基于直觉模糊集TOPSIS法的运输路径选择

 运输路径的选择是一个多属性决策问题。常见的多属性决策方法有简单加权法、层次分析法、TOPSIS法、灰色关联法等。实际上，在确定属性集的过程中会发现多属性决策问题存在着大量模糊的、不确定的信息，这种情况下，若使用精确数据是无法真实反映决策问题中所包含的模糊性信息的[1]。1986年，Atanassov[2]提出了直觉模糊集理论后，人们经过一系列的研究证明该理论能有效的、科学的解决多属性决策问题中的模糊性信息。
近几年，有关专家研究发现，用直觉模糊集来表示传统多属性决策TOPSIS法中的属性值和属性权重，不仅扩展了TOPSIS法，而且有效地解决多属性决策问题中存在的模糊不确定性信息[3]。直觉模糊集推理能减少模糊推理过程中信息的丢失，以更全面、细致地反映现实管理决策问题的本来面目，使决策结果更加合理、可信、可靠以及可用。
1 直觉模糊集相关理论
1.1 直觉模糊集定义 设集合X是一个论域，定义在X上的所有直觉模糊集的全体记为IFS（X），则X上的一个直觉模糊集A表示为[4]：
A={〈x，uA（x），vA（x）〉|x∈X}
其中：uA（x）：X→[0，1]和vA（x）：X→[0，1]分别表示A的隶属函数和非隶属函数，且对A上任意的x∈X，满足0？燮uA+vA？燮1。直觉模糊集A可简记作：A=（x，uA，vA）。
若A={〈x，uA（x），vA（x）〉|x∈X}只有一个元素，即A=1时，直觉模糊集可以简写为A=〈uA，vA〉。对于X中的每个直觉模糊集，称？仔A（x）=1-uA（x）-vA（x）为x在A中的直觉模糊指标（index）或犹豫（hesitancy）度。它表示x是否属于直觉模糊集A的犹豫程度或不确定的一种度量，显然，对于任意的x∈X，都有0？燮？仔A？燮1。特别地，对于论域X上的任意模糊集A，都有？仔A（x）=1-uA（x）-（1-uA（x））=0。
当uA（x）+vA（x）=1或？仔A=0时，直觉模糊集退化为模糊集，则直觉模糊集可表示成为模糊集A={〈x，uA（x），1-uA（x）〉|x∈X}。因此，直觉模糊集是模糊集的扩展，而模糊集是直觉模糊集的一种特殊形式[4]。
1.2 直觉模糊集相关运算 设A和B是给定论域X={x1，…，xn}上的直觉模糊集，则[5-9]：
①包含关系：A？哿B当且仅当？坌xi∈X，uA（xi）？燮uB（xi）且vA（xi）？叟vB（xi）；A？哿B表示直觉模糊集A包含于B或B包含A，同理可定义A？哿B；
②相等关系：A=B当且仅当？坌xi∈X，uA（xi）=uB（xi）且vA（xi）=vB（xi）；
③加法：A+B={〈xi，uA（xi）+uB（xi）-uA（xi）uB（xi），vA（xi）vB（xi）〉|xi∈X}；
④乘法：A*B={〈xi，uA（xi）uB（xi），vA（xi）+vB（xi）-vA（xi）vB（xi）〉|xi∈X}；
⑤补集：Ac={〈xi，vA（xi），uA（xi）〉|xi∈X}；
⑥交集：A∩B={〈xi，uA（xi）∩uB（xi），vA（xi）∪vB（xi）〉|xi∈X}；
⑦并集：A∪B={〈xi，uA（xi）∪uB（xi），vA（xi）∩vB（xi）〉|xi∈X}；
其中：符号∪和∩分别表示取大、取小运算，即max和min算式。
距离测度是直觉模糊集理论中的一个重要概念，用于反映两个直觉模糊集的差异程度。直觉模糊集的距离就是求两个直觉模糊集归一化距离，直觉模糊集的距离大小是在单位区间[0，1]内。距离测度在模式识别、人工智能、近似推理及市场预测等领域中发挥着重要作用[10-11]。
设X是一个非空有限集合，任意直觉模糊集A，B，C∈F（X），称映射D：F（X）×F（X）→[0，1]为直觉模糊集间的距离测度，若其满足下面条件：
①0？燮D（A，B）？燮1；
②D（A，B）=0，当且仅当A=B；
③D（A，B）=D（B，A）；
④若A？哿B？哿C则D（A，C）？叟D（A，B）∪D（B，C）；
则称D（A，B）为直觉模糊集A与B的归一化距离。A与B的欧氏归一化距离为[4]：
D2（A，B）=
■
（1）
1.3 直觉模糊集排序 设直觉模糊集A=〈uA，vA〉，称
？驻（A）=uA-vA为其得分值，H（A）=uA+vA为其精确值，显然
？驻（A）∈[-1，1]，H（A）∈[0，1]。直觉模糊集的得分值类似于统计学上的均值，精确值类似于统计学上的方差。因此，可认为：得分值越大的直觉模糊集就越大；而得分值相等的情况下，精确值越大，则相应的直觉模糊集也越大。于是，可以规定2个直觉模糊集A=〈uA，vA〉和B=〈uB，vB〉的大小关系或排序如下[4]：
