高精度高斯投影正反算公式及其应用

摘要：现代工程测量的发展具有高精度、大跨度的显著特点，其平差惯用的数学面多为高斯平面，目前高斯投影计算公式的近似表达式的精度已不能满足现代精密工程控制网整体平差的需求。本文通过增加高斯投影正算高阶项系数和改进高斯投影反算的迭代方法，提高投影精度，扩展了投影带宽度。
关键词：高斯投影；大地坐标；高斯平面坐标；牛顿迭代法
　　一、引言
　　高斯投影是正形投影的一种，具有投影长度比与方向无关，投影前后角度不变等优点，广泛应用于各种工程项目中。地球椭球面是一个不可展曲面，而地图是一个无裂缝无重叠的平面，高斯投影采用泰勒级数展开的方法将地球椭球面转换到地图平面，但由于展开式为无穷级数，且高次项系数极为复杂，所以现在一般选取低次项系数做近似替换。为了克服投影变形，通常采取分带投影的方法，我国规定按经差6°和3°进行投影分带[1]。随着工程项目跨度逐步增大，东西跨度早已超过6°带的投影范围，这就意味着需要新的方法来实现大跨度高精度的高斯投影。
　　本文根据高斯投影的一般原理，将投影正算公式展开至第9项。同时，对于高斯投影反算，现在多采用迭代的方法先求得底点纬度Bf，再将Bf代入反算公式求得大地经纬度[2]。由于反算公式高阶项系数推导困难，反算精度受限。本文根据多元非线性函数的牛顿迭代算法[3]，推导出了由高斯平面坐标(x、y)直接迭代求得大地坐标(B、L)的迭代公式，有效的避开了反算公式高阶项系数缺失的问题。本文分别以12°、24°为带宽，计算分析投影精度。结果表明，投影精度有较大提高，投影带宽度得到相应的扩展。
　　二、高斯投影坐标正算
　　高斯投影正算是已知大地坐标（B，L），求高斯平面坐标（x，y）。高斯投影正算公式为
                  (1)
式中，x、y为高斯平面坐标，x0为子午线弧长，l为经差， ( )是纬度的函数。计算公式为
   (2)
          (3)
    (4)
式中，  为椭球长半径， 为第一偏心率， 为第二偏心率， 为该投影带中央子午线经度， 为大地纬度， 为投影点到 的大地经度差， ，以弧度为单位。 ， ， 。
　　三、高斯投影坐标反算的牛顿迭代算法
　　高斯投影坐标反算是已知投影带中央子午线经度和高斯平面坐标(x，y)，反解大地经纬度(B，L)。传统反算方法为先迭代算出底点纬度Bf，然后代入反算公式，进而求得大地坐标(B，L)[4-6]。虽然运用了迭代的思想，可是仍然受到反算公式高次项缺失的制约，导致反算的精度不理想。本文采用多元非线性牛顿迭代法，无需解算底点纬度Bf，直接由高斯平面坐标(x，y)迭代算出大地坐标(B，L)。若计算机性能许可，可以达到任意精度。
由(1)式得
             (5)
令
                             (6)
则
                       (7)
得如下迭代格式：
 (8)
当同时满足
                                (9)
时终止迭代。其中 根据具体要求而定。
　　四、精度分析
根据以上所推公式，用C#语言编写12°、24°带高斯投影正反算程序（ 取1×10-16）。在纬度为45°处取点，其大地坐标为（B0,L0）。首先将该点归算到高斯投影平面上，求得它的高斯平面坐标，再用迭代反算求得该点的大地坐标（B1,L1）。（B0,L0）与（B1,L1）相减，即可得到投影误差（△B,△L）。其结果见表1和表2。
表1 采用12°带高斯投影坐标正反算结果对照表
B（°′″） L（°′″）
 
45 00 00 
11 59 00
 
45 00 
 
11 59 

 
0 00 
 
0 00   
　　由以上结果可知，当带宽为12°时，投影带边沿投影精度可达4×10-9s。当带宽扩展为24°时，在投影带边沿投影精度达1×10-6s。
五、结束语
　　本文将高斯投影正算公式展开至第9项，同时采用多元非线性函数的牛顿迭代法进行投影反算。通过实验分析可知，采用该方法进行投影计算，在24°投影带的边沿处，正反算经纬度差值小于0.000001s，投影精度较高。
　　目前我国正在修建的以高速铁路为代表的大型工程对测量的精度要求很高，所采用的高斯投影独立坐标系每个投影带可控制范围很小，给施工测量带来很多不便。通过本文所述的方法进行投影计算，能在很大程度上拓宽每个投影带的投影宽度，对这种大跨度、高精度的工程项目的投影计算有一定的借鉴意义。
参考文献：
[1] 孔祥元，郭际明，刘宗泉.大地测量学基础[M].武汉：武汉大学出版社,2001.
[2] 孔祥元，梅是义.控制测量学[M].武汉：武汉大学出版社,1996.
[3] 王尊正.数值分析基础教程[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,1992.
[4] 杨建华，杨志强，王腾军.高斯投影反算中求地点纬度值的牛顿迭代法[J].西安科技大学学报，2005，25（1）：57-59.