利用频谱相位最大值自适应定位全息正一级频谱
数字全息显微术具有非侵入、全场、实时等优势,广泛地应用于MEMS检测[
近年来,为了满足数字全息自动测量的需求,自适应频谱滤波方法被提出[
为了解决上述问题,本文理论分析了预放大全息的频谱相位的分布特点,得到了频谱相位的最大值与正一级频谱区域的关系,提出了依据频谱相位的最大值来定位正一级频谱区域的思想,为全息自适应频谱滤波提供一种可自适应判别和定位正一级频谱区域的方法。
2 全息成像原理
数字全息显微系统的坐标关系如
图1 预放大离轴全息坐标示意图
Fig.1 Schematic diagram of off-axis pre-magnification configuration
设相位型物体的光波分布为:
(1) |
则通过显微物镜后的物光波分布可表示为:
(2) |
式中:
表示物像关系,k是波数,k=2π/λ,λ是介质中的光波长;d1是物平面与显微物镜的距离,d2是显微物镜与CCD平面的距离。
参考光波在CCD面的复振幅分布为:
(3) |
式中:α和β分别是参考光波沿x和y轴的夹角。
物光波和参考光波在CCD面干涉形成的全息图强度分布可表示为:
(4) |
式中:*是共轭项。对
(5) |
式中:为傅里叶变换。和组成零级频谱,和分别为正一级和负一级频谱。再利用一个合适的滤波窗从全息频谱中提取正一级频谱,然后采用角谱法[
(6) |
式中:为傅里叶逆变换;(xi,yi)为重构面坐标;z'是全息面与成像面的距离。
3 频谱相位最大值定位正一级频谱
3.1 频谱相位最大值分析
在数字全息显微术中,对全息图做傅里叶变换可得到一个复振幅,求其幅值得到全息图的频谱振幅;对该复函数求反正切函数、相位解包裹之后获得连续相位,称为全息图的频谱相位。
以像面全息为例,对全息频谱相位进行分析,像面全息图的强度分布为[
式中:;M0为系统的放大倍数,且。
式(7)由两个强度项和两个干涉项组成,其中干涉项包括一个二次相位因子(),沿x和y方向的倾斜因子(),以及一个相位常数()。
对式(7)两边做傅里叶变换可得到像面全息图的频谱为:
(8) |
式中:为卷积符号。
(9) |
根据
(10) |
该频谱相位是位于[-π,π]的主值区域中,可通过两次离散余弦变换法[
全息频谱的零级频谱为δ函数,正一级频谱和负一级频谱是由二次相位函数、平移量函数和物体相位常数的傅里叶变换卷积而成的。其中,二次相位函数是显微物镜引入的二次相位因子的傅里叶变换。平移函数是参考光波引入的,目的是保证零级频谱、正一级频谱和负一级频谱的分离,进而保证零级衍射像、实像和共轭像的分离。在全息频谱相位中,零级频谱为脉冲函数,正一级频谱对应的(
综上所述,可利用频谱相位的最大值来定位正一级频谱的中心,进而实现正一级频谱区域的定位。
3.2 利用频谱相位最大值定位正一级频谱
根据全息的频谱振幅特点,可利用图像阈值分割法将频谱振幅分为3个区域,从左到右依次设为R1,R2和R3,如
图2 全息频谱振幅分布示意图
Fig.2 Schematic diagram for distribution of spectral amplitude in digital holography
本文利用频谱相位的最大值来定位正一级频谱区域。首先,计算频谱相位的最大值与频谱振幅3个区域重心的距离,得到3个距离值;然后,判断3个距离中最小距离所对应的区域,该区域即为正一级频谱区域,从而实现正一级频谱的自适应定位。
设频谱相位的最大值坐标为Pmp(xmp,ymp),如
(11) |
式中Di的单位为像素。
设频谱相位最大值点坐标与区域重心坐标距离的最小距离为Ddesired,则有:
(12) |
式中min为求最小值函数。
由
4 实验结果及分析
预放大数字全息系统的实验光路如
图3 预放大数字全息系统的光路
Fig. 3 Optical path of off-axis transmission digital holographic microscopy
以微孔阵列和相位台阶为样本,获得如
图4 不同物体的全息图、频谱相位和振幅分布
Fig.4 Holograms and its phase and amplitude spectra of different objects
为验证所定位的正一级频谱的准确性,以常用自适应频谱滤波方法[
图5 频谱滤波及三维重构像
Fig.5 Spatial filtering and 3D reconstruction profiles
Object | C1(x1,y1) | C2(x2,y2) | C3(x3,y3) | Pmp(xmp,ymp) | D1 | D2 | D3 | Ddesired |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Micro-hole array | (79.8,172.4) | (130,125) | (180,77.6) | (172,78) | 137.7 | 68.6 | 0.5 | 0.5 |
Step phase | (78.9,87.2) | (129,129) | (180,77.6) | (185,175) | 137.7 | 72.5 | 7.2 | 7.2 |
由
为了分析三维重构像的尺寸精度,取
图6重构像的轮廓
Fig.6Reconstruction profile
进一步地,为了分析本文所提方法对测量分辨率的影响,以USAF1951分辨率板为样本,比较了本文方法与先验模板滤波窗[
图7 USAF1951分辨率板的重构结果:(a)全息图;(b)本文方法和先验模板滤波窗,Auto代表本文所提的自适应滤波窗,MB代表先验模板滤波窗;(c)自适应频谱滤波窗获得的三维重构图像;(d)先验模板滤波窗获得的三维重构图像;(e) (c)图的部分放大图;(f) (d)图的部分放大图
Fig. 7 Reconstruction images of USAF 1951 resolution chart: (a) Hologram; (b) Filtering windows, MB and Auto represent filtering windows of the prior template filtering and adaptive spatial filtering of this paper, respectively; (c) and (d) are the reconstructed intensity images of adaptive spatial filtering and the prior template filtering, respectively; (e) Enlarged region labeled in (c); (f) Enlarged region labeled in (d)
图8 分辨率板第8组第2单元重构靶线的一维轮廓
Fig.8 One-dimensional intensity profiles of element 2 of group 8 in reconstructed intensity images
5 结 论
本文对全息频谱进行了理论分析,通过全息的频谱相位的理论分析及其频谱相位和频谱振幅的分布特点,提出了利用频谱相位的最大值定位正一级频谱区域的方法。通过微孔阵列和相位台阶的重构实验,得到了微孔阵列的高度标准偏差仅为1.5%;相位台阶的高度标准偏差为4.2%,证明了本文方法能够精确地定位正一级频谱区域。此外,通过USAF1951分辨率板的重构实验,论证了本文方法获得的重构图像比基于先验模板滤波窗获得的重构图像的质量更好,分辨率达到1.74 μm。本文方法解决了自适应频谱滤波区域定位时依赖先验模板滤波窗或者参考光波倾斜角的问题,避免了人为因素带来的误差影响,为全息自适应频谱滤波及自适应测量等提供了方法和数据支撑。
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