非回转对称次波前退化下的干涉相干成像像差

次波前退化引起的干涉成像像差会使得检测结果出现偏差。图1所示为一个2 m口径非球面的干涉补偿检测结果，其中像差具体表现为当对一个方向上对焦时，其他方向上呈现模糊的状态，即无法找到一个成像位置能获得全口径的理想成像。

图1  干涉相干成像像差对检测结果的影响

Fig.1  Effect of interferometric coherence imaging aberration on detection results

由菲涅尔-惠更斯理论可知，波前传递可以理解为波前上的每一点都为一个小的点光源发散出球面波，此后的波前可以看作这些点光源发出球面波的“包络“形成的。因此，每个波前可以看作是次波前上每一点干涉叠加的结果。由标量衍射的角谱理论可知，在自由空间传播的传递函数如下：^［13］

式（1）是标量衍射理论中描述球面波的波前传递情况。当引入CGH补偿器之后，球面波虽然相位信息得到了补偿，但却引入了成像像差。这个像差主要表现为沿着CGH表面的径向与轴向产生了场曲，使得通过CGH的光束在成像空间上汇聚在了子午与弧矢两个焦点上。所以，针对非球面波传播上述的传递函数并不能描述其波前的传播情况，为了定量分析其波前传播情况，采用点源微扰的思想进行分析。由于常见的非球面分布都满足二阶连续可微的曲面，取其传播波前上的微元点进行分析，基于微分几何的原理，波前上任意一点的曲率可以看作两个正交曲率方向的矢量组合而成。而不同的曲率会导致其在光轴上的成像位置不同，这就不同于几何光学的假设前提，这里认为光线不仅仅只是一条理想的线，而是由一个点光源产生的一个很小角度锥体的光束。那么子午与弧矢两个方向的曲率在两方向上的光焦度不同，那么波前在成像面的光轴上出现两个焦点，即子午与弧矢方向的焦点，利用两焦点与像面位置之差（子午与弧矢方向上的离焦量）来构建其传递函数表达式，进而可以定量分析次波前的退化过程，如图2所示。

图2  非回转对称的离焦模型

Fig.2  Out-of-focus model with non-rotation symmetry

基于标量衍射理论，对球面波传递函数的角谱表达式进行菲涅尔近似处理后，得到：

带入非回转对称传播理论中，得到：

其中z_t0，z_s0为子午与弧矢焦点所在的位置。利用Mathematica对式（3）进行傅里叶逆变换，得到传递函数的空域表达式：

将z−zt0，z−zs0设为子午与弧矢的离焦量zt,zs。引入子午与弧矢方向的离焦量后非回转对称的传递函数表达式如下：

其中：z_s为弧矢方向的离焦量，z_t为子午方向的离焦量。

利用Matlab对非回转对称的传递函数进行仿真分析，物平面尺寸设置为4 mm×4 mm，设置一个阶跃面作为参考。其中，发光平面尺寸为2 mm×2 mm，其余部分为暗面，从而获得一个理想阶跃的情况，其物平面模型如图3所示。

图3  物平面仿真模型

Fig.3  Object plane simulation model

为了方便观察其仿真现象，取子午与弧矢的离焦量为30 mm时，观察分布在子午焦点、弧矢焦点和干涉仪焦点处其相位与振幅的变化情况。如图4所示，通过对比发现，在对子午（弧矢）对焦的情况下，会出现一边锐利一边模糊的情况；而当介于两焦点之间时，会发现其子午和弧矢方向上都出现了振荡，其仿真结果与预期结果一致。这个理论模型为干涉检测成像像差模型的数值化以及定量分析提供了理论支持。

图4  次波前退化引起的成像像差对比

Fig.4  Comparison of imaging aberrations caused by wavefront degradation

基于非回转对称的次波前退化理论，得到了非球面波前的传递函数。整个波前退化的过程可以理解为携带真实面形信息的波前在经过传播过程中与干涉相干成像像差发生耦合，进而得到了退化后的波前，如图5所示。类比点扩散函数（Point Spread Function， PSF）产生图像滤波效应的过程，将整个过程抽象为一个波前与调频函数的卷积过程，那么调频函数就是卷积核^［14］。

