分类讨论思想在解题中的应用

 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
分类讨论就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ”
分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类； 由公式条件分类 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等；由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论
例1：设函数
（I）求函数 的最小正周期；
（II）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ； 求函数 在 上的解析式。
【解析】
（I）函数 的最小正周期 （2）当 时，
当 时，
当 时，
得：函数 在 上的解析式为
例2：数列 满足：
（I）证明：数列 是单调递减数列的充分必要条件是
（II）求 的取值范围，使数列 是单调递增数列。
【解析】
（I）必要条件
当 时， 数列 是单调递减数列充分条件
数列 是单调递减数列
得：数列 是单调递减数列的充分必要条件是
（II）由（I）得：
①当 时， ，不合题意
②当 时，
当 时， 与 同号，
由
当 时，存在 ，使 与 异号
与数列 是单调递减数列矛盾
得：当 时，数列 是单调递增数列
例3 给出定点A（a，0）（a>0）和直线l x=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系
本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法 综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力
解法一 依题意，记B（–1，b），（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx
设点C（x，y），则有0≤x根据点到直线的距离公式得|y|= ①
依题设，点C在直线AB上，故有 ；由x–a≠0，得 ②
将②式代入①式，得y2[（1–a）x2–2ax+（1+a）y2]=0
若y≠0，则 （1–a）x2–2ax+（1+a）y2=0（0若y=0则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式
综上，得点C的轨迹方程为（1–a）x2–2ax+（1+a）y2=0（0（i）当a=1时，轨迹方程化为y2=x（0≤x<1） ③
此时方程③表示抛物线弧段；
（ii）当a≠1，轨迹方程化为
④
所以当0当a>1时，方程④表示双曲线一支的弧段
解法二 设C（x，y）、B（–1，b），则BO的方程为y=–bx，
直线AB的方程为
∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ，
∴直线OC的斜率为k=tanθ，OC的方程为y=kx于是
又tan2θ=–b ∴–b= ①
∵C点在AB上 ∴ ②
由①、②消去b，得 ③
又 ，代入③，有
整理，得（a–1）x2–（1+a）y2+2ax=0 ④
当b=0时，即B点在x轴上时，C（0，0）满足上式
a≠1时，④式变为
当0当a>1时，④表示双曲线一支的弧段；
当a=1时，④表示抛物线弧段
布鲁纳认为：“掌握数学思想和方法使得数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’”.因此，解题教学中不仅要揭示解题过程中蕴含的数学思想方法，更为重要的是要积极引导学生用数学思想方法帮助找到解题思路，它是能力的具体体现之一，是最高层次的教学要求，将使学生终身受益.