认知差——数学学习的源动力

 一、建构认知差，提供学生学习数学的源动力
所谓的认知差，就是学生学习数学的原有认识水平和将要学习的新知识之间的差异. 哲学告诉我们：事物的发展总是矛盾运动的结果. 反映在形式上就是：矛盾的出现——矛盾的解决——新矛盾的产生. 数学学习也遵循这一认识规律. 而构建合适的认知差，可引起学生极大的好奇心，激发学生内在的求知欲望. 例如切割线定理的探索过程，笔者巧妙地从学生已学过的割线定理这一认知结构出发，始终有 PA·PB = PC·PD，当直线PAB成为切线时（A，B重合）这一性质仍然成立（如图）. 学生很自然地将新建立的切割线定理纳入到原有的割线定理这一知识结构之中，使之更加趋向完善.
传统的封闭式的教学就像把学生当容器，一味地向里面灌知识，而缺少知识之间的相互联系. 很明显，松散的点状知识体系，不牢固，易遗忘. 而让学生全面地了解已学的数学要领和简单的运算技能，形成知识网络后就很牢固，不易遗忘. 其实，新的认知活动主要就是 “归类”的工作，即如何把新的问题归结为先前所认识的某一种类型. 这样，原来的知识就为后来的知识提供了尽可能的学习基础. 数学教师应当注重研究学生的新旧知识结构的差距，有针对性地选准新知识的切入点，这样有助于学生较好地完成知识的归类，使之形成整体的认知框架，这与具体、零散的知识相比，学生就获得了知识的整体性.
二、消除认知差，推动学生认知水平的再提高
合适的认知差一旦建立，就提供了学生解决问题的源动力，但是要想使学生顺利到达彼岸，完成认识水平上的飞跃，这还要求教师帮助学生消除认知差. 为此，就应遵循“最近发展区”的原则，也就是人们常说的“让学生跳一跳，就能摘到苹果”. 教师要精心创设学习环境，因为学习环境是引导学生发现和解决问题的必要条件，它有助于学生认知结构的重新建设和相互转换. 这时可采用类比的方法，即利用新旧知识相互作用的结果，把新知识纳入原有的知识结构之内，或运用推理的方法促使旧知识向正方向迁移. 具体地说：可从下列两个方面着手.
1. 旧知“铺路”
凡是新旧知识间的特殊的部分，是产生负迁移的因素，在理解和掌握新知识时，学生常常表现为不会运用“已知”来解决新问题，这时，我们要及时“铺路搭桥”，把新旧知识沟通. 如果是解题，则指导他们细微分析已知条件和新旧知识间的相互联系，以学生熟悉的旧知识作为通向新知识的桥梁，使抽象难懂的新知识犹如轻车熟路般进入学生的头脑中. 如初中二次函数的教学， 可首先联系一元二次方程等已有概念，逐步给出函数的特征，再通过抛物线与x轴的交点及一元二次方程根的对应关系，进一步完善学生对于它们整体一致性的理解.
2. 新知“化归”
当新知识与学生原有的知识结构相一致时，新知识就被纳入原有认知结构之内，从而扩大了它的内容. 概念教学中，应运用化归的思想，尽可能在原有概念的前提下去揭示新概念的本质特征，精心设计出联系新旧知识的“桥梁”. 如在研究直线和圆的位置关系时，可用点与圆的位置关系去同化. 在新知识与学生原有认知结构不一致时，就需对原有认知结构进行部分调整，消除原有认知结构的障碍，以适应新的学习需要. 如引入换元法解分式方程时，要指导学生从整体上把握未知数的特征，以改变单一的去分母解法的习惯影响，以主动适应新情况下的特征和变化. 但用换元法解无理方程时，这又成了新旧认知结构的不同之处，为此，可对学生加强基本能力训练，逐步使知识的应用由会到熟，由熟到活，以防止负迁移的产生.
现代数学教学论认为：数学活动的核心是数学思维活动. 重视培养学生良好的思维品质已逐步成为广大数学教师的共识，但有的同学对数学中的定理、结论等往往理解僵化，出现思维定式，更有甚者，对定理的条件模糊不清，乱碰胡套，究其原因，往往是学生学过的知识在头脑中只是凌乱地贮存，没有建立起互相的联系，也没有构成一定的有序的“块”，没有真正理解或重新理解. 其实，数学知识之间是相互联系的，包括纵向的、横向的联系，从而组成了知识的网络，也就是人们常说的知识结构，离开了前后联系，知识也就失去了存在的意义.
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