数形结合在中学数学中的方法

一 、引言 

数学学习，不单纯是数的计算与形的研究，其中贯串始终的是数学思想和数学方法.中学数学的基本内容的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴载着数学思想方法，没有不包括数学思想方法的数学知识，也没有离开数学知识而孤立存在的数学思想方法.它们之间的这种辩证统一性就决定了中学数学教学在注重知识传授的同时，必须强化数学思想方法,才能建立良好的思维品质,培养学生思维能力.在中学数学里所接触到的一些思想方法中，数形结合的思想方法无疑是比较重要的一种.著名数学家华罗庚指出：“数”与“形”是数学中最本质、最古老的两样东西.它们既分别发展着，同时又互相渗透、互相启发，共同推动着数学科学的向前发展.数与形的结合，一方面是通过数量关系的讨论来研究几何图形的性质，另一方面是利用几何图形的直观，揭示数量关系许多深刻的特性.数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法，也是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.因此，这些数学思想方法，在中学数学复习教学中，更应认真贯彻.深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力.

二、数形结合思想的内容、特性及相关知识

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合中的数，应广义地理解为解析式、函数、数列、复数等；其中的形可以是点集或曲线等平面图形，也可以是柱、锥、台、球等空间图形，进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力，应用范围拓广和深化.

1．关于解方程中数形结合的应用

例1. 若关于的方程的两根都在之间，求的取值范围.

令，其图象与轴交点的横坐标就是方程的解，由的图象可知，要使二根都在之间，只需同时成立，解得，故

分析：此题关于解方程求变量k的范围，其应用数形结合给学生以明确的直观感，使复杂的求此题过程简单化，直接求出变量k的范围.

2．关于解不等式中的数形结合的应用

 例2. 解不等式

常规解法：原不等式等价于

（Ｉ）或（II）

 解（Ｉ）得；解（II）得

 综上可知，原不等式的解集为

    数形结合解法：令，则不等式的解就是使的图象在的上方的那段对应的横坐标.

如下图，不等式的解集为，而可由解得，故不等式的解集为

分析：本题由方程构造曲线，再由确定的双曲线与运动的直线相交情形来讨论，转化成抛物线在直线上方的那段对应的横坐标，展现了数形结合方法的解题规律与典型模型.

上面我们对此题分别进行常规和数形结合这两种解法来求值，通过这两种方法的对比，从思维的基本成分看，以事物的具体形象或表象为构件的思维是具体形象思维，有具体形象经过抽象和概括，把原来的客观事物转化成图形、模型等为构件的思维是逻辑形象思维.题中的解析式与函数图象间的关联密切，经过点拨，学生的思索易于共鸣，而凭借函数图象和性质，体现了形象思维化抽象为具体的优越性，教师宜因势利导，着意渗透数形结合的思想方法.

3．关于求函数值域的数形结合的应用

    例3. 求函数的值域.

    解法一（代数法）：由得，

，解不等式得 ,函数的值域为

    解法二（几何法）：的形式类似于斜率公式，表示过两点的直线的斜率.

由于点在单位圆上（见下图）  显然，

设过的圆的切线方程为，则有，

解得，     即

      函数值域为

分析：关于函数中求函数值域的问题，上面我们分别用了代数法和几何法来求其结果，代数法通过把函数转化成关于含变量x和y 来求三角函数值来求得结果，而几何法通过类似斜率公式把它转化成两点之间的斜率来求其结果.并通过两种解法的对比，我们可以轻而易举看出结果的大致方向，更有助学生掌握题目的解题方向.

4.关于向量的数形结合的应用

向量的坐标表示是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示以后，即可使向量运算代数化，将数与形紧密地结合起来，很多几何问题的证明可以转化为数量的运算，向量是数学中解决几何问题的有效工具之一.中学课程中向量分为平面向量和空间向量两部分内容.平面向量的考查要求，其一是主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能.要求考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算.其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算.其三是和其他数学内容结合在一起，如可以和曲线、数列等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力.应用数形结合的思想方法，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能为多角度的展开解题思路提供广阔的空间.题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满完成解答，则需要严密的逻辑推理和准确的计算. 

例4．若复数z满足|z+ｉ|+|z－ｉ| ＝2，

则|z+ｉ+1|的最小值是（   ）  

 A)1     B)-i    C)2     D)i 

对此题分析可知，由于|z+ｉ|和|z-ｉ|分别

表示复数z在复平面上的对应点到ｉ和-ｉ的距离，

且有|z+ｉ|+|z-ｉ| ＝2，所以表示复数z的点的

集合是虚轴上点ｉ到-ｉ之间的线段（含端点）.

另外，|z+ｉ+1|=|z－(－1－ｉ)|为复数z在复平

面上的对应点到－1－ｉ的距离，由图4可以看到，

当z=-ｉ时，|z+ｉ+1|取得最小值1，所以选A.

分析：此题的常规解法是根据已知条件，寻求变量x和y的关系，转化为一元函数，按照求二次函数的最值的方法求解.这个解法虽有可遵循的操作程序，但对解题过程中出现的情况难以预料，对可能发生的疏漏不易察觉，且解程冗长.而用数形结合的方法，则通过图形直接揭示出问题的本质面貌，只要思考正确，形象清晰，往往很快就能看到问题的结果.

从以上例题中可以看出数与形有着本质的联系，形与数相比较，有着直观上的优势.中学生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆.因此在教学中要促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题，解决问题，从而提高学生的数学能力. 教师在讲授有关的数学知识时，尽可能数形结合、形数对照，使学生对所学内容更易于理解和记忆.而在解决实际问题时，同样应教给学生数形结合的思想方法，启发他们学会对一些数量关系作出“形”的解释，发掘其中“形”的因素,把数量关系的问题转化为图形性质问题讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究,以增加解决问题的有效途径.

综上所述，几何方法具有直观、形象的优势，代数方法的特点是解答过程严密、规范、思路清晰.华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，应用数形结合的思想就能扬这两种方法之长；避呆板单调解法之短.在解决有关问题时，数形结合思想方法所表现出来的思路上的灵活，过程上的简便；方法上的多样化是一目了然的.它为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥.

数形结合法乃经典数学方法之一，其源远流长，应用广泛.数形结合思想早已深深地渗透在初等数学知识体系中，早经成为中学生必须掌握的数学能力之 一.因此，作为中学生所应掌握的一种重要思想方法，教师除了在课堂教学时注意形数结合的应用外，还需有意识地对学生加强这一思想方法的灌输和训练，以逐步提高他们的数学思维水平.

参考文献：

[1] 张奠宙等 著 《数学教育学》 江西教育出版社 1996

[2]吕佳汉 著 《数学的学习方法》 高教出版社 1990

[3][美] 波利亚（阎育苏译） 《怎样解题》 科学出版社 1982

[4] 史树德 著 《在不等式教学中渗透数形结合的思想方法 》北京师范大学 数学通报委员会出版 2003第3期

[5]钟焕清 著 《代数问题的几何解法》 北京师范大学数学通报委员会出版 1990 第6期