基于贝叶斯理论的钢筋再生混凝土梁受剪承载力预测模型

古典概率理论中,对连续型随机变量θ与x,依乘法法则可导出.

式中:f(θ, x)称为联合概率密度; f(θ|x)与f(x|θ)为条件概率密度; f(θ)及f(x)称为边缘概率密度.对式(1)进行变形可得

上式即为贝叶斯概率理论的奠基公式—贝叶斯定理.在贝叶斯定理中,等式右侧的f(θ)称为随机变量θ的先验分布,f(x|θ)为似然函数,等式左侧的f(θ|x)则代表着在知道一定信息x过后变量θ的更新后验分布.

真实观察试验中,先验信息y可能在不同时刻被收集.为此,可进一步导出经不同时刻信息序列{x(k)}修正过后,随机变量θ的后验分布f(θ|x(k))为

通过式(3)可知,贝叶斯理论通过对参数θ进行估计,进而更新先验信息与修正先验模型.

国内外当前已有较多学者提出了钢筋普通混凝土梁的受剪承载力计算模型^[15].这些模型均可采纳为再生混凝土无腹筋梁受剪承载力预测的贝叶斯修正先验模型.后期经过完善建立(即开展观察试验)试验数据库,并修正这些现存先验模型,进而发展起来预测精度较高的后验模型.这一过程通常可用下述数学公式表达.

V(x,Θ)=V_c(x)+γ(x,θ)+σε (4)

式中:x代表控制着普通混凝土无腹筋梁受剪承载力的关键变量向量; Θ=(θ,σ)为经贝叶斯方法估计得到的模型控制变量,其中θ=[θ₁, θ₂, …, θ_p]^T代表着对x的修正系数; σ为修正模型存在的误差; V_c代表着现有无箍筋钢筋普通混凝土梁受剪承载力计算公式; γ(x, θ)为偏差校正项; ε为随机变量.需强调的是,为使贝叶斯概率模型适合于已有试验结果,应对式(4)的右侧变量选取做一定限制:(a) V(x, Θ)的自变量应是误差σ; (b) 误差σ必须与变量x相互独立; (c) ε需服从标准正态分布.

为简化计算,实际操作中偏差校正项γ(x, θ)常用p个初等函数的线性组合近似表示^[14],即

式中:g_k(x)是由控制混凝土无腹筋梁受剪承载力的关键因素经简单组合得到的一些基本函数.

由贝叶斯定理得知,后验分布f(θ|x)(或f(Θ|x))的建立关键,在于确定先验信息f(θ)(或f(Θ))及似然函数f(x|θ)(或f(x|Θ)).贝叶斯概率模型中一般假定变量(θ, x)的无信息先验分布服从如下均匀分布^[14].

f(θ)∝1, θ∈φ (6)

f(x)=1/x, x>0 (7)

则似然函数f(x|θ)可表达为^[14]

式中:φ(·)为正态分布函数; ψ(·)为正态分布的概率密度函数; V_i为抗剪承载力试验值; V_c(x_i)为抗剪承载力模型预测值.

为使计算值与试验值偏差较小,应剔除对整体预测结果影响不显著的g_k(x).由公式(4)和(5)可知

V-V_c(x)=γ(x,θ)+σε=θ₁g₁(x)+θ₂g₂(x)+…+θ_kg_k(x)+σε (9)

令W=V-V_d,可得

W=g(x)θ+σε (10)

式中:

式(11)～(15)中:n为样本数.

由最小二乘法^[14]可知,θ'=(g(x)^Tg(x))^-1g(x)^TW,形参数v=n-p,误差S²_n=[W-g(x)θ']^T(W-g(x)θ').整合式(8)和(9),可得似然函数为

由公式(6)和(7)又可知

将式(16)和(17)代入贝叶斯定理,可得

对等式两侧θ同时积分,可得到标准差σ的后验边缘分布^[14]为

方差σ²的后验边缘分布密度函数为

在概率论中,逆Gamma分布的定义为^[14]

对比式(20)和式(21),可知σ²后验分布为逆Gamma分布,即σ²～IG(v/2,S²_n/2),于是有

由此,可通过分析方差σ²的变化趋势来判断修正项对再生混凝土无腹筋梁抗剪承载力的决定程度,进而剔除对整体预测结果影响不显著的g_k(x),达到参数剔除目的.

当前,已有一些学者意识到了钢筋再生混凝土梁在剪力作用时受荷机理可能发生了变化,为此开展了一系列试验探究^[15].本文作者在此整理汇编这些宝贵试验,并初步形成了一个再生混凝土无腹筋梁受剪承载力试验数据库.相关信息见表1.

表1 再生混凝土无腹筋抗剪试验数据库汇总
Tab.1 Test database for steel bar reinforced RAC beams without stirrups under shear loading

从表1中容易看出,各试验梁的参数基本涵盖以下信息:混凝土圆柱体抗压强度(f_c); 粗骨料最大粒径(s_max); 再生骨料取代率(r); 梁高(h); 剪跨比(a/d); 纵筋配筋率(ρ_s); 纵筋抗拉强度(f_y)及梁抗剪强度(v_u=V_u/bd, 其中V_u、b和d分别为梁极限抗剪承载力、截面宽度和有效高度).需特别指出的是,表1数据库形成过程中采用了如下筛选原则:

(1)所有梁在弯曲荷载作用时,必须表现出十分明显的剪切破坏特征,梁受荷方式必须为三点或四点集中加载.与此同时,梁剪跨比需小于5,因为文献[37]的研究结果曾表明剪跨比太大的梁常发生弯曲破坏;

(2)浇筑所用混凝土必须完整给定水灰比、再生骨料取代率及粗骨料粒径等信息;

(3)钢筋再生混凝土梁在制作过程仅使用了再生粗骨料,细骨料仍为天然砂;

(4)完整给定了混凝土和纵筋等的强度信息.当浇筑或试验条件不满足上述要求时,梁会被人为剔除.

