他参数相同的条件下,频率为50 Hz和100 Hz时,位移变化幅度分别为15 µm和8 µm。由实验数据可知:V型电热驱动器的位移变化幅度与频率负相关,频率的变化不影响位移的平均值。
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