分部积分法在高职教学中的教学浅谈-数学教学论文

一、分部积分法的引入

教学前，首先要引导学生回顾前面所学的不定积分知识，让学生进一步熟悉求不定积分和求导的关系，不定积分基本积分公式，性质和换元积分法与前面求导法则之间的关系，时刻提醒学生不定积分与求导是紧密联系在一起的。教学过程中，在有关分部积分公式引入方面，大部分教师都是直接给出几个如 ， 这样目前积不出的例子，然后直接分析被积函数特点，最后由乘积求导法则推出分部积分公式。笔者认为这样引入多少有些牵强，给学生的感觉是为了引入公式而专门给出的例子，而不能让学生明白引入分部积分法的重要性。在教学中我建议从基本初等函数求不定积分引入分部积分公式。具体教学实践为：在前面的课程教学中我们已经学习了好几种积分方法，为什么还要继续寻求积分方法？因为到目前为止，我们还不能解两类基本初等函数（对数函数和反三角函数）求不定积分的问题。如求不定积分 ， ，不能用直接积分法和第一换元法求出，而如果利用第二换元法，则上面的不定积分会转化成求不定积分 ， ，这时再来分析被积函数 ， 的特点。对被积函数 ，如果被积函数是 就可以直接积出，但如何将 转变成 ？也就是将 如何转变为1？显然学生立刻想到求导可以将 转变为1，也就是要把 导一次而 不导，也就是“前导后不导”，这样学生自然而然联想到了函数乘积的求导法则。最后再由乘积求导法则引出分部积分公式。这样引入分部积分法就觉得很自然、很有必要，而且可以让学生明白引入分部积分公式的紧迫性和重要性。

二、分部积分法在教学中的实践

在教学实践中，很多学生听老师讲例题的时候都感觉分部积分法与第一换元法相比较简单，容易，因此学习的积极性很高，学习兴趣很浓。可当自己操作的时，往往不知道如何下手，或者只会依葫芦画瓢，但一到综合应用时就不知什么时候该用何种方法，如何着手。学生学习的积极性也迅速下降，对后面的教学产生严重影响。对于分部积分公式，教材上给出了两个，分别是 、 。针对高职学生基础较差，对抽象公式比较反感的特点，笔者认为可以只给出第一个公式，因为这个公式比较对称，可以方便学生记忆，然后分析公式的特点，给出的不定积分不好积出，我们转化到另一个我们会积的积分上，而转化的重点就在于 的选取上，通过对 的局部求导，能使积分转化到我们前面所学的方法上，即 。

分部积分公式虽然简单，但只是抽象的给出了积分转化的方法，如何具体的操作，还需要通过大量的例题去引导学生，而这也是学生最感兴趣的地方，教师需要很好的抓住学生的这个心理。教师在举例的时候要由简到难，循序渐进，切忌跳跃，从简单的入手，仔细分析如何去选取 ，教师也可从反面来看做一做，如果 选取不当，会使积分变得更加复杂，指导学生得出：在实际操作中，如果选取的 会使积分变的更复杂，则说明选的 出现了错误，需要重新再来选取。并且通过大量例题，教师还要引导学生一起去归纳总结，得出一般情况下不同类函数相乘求不定积分时 的选取方法。如：

当被积函数为幂函数和指数函数，幂函数和三角函数乘积时，通常选幂函数为 。

当被积函数为幂函数和对数函数，幂函数和反三角函数乘积时通常选对数函数和反三角函数为 。

三、分部积分法的课后总结

当分部积分法教学结束后，整个不定积分计算的学习就结束了，这时我们要带领学生重新再整理所学的积分方法，让学生理解教学内容的安排及计算不定积分的基本思路。让学生思考这样的问题：1、在导数章节中，我们先给出了乘积求导公式，再学习了复合函数求导公式，为什么在不定积分章节的学习中则先学习了换元积分公式，而后才学习分部积分公式呢，教材这样安排的目的何在？能不能先学分部积分发，再来学换元积分法呢？2、对于这几种积分方法，当给出一个不定积分时，我们如何选取正确的积分方法？对于第一个问题，由于分部积分法中不仅要正确的选择 ，还需要再凑出 ，而 则用到了凑微元的方法，因此我们需要先学习换元法。这样可使学生在与导数的教学内容进行对比中，发觉教材内容安排的合理性。同时笔者认为求不定积分的思路，也是首先考虑能否用直接积分法，再考虑换元积分法，最后来考虑分部积分法。如在分部积分法教学后段上，老师们都会讲这样一个例子：求不定积分 ，并把此例归结为综合利用换元积分法和分部积分法的典型例子，其具体解题过程如下：

解：令 ，则

原式= = 。

笔者认为这种说法并不一定准确。在解题时，我们首先想到了应用换元法去掉难处理的因子 ，然后才发现需要再用分部积分法来做。实际上我们可以直接利用分部积分法来做，具体解题过程为：

解： =

从此例也可从侧面看出我们对不定积分求解的一般思路。

参考文献

[1]薛秋. 不定积分常用技巧初探[J]. 数学学习与研究，2009（1）

[2]冯天祥. 高职院校经济数学中凑微分法的教学研究. 系统信息工程，2010（1）

[3]陈继理. 不定积分教学的二个注记. 丽水师范专科学校学报，2010（5）

[4]夏磊. 不定积分在高职教学中的教学浅谈. 教育研究与实践，2008（12）