图5  干涉相干成像像差模型

Fig.5  Schematic diagram of interferometric coherent imaging aberration model

数学模型的建立从调频函数（卷积核）入手。首先，考虑到采样理想情况下的狄拉克采样形式，获得其调频函数的分布如图6所示。观察其结果发现，仿真后所得到的调频函数的相位在边缘处的振荡十分剧烈，这就会导致最终像平面内存在过多的无效高频信息，而由于狄拉克采样，其振幅为常数，无法通过振幅的分布来截取其无效的高频部分，与实际情况不相符。

图6  狄拉克采样下卷积核相位与振幅的分布

Fig.6  Distribution of phase and amplitude of convolution kernel for Dirac sampling

为了抑制相位振荡的影响，采用改变卷积核的采样方式。由于高斯函数可以看作狄拉克函数的展宽，在保留其有效信息的同时，可以使其卷积核的振幅收敛，从而更好地解决其相位振荡的问题。所以，利用高斯采样的形式对卷积核进行数值化处理，如下：

为了提高计算的精确度，在考虑卷积核采样的同时，利用离散形式的高斯积分采样来代替原有的调频函数的表达式，即利用区域积分形式代替离散点采样形式，从而在保证计算精度的同时保证了计算速度。在新卷积核表达式的推导过程中，用误差函数代替积分取值的结果，进而在减小运算时间的同时保证计算精度。推导后得到其卷积核的最终表达式：

其中：z_s为弧矢方向离焦量，z_t为子午方向离焦量，a为采样尺寸的半宽度，σ为高斯采样的采样常数，（x₀，y₀）为卷积核采样点的坐标值。

在得到数值化的卷积核后，选取合适的数值进行仿真验证。取其离焦量为z_s=-0.1 mm，z_t=0.1 mm，σ=0.01，得到其卷积核的相位与振幅的分布如图7所示。通过观察发现，虽然其相位的振荡很剧烈，但其振幅是收敛的，这也为卷积核尺寸的截取提供了依据。

图7  高斯采样的卷积核相位与振幅的分布

Fig.7  Distribution of phase and amplitude of convolution kernel for Gaussian sampling

由于卷积核的振幅是收敛的，取一维下的卷积核振幅的分布，所以可以利用振幅来截取卷积核的尺寸。卷积核截取前后像平面的振幅与相位的分布如图8所示（由于是两个方向正交，仅展示x方向上的相位与振幅的对比情况）。对比发现，改变采样方式，从而借助收敛的振幅所截取的卷积核所得到的像平面分布可以有效地抑制无效的高频信息，从而模拟出实际干涉成像中所呈现的真实情况。而离散形式的高斯积分采样结果的分布形式如图9所示。与预期的结果一致，但运算速度提升了很多，为了保证算法的高效性，最终选用离散形式的高斯积分采样作为模型的调频函数的数值化方法。

  

  

图8卷积核截取后的高斯采样的结果与卷积核未截取的对比结果

Fig.8Results of Gaussian sampling after convolutional kernel interception compared with convolutional kernel without interception

图9  积分高斯采样的相位分布与高斯卷积核结果的对比

Fig.9  Phase distribution of integrated Gaussian sampling versus Gaussian convolution kernel results

首先对卷积核表达式进行分析，为了更好地分析卷积核的相位分布关系，对e指数进行有理化，整理后观察其表达式分布，如下：

将式（9）中的前项分母设为-2p²后，将e指数整理为：

其中：p为新的高斯函数的半宽，同时p也具有一定的物理意义。当z=0时，p与σ相等。当离焦量增加时，p的宽度也随之展宽，也就说明影响的范围变大，即随着离焦量的增加，影响区域也越来越大。

在确定了卷积核矩阵的表达式与采样方式后，对结果进行进一步分析。由于子午与弧矢方向呈正交分布，彼此互不影响。取一维方向进行分析，利用小像差近似获得退化前的理想波前表达式如下：

传播后退化波前的分布表达式如下：

与理想情况下的对比发现，当σ=0时，高斯采样转换为狄拉克采样形式，退化后的像面分布与理论推导的像面分布一致，故在原理上证明了高斯采样模型的正确性。