分数乘分数教学的实践与思考-数学论文发表

分数乘分数一直以来是五年级数学教学的难点之一。计算方法很容易掌握，但是背住了，会算了，考试能得高分就实现教学的价值了吗？带着这些问题，我和两位老师进行了实践：
A教师的课堂回放：
师：我们已经学习了分数乘整数的计算方法，这节课我们一起来研究分数乘分数。（板书：分数乘法三）
生：老师，我已经会算了。
师：（微笑）说说，分数乘分数怎么算？
生：分数乘分数，用分子和分子相乘，分母和分母相乘。
师：大家同意他的说法吗？（同意）看来分数乘分数的方法大家已经知道了。那为什么在计算分数乘分数的时候，要用分子和分子相乘、分母和分母相乘，你们知道吗？
生：（摇头，面露困惑）
师：这节课我们就一起来研究这个问题。
师：我们一起来看（演示并讲解），如果要计算 × =？，我们可以先将一张长方形的纸，用斜线涂出它的 （折、涂一张纸的 ），再把这张纸横着对折2次，找到 的 （用红色涂出斜线部分的 ），红色部分占整张纸的 。 正是 的 ，也就是 × 的结果。
 → →  →  
师：大家明白了吗？（生似懂非懂）请同学们用这种办法试着来画一画、涂一涂，看 × ＝？
在接下来的学习中，学生虽能算出 × 的结果，但是对怎么画、涂表示计算的道理却出现极大的困难。在涂的过程中，主要有以下不同的涂法：

面对这些五花八门的涂法，老师显然也感到意外万分。于是再次演示正确的画、涂方法，引导学生观察两个算式，得出分数乘分数的计算方法：分母乘分母，分子乘分子。之后，草草收兵，进行接下来的计算练习巩固环节。从课堂小测来看，大部分学生掌握了分数乘分数的计算方法，但是对算理的理解还是糊涂一片。
经课后访谈得知，有些学生先算出来 × 的得数，再表示出这张纸的2/15，如图二；大部分学生虽能正确涂出一张纸的2/5，但对接下来涂这个数的1/3的时候，找不到是哪部分的1/3。如图一和其余四种涂法。
教学注释：
教材的本意是要通过折纸、涂色帮助学生理解算理，再掌握算法，而在这节课上，学生在已知算法的情况下，作为中介的折纸与画图却成了教学的难点。即便如此，我们也不能忽视学生对算理的理解。因为，学生大多对算法是知其然而不知其所以然。如果不理解算理，即使会算分数乘分数的题目，却对未来进一步学习分数乘除法设下了障碍。因此，教材安排的折纸与涂色活动是很有深意的。这部分绝不能成为课堂的点缀，也不能仅凭教师的演示和讲解就匆忙结束。必须让学生亲自经历这一活动，让他们找到2/5的1/3，发现2/5的1/3就是整张纸的2/15，从而得到算式与结果的关联。基于这些思考，第二位老师进行了教学实践。

B教师的课堂回放：
片段一：
师：（课前每人发一张纸）用折纸的方式，折出这张纸的1/2。涂色表示出这张纸的1/2。
（生自主完成）
师：谁来说说你是怎么做的？
生：我把这张纸对折，就是把这张纸平均分成两份，那其中的一份我涂了色就表示其中的1/2。
师：现在这张纸被涂色的部分，也就是？
生：这张纸的1/2。
师：如果用涂色的方式来表示这张纸的1/2的1/4，你们还会吗？
（生折、涂，教师巡视，找有代表性的方法汇报）
生：我把这张纸先撕了，拿出了这份，然后对折，对折，就涂其中的一份就可以了。
教学注释：学生通过撕纸，把一张纸的1/2变成新的单位1。这充分反应了学生的思维过程，明白1/2张纸是单位1。学生通过自己动手操作明白了算式的含义。
师：表示的是谁的1/4？
生：是这张纸的1/4（学生先撕了一张纸的1/2做的，所以学生指的这张纸是1/2张纸的1/4）
师：想一想，你们指的这张纸和我们开始用的纸之间的关系？
生：是开始纸的1/2。
师：那么这1/4是？
生：开始那张纸的1/2的1/4。
师：听明白了吗？现在想想我们是怎么完成这张纸的1/2的1/4的？
生：首先把一张纸平均分成两份，取了其中的一份，再把其中的一份平均分成4份，取其中的一份。
师：就是？
生：就是一张纸的1/8。
师：是一张纸的1/8，对不对呢？快把你们撕的纸合起来看看，是不是这张纸的1/8？
（生验证）
教学注释：让学生撕下1/2张纸，再去找它的1/4时，学生描述的“这张纸”并非原来完整的一张纸。因此，教师引导学生还原这张纸，再来理解手中纸的1/4是原来整张纸的1/2的1/4，也就是整张纸的1/8。让孩子结合直观图示，逐渐形成抽象的理解，不仅知其然，还要知其所以然。

