一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示

简谐振动，在自然界中广泛存在，所有在平衡位置附近做微小振动一般都可以视为简谐振动。晶体中，原子在某个平衡位置的振动，其形式和简谐振动类似，但原子的振动本质上是量子谐振子。深入研究量子谐振子，有助于晶体性质深入学习。一维线性谐振子的可视化，已有部分文献进行讨论，本文以Mathematica软件为例，利用控件，探讨一维线性谐振子的波函数及几率密度的变化，使学生能更直观的认识波函数及几率密度的物理意义。

1  一维线性谐振子的波函数和几率密度

考虑一维线性谐振子的势能为 ，则薛定谔方程为

该方程的解为

其中，。为厄米多项式。一维线性谐振子的能量为。其几率密度为 。

2  波函数及几率密度的作图

Mathematica中，利用内部命令Manipulate 可以实现对控件的操作，其基本形式为：

Manipulate[expr,{u,umin,umax,du}]

其基本含义为，产生一个带有控件的expr表达式版本，该控件允许对u的值进行交互式操作，其中umin，umax分别是u的最小值和最大值，du表示从最小值到最大值以du步长变化。

根据一维线性谐振子的波函数，umin=0，du=1，设置umax=20，其代码为：

为了方便，我们直接令质量。可以展示不同能级的波函数，这里设置的是n=0到n=100的能力，根据需求，可以调节{{n,0,”能量“},0,100,1}中的“0”和“100”以及步长“1”。

图1  一维线性谐振子的波函数交互式图样（n=0，1）

通过调节控件，可以直接得出不同情况下的波函数图样，可以直观的让学生感受到不同能量情况下的波函数。

为了得到几率密度与波函数图样的关系，可以在Manipulate中加入概率的相关命令，代码为：

其交互式图形见图2。通过调节控件，可以分别得到不同波函数图样以及概率图样。

图2  一维线性谐振子的波函数交互式图样（n=0， 15）

从概率图中可以看出，当n>2时一维谐振动的粒子的波函数及几率密度呈现中间小，两头大的情形，张迪等已经进行了比较详细的讨论，这里不再阐述。

3  结语

理论物理导论是材料物理专业的学科基础课，涉及到分析力学、量子力学、热力学与统计物理，内容多、数学基础要求高、难度大。为了利用有限的课时，将物理概念讲深讲透，不能纯粹只利用板书教学，需要将所授知识可视化。Mathemtaica等数学软件，为数学知识内容可视化提供了便利。本文以谐振子的波函数和几率密度为例，以Mathematica的可控件操作，直观的展示了波函数、几率密度与n的变化情况，可以直观的展示n变化的情况下，波函数及几率密度的变化，为学生更深刻的理解谐振子的相关物理性质奠定了基础。

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