具有解耦性能的离散时间线性多变量系统最优跟踪控制

跟踪和镇定是控制领域的两个典型问题. 一般来说, 相较于镇定问题, 跟踪更为困难. 这是因为镇定只需要在系统的状态或输出受到干扰而偏离原平衡状态时, 施加控制作用, 使得系统状态或输出恢复到原平衡状态即可, 而跟踪控制问题要求系统的状态或输出能够跟随任意参考输入. 跟踪控制不仅是控制理论研究的热点问题, 在工程领域也具有很强的应用背景, 比如机器人运动轨迹跟踪控制[1]、船舶轨迹跟踪控制[2]和飞行器姿态控制[3]等.

跟踪控制器的设计方法主要分为两类, 一类是追求跟踪误差渐近收敛的常规跟踪控制方法, 另一类是兼顾跟踪误差和整体性能的最优跟踪控制方法. 常规跟踪控制方法通过反馈实现调节, 利用前馈使得系统状态跟踪参考输入. 由于该方法基于零极点对消原理, 如果系统存在不可对消的不稳定零点, 会导致闭环系统输出产生相移和增益误差[4]. 为解决该问题, 文献[4-5]提出了一种多速率前馈跟踪控制方法, 使得存在不稳定零点的线性系统能够完全跟踪参考输入. 20世纪90年代初, 随着自适应控制的发展以及模糊逻辑系统和神经网络等智能算法的引入, 具有不确定性和非线性特性的复杂系统的跟踪控制问题受到人们的广泛关注. 文献[6]针对一类具有不确定动态的回滞非线性系统, 提出了一种鲁棒自适应反步跟踪控制方法, 该方法将整个非线性系统划分为多个子系统, 对每个子系统进行设计, 直到倒推至系统输入. 随着系统阶数的增加, 该方法的推导过程会变得非常复杂, 容易产生复杂度爆炸问题. 文献[7]针对一类模型未知的严反馈的单输入单输出非线性系统, 通过引入动态表面控制技术和最小学习参数方法来解决传统反步法带来的复杂度爆炸的问题, 提出了一种鲁棒自适应跟踪控制方法, 使得系统能够跟踪任意参考输入. 文献[8]针对一类含有外部干扰和建模不确定性的非线性多输入多输出系统, 将模糊控制方法与反步法相结合, 设计鲁棒自适应模糊控制器, 保证系统输出信号一致有界并能收敛到参考输入附近. 文献[9]提出一种基于输出跟踪误差的自适应模糊控制方法, 设计带有模糊观测器的模糊控制器, 来减小未知非线性系统的跟踪误差.

上述常规跟踪控制方法的目标是找到一个稳定的控制器, 使得系统状态或输出跟踪参考轨迹. 在控制器设计中, 常常要兼顾到系统的跟踪误差和整体性能. 最优跟踪控制方法可以通过最小化二次型性能指标, 一方面使系统跟踪误差渐近收敛, 另一方面使系统获得最优性能. 文献[10]指出线性二次型最优跟踪(Linear quadratic tracking, LQT)控制器由反馈项和前馈项两部分组成, 其中反馈项使闭环系统稳定, 前馈项使闭环系统输出跟踪参考输入. 文献[11]针对连续时间线性多变量系统, 将开环解耦控制与LQT 相结合, 提出了一种近似最优跟踪控制方法, 实现了多变量系统的解耦和跟踪控制. 设计线性最优跟踪控制器的关键在于求解代数黎卡提方程, 由于该方程中包含着系统模型参数信息, 所以对于这种传统的最优跟踪控制方法, 当系统模型参数未知时, 就无法得到有效应用. 为解决这一问题, 文献[12]针对模型参数部分未知的连续时间线性系统, 提出了一种基于策略迭代的自适应动态规划方法, 通过计算代数黎卡提方程的数值解, 进而得到近似最优跟踪控制律. 不过这类方法大多要求系统状态完全已知, 为了解决这个问题, 文献[13] 针对模型参数部分未知的离散时间线性系统, 仅使用系统输入输出数据, 提出了一种基于值迭代和策略迭代的自适应动态规划方法, 设计近似最优跟踪控制器, 使得系统输出能够跟踪参考输入. 与线性最优跟踪控制器设计方法类似, 设计非线性最优跟踪控制器时需要求解非线性哈密顿−雅可比−贝尔曼方程. 许多专家学者针对这一问题也展开了深入研究. 文献[14]针对模型参数部分未知的连续时间非线性系统, 提出了一种基于多层神经网络的近似最优跟踪控制器设计方法, 先使用神经网络辨识系统模型, 再分别设计反馈神经控制器和前馈神经控制器, 使得系统可以较好的跟踪参考输入, 不过该方法使系统输出和控制输入在初始时刻会产生较大的震荡. 为了抑制这种震荡, 文献[15-16]设计了一种新型性能指标, 并提出了一种启发式动态规划方法, 不仅减小了系统输出和控制输入的波动, 还获得了更好的跟踪性能. 文献[17-19]针对模型参数未知的连续时间非线性系统, 提出了一种数据驱动的自适应动态规划方法, 先利用递归神经网络建立数据驱动模型, 在该模型的基础上设计了基于自适应动态规划的近似最优跟踪控制器, 使得系统状态输出能够渐近跟踪期望轨迹. 毫无疑问, 上述研究工作推动了最优跟踪控制方法的进一步发展与应用, 丰富了跟踪控制的研究内容.