经筛选后,表1最终包含了206根再生混凝土无腹筋梁.所有梁的抗压强度、剪跨比及纵筋配筋率均值分别为32.7 MPa、2.71和1.81%,均在工程运用正常范围内.

如前文所述,目前大部分研究在预估再生混凝土无腹筋梁抗剪强度时,一般沿袭套用传统钢筋混凝土梁的半经验半理论公式.在这些经典理论中,一般并不独立剥离压区混凝土拱效应、已开裂混凝土牵引力、粗骨料咬合作用及纵筋销栓作用的抗剪贡献.以欧洲混凝土模式规范为例,其无箍筋受弯构件抗剪强度公式源于简化修正压力场理论^[37],即

式中:考虑了参数β影响的粗骨料颗粒尺寸、截面高度及加载剪跨比等因素对梁抗剪承载力的影响.

表2列举了本文收集的8个主流无腹筋受弯构件抗剪强度预测公式.结合表1的试验数据库,可计算得到各式在预测钢筋再生混凝土梁抗剪强度时的精度.此处采用均方根误差RMSE和置信指数CI作为误差评判标准.

式(24)～(25)中:n为试验样本数; T为试验实测值; C为模型计算值; CI较传统相关系数R²更适合作为误差评判指标的原因是其对预测结果与试验结果之间差异更敏感^[14].CI的取值范围一般为(-∞, 1),当其值接近1时,表明模型预测准确度更高.

表2最后两列展示了运用上述8个公式预测再生混凝土无腹筋梁抗剪强度的计算结果.结合各模型相互之间比较可发现:(1)现有的钢筋混凝土梁抗剪强度公式并未考虑压区混凝土拱效应、已开裂混凝土牵引力、粗骨料咬合作用及纵筋销栓作用四方面贡献,模型都具有一定的局限性;(2)总体来讲,学者Zsutty、Zhang及ACI318-2014规范所建议的抗剪强度计算式具有较高预测精度,其余模型的RMSE值一般偏大,CI指标也偏离1.0较远.

基于上述计算结果,并考虑到学者Bentz^[37]在预测普通混凝土无腹筋梁受剪承载力时曾指出Zsutty模型拥有较高精度、学者Bazant^[45]报道ACI模型虽然基于经验回归但能较好描述剪跨比和尺寸效应等重要因素作用,本文在此选定Zsutty及ACI318-2014公式为贝叶斯修正的先验模型(Zhang所建议公式精度较ACI318-2014稍高,但形式较为复杂).

从表2所列公式容易发现,以往学者普遍认为参数f_c、s_max、a/d、ρ_s及h显著影响着无箍筋钢筋混凝土梁的抗剪承载能力.基于此事实,并结合再生骨料特性,本文在此选取g₁(x)=ln(e)为修正常数项,g₂(x)～g₈(x)分别为ln(e^r)、ln(f_c)、ln(s_max)、ln(a/d)、ln(d)、ln(1+ρ_sf_y)和ln(f_y/f_c),来保证贝叶斯概率模型的可靠性及全面性.

由式(4)和(5)可得如下再生混凝土无腹筋梁抗剪承载力计算式(注:为简化最终计算模型的数学形式,对v和v_d进行了对数化处理),即

结合前述假定g_k(x)函数,可利用贝叶斯定理对再生混凝土无腹筋梁抗剪承载能力先验模型进行修正,计算结果列于表3.由该表可知,g₂(x)项的变异系数最大,而g₁(y)项的变异系数最小.

表2 再生混凝土无腹筋梁抗剪强度预测模型归纳
Tab.2 Calculation models for predicting shear strength of steel bar reinforced RAC beams without stirrups

表3 gk(x)计算结果的统计
Tab.3 Statistics for the calculation results of gk(x)

如前所述,分别选定学者Zsutty及ACI318-2014规范所建议公式作为式(26)的先验模型V_c,代入g_k(x)后,一般可通过分析方差σ²的变化趋势,来剔除对整体预测精度影响不显著的g_k(x)及其对应的θ_k:当σ²变化微小时,说明该g_k(x)及其对应的θ_k对整体预测影响不显著,应予以剔除,并重复上述步骤; 当σ²变化明显时,说明该g_k(x)及对应的θ_k对整体预测影响显著,应停止参数剔除过程.

表4 参数剔除过程
Tab.4 Parameter removal process

表4详细展示了以Zsutty模型和ACI318-2014规范为先验模型、g₁(x)～g₈(x)为预估控制变量的贝叶斯修正计算全过程.通过系列参数剔除后,可最终得到如下再生混凝土无腹筋梁的抗剪强度计算后验计算式,即修正的Zsutty模型及ACI318-2014规范模型为

从上述两式可发现,经贝叶斯统计推断过后,所得预测公式仍不显示包含粗骨料取代率,这说明造成本文收集的再生混凝土无腹筋梁抗剪强度预测偏差较大的主要原因是传统的钢筋再生骨料混凝土梁的抗剪计算模型并未被准确建立.