用于磁屏蔽室屏蔽叠层优化的CSA-NSGAII算法

对于磁屏蔽室性能的主要评价指标是屏蔽性能（Shield Effectiveness， SE），该指标采用屏蔽室建设前后的磁场强度或磁感应强度的比值来计算^［14］。如图1所示，为多层磁屏蔽室，将该室置于磁场中，可以将外部磁场反射或吸收，在装置内部形成一个弱磁环境。

图1  多层磁屏蔽室示意图

Fig.1  Schematic diagram of multilayer magnetic shielding room

磁屏蔽主要利用金属板对电磁波的吸收和反射损耗，吸收损耗是指电磁波通过屏蔽室时产生涡流发热而使其能量得以消耗，反射损耗是指电磁波射入到不同介质的分界面时，发生反射使穿过界面的能量减弱来降低屏蔽室内部磁感应强度^［15］。影响屏蔽性能的因素主要有材料磁导率、材料电导率、材料层厚度与空气层厚度。电磁波穿过厚度为t的屏蔽室时吸收损耗可表示为^［16］：

其中：A为吸收损耗，单位为dB；t为材料板厚度，单位为m；f为被抑制的电磁波频率，单位为Hz；μr为屏蔽材料的相对磁导率；σr为屏蔽材料的相对电阻率。

根据磁力波的阻抗将反射损耗分为低、中、高三部分，分别对应磁场、平面波和电场的损耗。对于磁屏蔽室，主要计算低阻抗场所引起的反射损耗，其计算公式为^［16］：

其中：R为反射损耗，单位为dB；r表示源到屏蔽层的距离，单位为m；f为被抑制的电磁波频率，单位为Hz；μr为屏蔽材料的相对磁导率；σr为屏蔽材料的相对电阻率。

如图2与图3所示分别为厚度t=1 mm的单层金属板吸收损耗、反射损耗随频率的变化曲线。图中，硅钢的相对磁导率μr=1 000，相对电阻率σr=0.17；铝的相对磁导率μr=1，相对电阻率σr=0.61；1J85坡莫合金的相对磁导率μr=80 000，相对电阻率为σr=0.03。由图2可以看出，坡莫合金与硅钢的吸收损耗会随着干扰频率的增加而增加，而铝的吸收损耗微乎其微。由图3可以看出，铝的反射损耗随着频率的增加而增加，而坡莫合金与硅钢的反射损耗则随着频率的增加而减少。通过分析可得，坡莫合金对于中低频磁场屏蔽的效果最好，但价格昂贵；硅钢对于中低频磁场具有一定的屏蔽效果，且价格便宜；铝对于较高频率磁场屏蔽效果较好，但对低频磁场效果较差。坡莫合金的单价约为硅钢的10倍，铝的6倍。因此，可以使用多种材料组合来提升屏蔽性能，同时降低建造成本。本文使用CSA-NSGAII算法，对由三种不同特性的金属材料建成的多层磁屏蔽室叠层结构这一多目标问题进行优化，以寻求最优的结构，在满足屏蔽性能的同时有效降低造价。

图2  吸收损耗曲线

Fig.2  Absorption loss curve

图3  反射损耗曲线

Fig.3  Reflection loss curve

对于多层屏蔽室的屏蔽性能（P_SE），可由吸收损耗（A）、反射损耗（R）以及多次反射修正项（B）三者进行计算。单层金属板结构屏蔽室的吸收损耗与反射损耗可由公式（1）与公式（2）得出。相比于单层金属板结构的屏蔽室，多层屏蔽室的金属层之间是绝缘的，低吸收损耗的薄壁屏蔽层会出现多次反射，需要额外计算多次反射修正项（R），而反射修正项与空气层的厚度直接相关，因此，空气层厚度也是影响屏蔽性能的重要因素^［17］。对于三层金属叠层结构，屏蔽性能可通过以下公式估算^［16］：