（1）如果？驻（A）>？驻（B），则A大于B，记作A>B；
（2）如果？驻（A）=？驻（B），则：当H（A）=H（B），有A等于B，记作A=B；当H（A）H（B），有A大于B，记作A>B。
2 直觉模糊集TOPSIS法
2.1 TOPSIS法简介 TOPSIS法作为经典的多属性决策方法之一，是由Hwang和Yoon首先提出来，多用于研究多指标决策问题。TOPSIS法是一种逼近理想解的排序方法，是解决多属性问题的经典方法之一[12-14]。
TOPSIS法的基本处理思路是：首先建立初始化决策矩阵，而后对初始矩阵进行归一化和加权两步骤处理，之后得到加权规范化决策矩阵，接着从该矩阵中找出有限方案中的最优方案和最劣方案（也就是正、负理想解），然后分别计算各个评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价方案与最优方案的相对接近程度，最后进行排序，并以此作为评价方案优劣的依据。
2.2 直觉模糊集TOPSIS法基本原理 设有n个可供选择的决策方案，构成方案集A={A1，A2，…，An}，伴随每个方案有m个属性，记属性集为X={x1，x2，…，xm}。用uij∈[0，1]和vij∈[0，1]分别表示方案Aj∈A对属性xi∈X的满足与不满足的程度，且0？燮uij+vij？燮1。方案Aj关于属性xi的评价可用直觉模糊集表示为Fij=〈uij，vij〉，其中，方案Aj关于m个属性的属性值可表示为：
Aj=（F1j，F2j，…，Fmj）=（〈u1j，v1j〉，〈u2j，v2j〉，…，〈umj，vmj〉），（j=1，2，…，n）
因此，直觉模糊多属性决策问题可表示为下面的决策矩阵：
F=（〈uij，vij〉）m×n，（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）
类似地，每个属性xi∈X的权重wi也可用直觉模糊集表示为wi=〈？籽i，？子i〉，其中？籽i∈[0，1]和？子i∈[0，1]分别表示属性xi关于模糊概念“重要性”的隶属度和非隶属度，且0？燮？籽i+？子i？燮1。所有属性的权重向量表示为：
w=（w1，w2，…，wm）T=（〈？籽1，？子1〉，〈？籽2，？子2〉，…，〈？籽m，？子m〉）T
根据直觉模糊集的相关计算对决策矩阵和权重向量进行处理，可得到加权规范直觉模糊决策矩阵为：
■=〈■■，■■〉■
式中：
〈■■，■■〉=wiFij=〈？籽i，？子i〉〈uij，vij〉=〈？籽iuij，？子i+vij-？子ivij〉，（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）（2）
可以定义直觉模糊集正理想解为A+与直觉模糊集负理想解为A-，它们的直觉模糊集向量分别为：
A+=〈u■■，v■■〉，〈u■■，v■■〉，…，〈u■■，v■■〉（3）
A-=〈u■■，v■■〉，〈u■■，v■■〉，…，〈u■■，v■■〉（4）
其中，u■■=■■■，v■■=■■■，u■■=■■■，v■■=■■■。
根据式（1）可计算各方案Aj与直觉模糊正、负理想解的欧式距离分别为[4]：
D2（Aj，A+）=■
（5）
D2（Aj，A-）=■
（6）
其中，■=1-■■-■■，？仔■■=1-u■■-v■■，？仔■■=1-u■■-v■■，（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）。
各个方案Aj与直觉模糊正理想方案的相对接近度可由下式计算为
？渍j=■，（j=1，2，…，n）（7）
显然，？渍j∈[0，1]越大所对应的方案Aj则越优。于是，可根据？渍j（j=1，2，…，n）的不增排列顺序确定方案Aj∈A（j=1，2，…，n）的优劣排序，并确定其最优方案。
3 直觉模糊集TOPSIS法在运输路径选择中的应用
3.1 案例背景 某物流企业准备运输一批物资，现有4个路径方案可供选择，其运输路径方案分别为A1、A2、A3和A4，记为A={A1，A2，A3，A4}。该企业管理者参考了以下五种评价指标（属性）：①x1表示运输距离（公里）；②x2表示运输时间（小时）；③x3表示运输费用（元）；④x4表示运输环节（次数）；⑤x5表示运输质量（得分）。由专家打分法得出这五个属性的权重向量为w=（〈？籽i，？子i〉）5×1=（〈0.25，0.23〉，〈0.35，0.40〉，〈0.45，0.21〉，〈0.33，0.25〉，〈0.32，0.55〉）。企业通过以往数据，抽验调查和统计分析，可得到方案Aj关于属性xi的隶属度和非隶属度，具体可由下面的直觉模糊集决策矩阵给出：