实际系统往往具有多变量和强耦合特性, 上述跟踪控制方法没有考虑到多变量系统中可能存在的强耦合特性, 无法保证系统的整体性能最优. 本文针对一类具有强耦合特性的离散时间线性多变量系统, 提出了一种具有解耦性能的最优跟踪控制方法. 首先将耦合项看作可测干扰, 基于零和博弈思想设计一个由系统跟踪误差、控制输入和耦合干扰补偿构成的性能指标; 然后通过最小化这个新的性能指标, 得到最优跟踪控制律, 并给出了加权矩阵的选择方法, 证明了通过该加权矩阵的选择, 一方面可以动态解耦闭环系统并使其稳定, 另一方面可使闭环系统的状态完全跟踪参考输入; 最后进行了仿真对比实验, 实验结果表明与传统的LQT控制器相比, 该方法无论在跟踪误差还是在系统的整体性能方面都具有一定的优越性.

1.   问题描述

考虑如下离散时间线性多变量系统:

式中, xk=[x1(k),x2(k),⋯,xn(k)]T∈Rn${\mathit{x}}_k=[x_1(k),x_2(k),\cdots ,x_n(k){]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^n$是系统的状态向量, uk=[u1(k),u2(k),⋯,un(k)]T∈Rn${\mathit{u}}_k=[u_1(k),u_2(k),\cdots ,u_n(k){]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^n$是系统的控制输入向量, A∈Rn×n$A\in {\mathbf{R}}^{n\times n}$和B$B$∈$\in$Rn×n${\mathbf{R}}^{n\times n}$均为常值矩阵, 并且B$B$是可逆的.

传统的LQT控制问题是寻找最优跟踪控制律u∗k${\mathit{u}}_k^{\ast }$, 使得闭环系统的状态能够跟踪给定参考输入xr,k=[xr1(k),xr2(k),⋯,xrn(k)]T∈Rn${\mathit{x}}_{r,k}=[x_{r1}(k),x_{r2}(k),\cdots ,x_{rn}(k){]}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^n$, 并使如下性能指标最小:

式中, N$N$为大于1的正整数, 表示终端时刻, xN${\mathit{x}}_N$为终端时刻系统状态, xr,N${\mathit{x}}_{r,N}$为终端时刻参考输入, ek=${\mathit{e}}_k=$xr,k−xk${\mathit{x}}_{r,k}-{\mathit{x}}_k$为k$k$时刻的跟踪误差, P$P$和Q$Q$为半正定矩阵, R$R$为正定矩阵. 易知, 最优跟踪控制律为[14]:

式中, Sk$S_k$和Vk$V_k$分别根据下式反向迭代求解:

将式(3)代入式(1), 得到闭环系统方程:

由式(4) ~ (6)可以看出, 即使加权矩阵P$P$, Q$Q$和R$R$都为对角矩阵, 也难以保证从xr,k${\mathit{x}}_{r,k}$到xk${\mathit{x}}_k$的传递函数矩阵是对角的, 也就是说某一个参考输入xri(k),i=$x_{ri}(k),i=$1,⋯,n$1,\cdots ,n$的变化会导致其他状态xj(k)(j=1,⋯,n;$x_j(k)(j=1,\cdots ,n;$i≠j)$i\ne j)$的变化. 造成这种现象的原因是不同控制回路之间存在耦合. 如果被控对象是线性多变量弱耦合系统, 可以采用分布式控制、模型预测控制等方法, 然而如果被控对象是强耦合的, 上述方法难以获得良好的控制效果.