片段二：
师：同学们学得真不错。看看这道题，（2/5×3/7）你会做吗？做完后能结合折纸，说说算式的含义吗？
（生讨论之后汇报）
师：你们会说含义了吗？
生：就是把一张纸平均分成5份，取其中的两份，再把这两份平均分成7份，取其中的3份。
师：其实就是求什么？
生：一张纸的2/5的3/7是多少？
师：你们计算出来了吗？
生：6/35。
师：这6/35是把谁看作单位“1”？
生：把这张纸的2/5看作单位“1”。
生：是把这张纸看作单位“1”。
师：我们来看一看，如果是把这张纸的2/5看作单位“1”，那应是平均分成7份，取3份，所以2/15是把整张纸看作单位“1”。所以2/5×3/7的含义就是？
生：求这张纸的2/5的3/7，也就是这张纸的6/35。
师：我们再来体会一下，先求一张纸的2/5，再求这张纸的2/5的3/7是多少，就是求原来整个这张纸的6/35。
（生体会）
教学注释：在学生通过折、涂，已经很好地理解了一张纸的1/2的1/4，也就是整张纸的1/8之后，这部分教学没有进行折纸，也没有图例，而是引导学生通过想象，就算式来说含义。在这个过程中，教师针对算式的意义进行了追问和点拨：6/35是把谁看作单位“1”？那么2/5×3/7的含义是什么？借助折纸的情境，让学生想象和体会：先求一张纸的2/5，再求这张纸的2/5的3/7是多少，就是求原来整个这张纸的6/35。让学生在头脑中想象两次涂色的动态过程，将思维引向深入，从而借助几何直观达到对算理的抽象理解。
学习与思考：
分数乘法（三）是北师大版小学数学五年级下册第一单元分数乘法的内容。本课时的教学目标：1、在操作活动中，借助图形语言，理解分数乘分数的意义；2、探索并掌握分数乘分数的计算方法，并能够正确计算；3、能运用分数乘分数的知识解决简单的实际问题。从这三个教学目标可以看出，每个教学目标层层深入，逐步递进。第一个教学目标是前两个的基础，只有理解了分数乘分数的意义，才可以总结计算方法；掌握了计算方法才能正确计算；拥有计算能力了，才能解决实际问题。因此，本课教学重点是结合具体情境，让学生探索并理解分数乘分数的意义（即算理），在理解算理的基础上体会计算方法的合理性。
据Ｊ．Martin研究的结论，“整体１”可以分为以下六种情况①（以１/5为例）：
（１）１个物体，例如一个“圆形”，平均分成５份，取其中的１份；
（２）５个物体，例如“５块糖”，其中的“１块”占“５块”的１/5；
（３）５个以上但是５的倍数，例如“１５块糖”，平均分为５份，取其中的１份；
（４）比１个多但比５个少，例如，“２块巧克力”作为“整体”；
（５）比５个多但不能被５整除，例如，“７根香蕉”作为“整体”；
（６）一个单独物体的一部分的1/5，例如，一米的3/4的1/5。
这六种情况不可能让学生同时学习，但让学生逐步地经历这些“情境”对学习分数是非常重要的，尤其是（１）（２）（３）这三种情境。（４）（５）两种情境对于学生进一步理解“分数”与“除法”的关系非常必要，而情境（６）则是学生很好地理解分数乘分数的“模型”。
由此，我们推想，学生学习分数乘法出现困难，归根结底还是对第（６）种情境经历不够。两位老师在教学中都关注到了这一点，但是在实施中，侧重有所不同。A老师利用了系统演示和讲解的办法。这虽能节省教学时间，却从一定程度上代替了学生的操作与思考。何况，学生对分数乘分数这一“模型”的理解也不是一蹴而就的，一次演示远远不够，还要有梯度地呈现类似的情境让学生反复体会。
为了帮助学生理解，B老师先和学生一起经历折、涂一张纸的1/2，再涂这张纸的1/2的1/4。在学生很好地理解了整张纸的1/8之后，再让学生借助折纸的情境来想像2/5×3/7表示什么？并在学生容易困惑的地方精心设问和点拨，进一步引导学生明确一张纸的2/5的3/7，也就是这张纸的6/35，最后再让学生在头脑中回顾完整的思考过程。
显然，让学生由直观操作达至初步理解，再由折纸想象两次平均分的动态过程，这样分层次处理是建立在学生认知基础上的。能够有效地沟通算式与结果的关系，促进对算式意义的理解。让学生在理解算理的基础上，再去尝试探索算法，不仅能达到水到渠成之功，而且也会印象深刻。
通过本次研讨与实践，我们深刻认识到：在教学中根据学生的认知起点，让学生充分经历知识的建构过程非常重要。