F=■
现利用直觉模糊集TOPSIS法对该批物资的运输路径进行择优选择。
3.2 实例计算
步骤1：计算加权规范直觉模糊决策矩阵。
利用式（2），并结合上面所给定的直觉模糊集决策矩阵F和直觉模糊集权重向量w，可计算出加权规范直觉模糊决策矩阵为：
■=〈■■，■■〉■=■■，■■，■■，■■=
■
式中：
■■=（〈0.75×0.25，0.10+0.23-0.10×0.23〉，〈0.60×0.35，0.23+0.40-0.23×0.40〉，〈0.80×0.45，0.20+0.21-0.20×0.21〉，〈0.73×0.33，0.13+0.25-0.13×0.25〉，〈0.76×0.32，0.23+0.55-0.23×0.55〉）T；
■■=（〈0.65×0.25，0.15+0.23-0.15×0.23〉，〈0.68×0.35，0.20+0.40-0.20×0.40〉，〈0.45×0.45，0.50+0.21-0.50×0.21〉，〈0.55×0.33，0.25+0.25-0.25×0.25〉，〈0.60×0.32，0.15+0.55-0.15×0.55〉）T；
■■=（〈0.85×0.25，0.12+0.23-0.12×0.23〉，〈0.75×0.35，0.18+0.40-0.18×0.40〉，〈0.82×0.45，0.15+0.21-0.15×0.21〉，〈0.60×0.33，0.30+0.25-0.30×0.25〉，〈0.74×0.32，0.25+0.55-0.23×0.55〉）T；
■■=（〈0.40×0.25，0.45+0.23-0.45×0.23〉，〈0.76×0.35，0.12+0.40-0.12×0.40〉，〈0.67×0.45，0.13+0.21-0.13×0.21〉，〈0.68×0.33，0.15+0.25-0.15×0.25〉，〈0.65×0.32，0.30+0.55-0.30×0.55〉）T；
步骤2：确定直模糊集正、负理想方案。
利用式（3）和（4），确定直觉模糊集正、负理想方案的直觉模糊集向量分别为：
A+=（〈0.2125，0.3070〉，〈0.2660，0.4720〉，
〈0.3690，0.3127〉，〈0.2409，0.3475〉，〈0.2432，0.6175〉
A-=（〈0.1000，0.5765〉，〈0.2100，0.5380〉，
〈0.2025，0.6050〉，〈0.1815，0.4750〉，〈0.1920，0.6850〉
步骤3：计算每个方案和理想方案的欧式距离。
由式（5）和（6）分别计算方案A1、A2、A3和A4与直觉模糊正、负理想方案的欧式距离为：
D2（A1，A+）=0.09142，D2（A2，A+）=0.27785，D2（A3，A+）=0.12678，D2（A4，A+）=0.25138
D2（A1，A-）=0.33847，D2（A2，A-）=0.22225，D2（A3，A-）=0.33262，D2（A4，A-）=0.28289
步骤4：计算相对贴进度、排序并确定最优方案。
由式（7）计算方案A1、A2、A3和A4与直觉模糊正、负理想方案的相对接近度分别为？渍1=0.7873，？渍2=0.4444，？渍3=0.7240，？渍4=0.5295。于是四个方案的排序为A1？酆A3？酆A4？酆A2，即A1为最优方案。
4 结语
运输路径的选择是一个复杂的多属性决策问题。在评价路径方案的过程中会有大量模糊、不确定的因素，其中不仅包括客观因素，如评价指标的模糊性和难以量化性，也包括主观因素，如决策者的偏好、价值观、知识范围等。鉴于此，如果仅仅使用一种方法很难解决问题，为了克服单个方法的不足，将直觉模糊集和TOPSIS法有机结合，形成了一个综合评价方法。利用直觉模糊集TOPSIS法对运输路径进行选择，既实现企业对运输路径的有效管理和科学选择，同时也提高了运输的管理和保障能力，为企业运输系统选择体系标准化提供了一种新思路。最后的实例分析验证了直觉模糊集TOPSIS法不仅原理简单，而且易于实现，可为实际的复杂决策问题提供一种新的、有效的解决方法，该方法有望在更多类似的领域中得到更大地推广应用。