其中：Ai表示第i层吸收损耗，Ri表示第i层反射损耗，B12表示第一层与第二层的修正项，B23表示第二层与第三层的修正项。B12的计算公式为^［16］：

其中：Zm表示金属板的特性阻抗，单位为Ω；Zw表示空气层波阻抗，单位为Ω；t_{air_12}表示第一层与第二层金属层之间的空气层厚度，单位为m；λ0表示被抑制频率的波长，单位为m。同理可以计算出B23，即第二层与第三层的修正项。因此，由公式（4）可以得出，当选定材料后，影响三层屏蔽室性能的决策变量有五个：三层金属的厚度t1，t2，t3及两层空气层厚度t_{air_12}和t_{air_23}。

多目标优化问题的数学表达式为

其中，Ω∈Rn表示决策空间，且x=(x1,x2,…,xn)T表示决策向量，Rm表示m维目标空间。

多层磁屏蔽叠层结构优化问题可以描述为：n层厚度为t的相同材质或不同材质的磁屏蔽材料组成一个满足屏蔽性能的屏蔽体所需每种材料的最佳厚度以及整体最低造价。因此，本文以建造成本、建造质量为目标函数，以屏蔽性能与建造尺寸为约束条件，以材料厚度与空气层厚度为决策变量，为使用硅钢、铝和坡莫合金三种材料的多层磁屏蔽结构进行建模。另外，由于空气层并不会增加额外的建造成本，但会对屏蔽性能产生重大影响，因此模型还设置了一个目标函数，用于获得最优的空气层厚度。由公式（6）可以看出，多层磁屏蔽叠层优化问题的数学模型为非线性模型，同时，约束为非线性约束。在满足屏蔽性能的约束下，屏蔽室的建造总成本与总体质量将成为两个冲突的目标，需要对这两个目标进行折衷考虑才能找到最优解，这满足多目标优化问题的基本形式。本文所使用的多目标优化数学模型为：

其中：ti为第i层材料的厚度，单位为m；Si为第i层材料所使用的面积，单位为m²，其中第一层材料面积为S1=((2×t1+d)3−d3)/t1，第二层材料面积为S2=((2×t1+2×tair_12+2×t2+d)3−(2×t1+2×tair_12+d)3)/t2，以此类推可以求得公式中S3，Sair_12，Sair_23的大小；d为屏蔽室内径；ρi为第i层材料的密度，单位为kg/m³；Pi为第i层所使用的材料的单价，单位为CNY/kg；tair_i为第i层空气层厚度，单位为m；ρair为空气密度，单位为kg/m³；PSETarget为屏蔽室性能设计要求最小值，常数，单位为dB；结合公式（3），约束PSE可由如下公式进行计算：

具体改进是将NSGAII算法中二进制交叉算子替换为实数编码的交叉算子并进行分段，在两个父代构成的空间内生成多个子集，随机选择一对子集进行交叉，该方法可以提高种群的多样性，以防止陷入局部最优。改进的具体方法为：

（1）对于一个初始种群P，随机选取两个父代个体P1与P2，n表示变量个数：

（2）求取两个父代个体P1与P2中各基因位上的最大值与最小值：

（3）将第n个基因位上的数离散为j个：

则离散后得到的新的j个父代个体可表示为：

（4）利用分段策略将所有基因进行划分，在1到n之间随机生成k−1个不同的正整数(S1,S2,…,Sk−1)，然后将父代的n个基因随机分为k段，

（5）随机生成一个正整数v∈[1,k]，对E1v段与E2v段的基因进行互换。

在遗传算法迭代过程中，种群能够不断地进化依赖于种群的多样性，丰富的种群个体是保持种群进化的动力，种群的多样性将提高算法的收敛速度。个体本质上是由不同的基因构成的，种群中个体之间的差异本质上是各个片段上的基因差异，通过对变异的改进，可以提升种群基因的变异强度，使个体结构的差异增大。本文所提出的CSA-NSGAII算法对基因变异的强度进行了改进，将柯西随机分布引入变异算子，增大随机变异的强度，变异程度随变异过程自适应变异。改进后的变异操作，在初始迭代时可以避免陷入局部最优，随着迭代过程的深入，可以使算法在局部搜索精确解。本文针对变异的改进是通过随机选取一个父代个体P1，对其中的一个元素m进行变异，m为1到n之间的一个随机正整数。P'1=(x11,x12,…,x'1m,…,x1n)为变异结果，对于x'1m的变异操作为：