本文的目的是提出一种具有解耦性能的最优跟踪控制方法, 针对已知的离散时间线性多变量系统(1), 通过预先给定合适的对角半正定矩阵P$P$, 对角正定矩阵Λ1${\Lambda }_1$和Λ2${\Lambda }_2$, 得到矩阵序列Sk$S_k$和Vk$V_k$以及对角半正定矩阵Q$Q$, 设计最优跟踪控制器, 使得闭环系统状态xk${\mathit{x}}_k$能够尽可能的跟踪任意参考输入xr,k${\mathit{x}}_{r,k}$的变化, 同时尽可能减少不同控制回路之间的耦合影响, 使闭环系统达到最优性能.

2.   具有解耦性能的最优跟踪控制方法

为了实现解耦控制, 首先令A1=diag{Aii},B1=$A_1=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{A_{ii}\},B_1=$diag{Bii}$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{B_{ii}\}$, 即A1$A_1$和B1$B_1$均为对角矩阵, 其对角线元素分别等于A$A$和B$B$的主对角元素; 令A2=A−A1,B2=$A_2=A-A_1,B_2=$B−B1,$B-B_1,$即A2$A_2$和B2$B_2$均为主对角元素为零的矩阵, 于是如式(7)所示, 将系统(1)分成2个部分, 第1部分无耦合特性, 第2部分可视为所有耦合干扰:

受到二人零和博弈问题的启发, 将式(7)中的耦合干扰A2xk+B2uk$A_2{\mathit{x}}_k+B_2{\mathit{u}}_k$看作可测干扰, 引入如下考虑耦合影响的性能指标:

式中, zk=Wkxk+Xkuk${\mathit{z}}_k=W_k{\mathit{x}}_k+X_k{\mathit{u}}_k$作为可测干扰A2xk+B2uk$A_2{\mathit{x}}_k+B_2{\mathit{u}}_k$的补偿项, P$P$为半正定矩阵, Qk$Q_k$为时变半正定矩阵, Rk$R_k$和Mk$M_k$为时变对称矩阵, Wk$W_k$和Xk$X_k$为时变加权矩阵. 为了描述方便, 在不引起混淆的情况下, 后文将上述时变矩阵的下角标k$k$省略.

定理1. 考虑由式(1)以及参考轨迹xr,k${\mathit{x}}_{r,k}$构成的最优跟踪控制问题. 对任意的矩阵X$X$和M$M$, 选择加权对称矩阵R$R$满 足R−XTMX:=R¯>0$R-X^{\mathrm{T}}MX:=\overline{R}>0$, 则最小化式(8)的最优跟踪控制律为:

式中, Sk∈Rn×n$S_k\in {\mathbf{R}}^{n\times n}$和Vk∈Rn$V_k\in {\mathbf{R}}^n$分别根据下式反向迭代求解:

证明. 根据最小值原理, 定义如下哈密顿函数:

式中, λk+1∈Rn${\lambda }_{k+1}\in {\mathbf{R}}^n$是拉格朗日乘子向量函数. 根据极值条件, 求Hk$H_k$对uk${\mathit{u}}_k$的一阶偏导数:

令∂Hk/∂uk=0$\mathrm{\partial }{H}_k/\mathrm{\partial }{\mathit{u}}_k=0$, 得到最优跟踪控制律:

由于二阶偏导数∂2Hk/∂u2k=R−XTMX>0${\mathrm{\partial }}^2{H}_k/\mathrm{\partial }{\mathit{u}}_k^2=R-X^{\mathrm{T}}MX>0$, 因此性能指标式(8)可以通过式(14)实现最小化.

根据式(12), 得到状态方程和协态方程分别为:

与文献[14]类似, 假设:

将式(17)代入式(14), 可得:

由式(18)可知, u∗k${\mathit{u}}_k^{\ast }$依赖未来时刻的状态xk+1${\mathit{x}}_{k+1}$, 考虑到物理可实现性, 将式(1)代入式(18), 可得:

对式(19)进行移项整理后即得到式(9).

将式(1)、式 (14)和式(17)同时代入式(16), 得到:

利用待定系数法, 对比式(20)与式(17), 得到式(10) ~ (11)反向迭代方程.

在初始状态x0${\mathit{x}}_0$已知的情况下, 最优跟踪问题的边界条件为:

将式(21)与式(17)进行对比, 可得式(10) ~ (11)中的边界条件. □

推论1. 对任意对角正定矩阵Λ1${\Lambda }_1$, 加权对称矩阵R$R$, 以及任意可逆矩阵X$X$, 加权矩阵M$M$和W$W$按照式(22) ~ (23)选择:

则对任意的对角正定矩阵Λ2${\Lambda }_2$, 当最优跟踪控制律为: