巧用圆的参数方程

作者：周轶红来源：原创日期：2013-06-14人气：1735

圆的参数方程的应用比较广泛，它是解析几何中十分重要的内容，也是高中数学的一个难点.本文将以三个具体的例子阐述参数方程的巧用.
一、求二元方程最值
【例1】已知点P（x，y）是圆x2+y2=2x上的动点.
（1）求x+2y的取值范围；
（2）若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围.
分析：因为点P（x，y）在圆x2+y2=2x上运动，根据所给的式子，把圆的方程化为参数方程，然后用参数表示两个式子，再根据三角函数的有界性，解决相关问题.
解：把圆的方程化为标准方程(x-1)2+y2=1，故它的参数方程可设为x=cosθ+1，y=sinθ（θ是参数）.
（1）∵x+2y=cosθ+1+2sinθ=5sin(θ+φ)+1（其中tanφ=12），
∴1-5≤x+y≤1+5，
即x+2y的取值范围是［1-5,1+5］.
（2）∵x+y+a≥0恒成立，即a≥-(x+y)恒成立，
即a要大于或等于-(x+y)的最大值，
∵x+y=cosθ+sinθ+1=2sin(θ+π4)+1，
∴x+y≥1-2，-(x+y)≤2-1，
∴a≥2-1，即a的取值范围是［2-1,+∞）.
评注：本题也可以根据所给式子的几何意义解题，利用线性规划解决，但比此法要麻烦，参数方程把待求式化为关于参数θ的函数，求解十分方便，这正是参数方程的优势。

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