（1）随机变异步长μ=r and [0,1]；

（2）变异因子：

其中，σ1=(x1m−x1mmin)/(x1mmax−x1mmin)，σ2=(x1mmax−x1m)/(x1mmax−x1mmin)，x1mmax为Pmax中的第m个元素，x1mmin为Pmin中的第m个元素，C(0,1)表示以0为中心，尺度参数为1的柯西随机分布，相较于正态分布，柯西分布能够使算法具有较好的全局搜索与局部搜索能力。

（3）变异的x'1m从以下策略中随机选择：

其中：T为最大迭代次数，t为当前迭代次数。算法在迭代开始时t较小，可以产生较强的变异效果，使算法能够均匀的搜索解空间。随着迭代过程的深入，t不断增大，变异效果减弱，基因中的x1mmax占据主导地位，可将优势基因保留下来，并使算法在一个局部区域中进行搜索。

提出的CSA-NSGAII算法的具体步骤如下：

（1）初始化算法参数，譬如种群规模、迭代次数、交叉与变异概率等；

（2）初始化一个种群，计算每个种群的适应度，并进行非支配排序，根据排序结果进行分级；

（3）使用锦标赛选择方法根据适应度进行选择，产生一组父代种群；

（4）在父代种群中进行随机配对，两两一组进行交叉与变异操作，对每个子代个体进行拥挤度计算，提高种群的多样性，选取最优个体到子代种群中；

（5）将父代与子代种群合并，再次进行非支配排序，根据拥挤度选取最优种群；

（6）将上述过程所产生的种群作为下一次循环中的父代种群再次进行交叉、变异、排序操作，直至满足循环的终止条件。

CSA-NSGAII算法能够弥补NSGAII算法种群多样性保持策略中的不足，针对交叉与变异的部分进行改进，使算法具有更好的全局和局部搜索能力，能够更好地提高算法的收敛精度、保持种群的多样性并能够有效防止算法陷入局部最优。

为验证CSA-NSGAII算法的收敛性能与解的分布情况，本文选取经典的ZDT系列函数作为测试函数，将本文算法与NSGAII算法、NSGAII-SDR算法、g-NSGAII算法与MOEA/D算法进行了比较。选取ZDT系列函数原因是其与本文提出优化问题的形式相近，都属于两个目标的多目标优化问题，从而能够分析在相同的评价下CSA-NSGAII算法的有效性。其中，ZDT1函数为：

对于ZDT1问题，可以用于测试算法处理帕累托前沿分布均匀、最优解集为凸解集、且没有局部极值时所表现出来的性能。算法测试时使用同样的参数：种群规模为100，迭代次数为10 000，交叉变异概率为0.9，对于g-NSGAII点数设置为100。四种对比算法在ZDT1上的测试结果如图5所示，可以较为明显地看出，在完成整个迭代过程后，本文CSA-NSGAII算法所求出的解分布更均匀且更贴近帕累托最优解。

  

  

图5ZDT1测试曲线

Fig.5ZDT1 test curve

ZDT2函数可以用于测试前沿分布均匀，最优解集为凹解集，且没有局部极值时算法的性能。其中，ZDT2函数为：

对于ZDT2问题，参数为种群规模为100，迭代次数为10 000，交叉变异概率为0.9。测试结果如图6所示。可以看出，NSGAII、CSA-NSGAII算法与g-NSGAII算法都能够收敛，但CSA-NSGAII算法所求的解分布更加均匀；CSA-NSGAII算法比NSGAII-SDR和g-NSGAII算法有更好的收敛效果。

  

  

图6ZDT2测试曲线

Fig.6ZDT2 test curve

ZDT3函数用于测试具有多个凸解集，且解集不连续时算法的性能。其中，ZDT3函数为：

对于ZDT3问题，设置参数：种群规模为100，迭代次数为10 000，交叉变异概率为0.9。测试结果如图7所示。可以看出，NSGAII、CSA-NSGAII算法与g-NSGAII算法都能够收敛到理论值，NSGAII-SDR算法需要更多迭代次数才能完成收敛。这说明CSA-NSGAII算法能够在ZDT3问题上收敛，解集分布均匀。

图7  ZDT3测试曲线

Fig.7  ZDT3 test curve

为了进一步定量分析改进算法的性能，本文采用世代距离（GD）测度、反世代（IGD）测度、均匀性（Spacing）与运行时间（Runtime）这四个指标对算法的性能进行评判，其中：

GD用于评价算法的收敛程度，其计算公式为：

其中：n表示变量个数，p=2，di表示算法每一个解距真实解的欧几里得距离。IGD值越小，表明算法的收敛性越好。

IGD用于评价算法的综合性能，其计算公式为：

其中：j¯表示到最终解集P中个体i¯的最小欧几里得距离。IIGD值越小，表明算法得到的近似解集越接近真实解集，算法的收敛性与均匀性越好。

Spacing用于评价算法解集中的个体在目标空间的分布情况，其计算公式为：

其中：PF表示已知的帕累托最优面，di是指解集中非支配边界上两个连续向量的欧几里得距离，d¯表示这些距离的平均值。这种方法适用于在ZDT测试函数上评价算法解的均匀性，Spacing的值越小表明解集越均匀。

将本文提出的CSA-NSGAII算法与NSGAII算法、NSGAII-SDR算法、g-NSGAII算法和MOEA/D算法进行了比较，结果如表1所示，其中黑色加粗数据为对比中获得的最优结果，表中结果为运行30次测试的平均值。由表1可以看出：

（1）在GD评价中，本文所提出的CSA-NSGAII算法在ZDT1上表现最好，相比第二名g-NSGAII算法GD降低了17%；CSA-NSGAII算法在ZDT2上略逊于NSGAII算法，为第二名；在ZDT3上表现最好，相比第二名g-NSGAII算法GD降低了51%。

（2）在IGD评价中，本文所提出的CSA-NSGAII算法在ZDT1上略逊于g-NSGAII算法，为第二名；在ZDT2上表现最好，相比第二名NSGAII-SDR算法IGD降低了43%；在ZDT3上表现最好，相比第二名的g-NSGAII算法IGD降低了37%。

（3）在Spacing评价中，本文所提出的CSA-NSGAII算法在ZDT1上表现最好，相比第二名NSGAII-SDR算法Spacing降低了29%；在ZDT2上表现略逊于MOEA/D算法，但比NSGAII方法更好；在ZDT3上表现最好，相比第二名的g-NSGAII算法Spacing降低了5%。

（4）在Runtime评价中，由于本文增加了分段交叉与自适应变异，因此增加了部分计算量，使得计算速度并不占优。在ZDT1上测试，相比于第一名g-NSGAII算法，CSA-NSGAII算法计算时间增加了15%；在ZDT2上测试，相比于第一名MOEA/D算法，CSA-NSGAII算法计算时间增加了5%，但为NSGAII算法中最快；在ZDT3上测试，相比NSGAII算法计算时间增加了48%，消耗了更多的时间。

对性能测试结果进行分析，CSA-NSGAII算法在ZDT1、ZDT2与ZDT3测试中的收敛性评价与均匀的分布性评价具有较好的表现，相较于NSGAII、NSGAII-SDR、g-NSGAII与MOEA/D算法在部分评价中具有一定的优势。改进后的方法虽然消耗了更多的计算时间，但获得的收敛性与均匀性的提升是非常可观的。本文将使用CSA-NSGAII算法求解2.3节中所提出的多目标优化问题，以验证本文方法的实用性。

应用CSA-NSGAII算法对本文提出的多目标函数进行求解时，所使用的材料参数如表2所示。试件由内至外材料分别为中冶恒泰1J85坡莫合金，宝钢B50A250无取向硅钢以及中铝1060铝板，不同的金属层叠顺序会对屏蔽结果产生影响，但已有文献说明该顺序用于磁场屏蔽时性能最佳^{［16，20］}。如使用其他材料，仅需对模型中参数进行修改即可完成优化。其中，相对磁导率是特殊介质的磁导率与真空磁导率的比值，相对电阻率是指规定体积的退火铜电阻率与同单位的试样材料的电阻率之比。