椭圆问题“圆”形毕露

设椭圆方程为，令，则得圆方程：，若令，则得圆方程：．

用这个结论解题，不仅思路清晰，和谐美化，而且解题过程简捷明快有新意，可以收到事半功倍之效．下面略举二例说明．

例１　将椭圆与轴相交于，与轴相交于，在椭圆上任取一点，连接，延长后与轴相交于点，连接与轴相交于，求证： 

1． 椭圆C：通过仿射变换，即可得到一个圆．

2．在仿射变换中，点分线段的比例是一个不变量。（例如：M是线段AB的中点，则变换之后这一性质保持不变）

3．在仿射变换中，直线的斜率通常是可变量。

例如：垂直的两条直线的斜率满足，经通过仿射变换后，，故．考虑的逆变换，可知          

上述的结论，即是课本上运用端点相减法得到的中点弦公式。

4．通过仿射变换将椭圆变换成圆之后，可以借用圆的几何性质简化解题过程。

如：例1中，∽△QOB，可得；

例2中，在变换之后的圆的图形中，M点为定点，直线l的斜率确定为定直线，故由（定长）即可运用垂径定理确定确定圆的半径，进而得到椭圆方程。

5.补充几道题目，以作参考。

实例1：（2011年重庆高考数学理科第20题）

如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

(Ⅱ) 设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求    的坐标；若不存在，说明理由．网KS5U.COM]

解：（I）由

解得，故椭圆的标准方程为 

因为点M，N在椭圆上，所以，

设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知

因此所以

所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为

下面要讨论的是这一数学问题产生的根源．

在圆中，OM与ON是两条互相垂直的半径，．则此时直线OM、ON的斜率之积等于-1，P点的轨迹是圆心位于点O、半径为的圆．如下左图所示．

现对上述图形考虑线性变换：．如右图所示，向量的线性关系保持不变，直线与的斜率之积变为，圆变为椭圆，圆变为椭圆． 

实例2：（2012年浙江高考数学理科第21题）

AB被OP平分，在仿射变换前后保持不变。由于OP直线斜率给定，故直线AB的斜率确定。