基于流量校准的吸附测量方法及误差分析

引 言

固气界面上的吸附现象是指当气体分子运动到固体表面时，由于气体分子与固体分子之间的相互作用，气体分子会停留在固体表面，从而使固体表面的气体分子浓度增大。随着生产水平和科学研究的不断发展，固气界面的吸附作用已广泛应用于混合物分离提纯[1-2]、气体存储[3-5]、污水处理[6]和工业催化[7]等领域。

在吸附研究中，吸附量是最重要的物理量。在恒定温度下，气体吸附量和固气吸附平衡压力之间的关系曲线称为吸附等温线。根据吸附等温线的形状和变化规律可以了解吸附质和吸附剂的作用强弱、界面上吸附分子的状态、吸附层结构等信息[8]。

常用的吸附测量方法有容积法[9-13]和质量法[14-16]。容积法出现时间最早[17]，技术成熟，目前已作为标准被广泛采用[18]。其原理是基于被校准过的体积和压力、温度测量值，结合气体状态方程可计算得到吸附前后系统内自由状态气体量，吸附前后系统内气体量差值即为样品吸附量。容积法吸附测量系统简单，易实现自动化控制；但平衡时间长，测量精度易受气体状态方程选取、仪表精度、容积标定精度[19]、气体管路温度均匀性等影响。质量法是通过测量吸附前后的样品质量直接得到吸附量。根据采用的称重天平种类可分为石英弹簧法[20]、电子天平法[21]、磁悬浮法[22]。相比于容积法，质量法无须校正死体积，测量精度主要受限于气体浮力、温差和天平精度的影响，测量误差相对容易控制[23]。

传统容积法吸附测量方法中，测量结果的可靠性受到气体分配管路温度均匀性的严重影响，且缺少校准系统。针对上述问题，本文提出了一种改进的容积法吸附测量方法，在样品室入口前布置质量流量控制器，根据质量流量测量结果对吸附测量值进行校准，且由于质量流量测量不受温度影响，因此在气体管路温度均匀性难以保证的情况下可提升测量结构的精度。本文详细分析了吸附测量过程中的误差传递，从结构参数、物性参数和仪表精度三个方面对比了传统容积法和基于流量校准的容积法。研究结果对于提升容积法吸附测量精度具有重要意义。

1 一种质量流量控制器校准的容积法吸附测量方法

传统容积法是根据质量守恒定律和气体状态方程得到吸附前后平衡态的参数关系，吸附前后自由态气体分子的减少量等于吸附的气体分子量。其一般关系式可表示为

p1V1Z1RT1+nads,1=p2V2Z2RT2+nads,2$\frac{p_1{V}_1}{Z_{1}R{T}_1}+n_{ads,1}=\frac{p_2{V}_2}{Z_{2}R{T}_2}+n_{ads,2}$(1)

式中，下角标1、2分别表示系统的两个平衡态；p$p$是压力；V$V$是容积；T$T$是温度；R$R$是气体常数；Z$Z$是气体在压力p$p$和温度T$T$下的压缩因子；nads$n_{ads}$是系统的气体吸附量。

传统容积法吸附测量部件包括气体分配系统、校准腔、样品室，如图1所示。其中气体分配系统与真空系统、工质气瓶、校准腔和样品室连接，控制气体的进出；校准腔与气体分配系统放置在恒温箱中。吸附测量系统的各平衡状态如表1所示，根据平衡态1~3可得到气体分配系统和校准腔的容积，再结合平衡态4得到加入样品后的样品室容积，结合平衡态5得到测量温度下的样品室等效平均温度Teff$T_{eff}$。基于已得到的腔体容积，结合平衡态6~7可计算得到样品比吸附量。

图1

图1   容积法吸附测量装置原理图

Fig.1   The schematic diagram of volumetric adsorption measurement instrument

表1   吸附测量系统的各平衡状态

Table 1  Various equilibrium states of the adsorption measurement system

通过一般关系式(1)和表1可依次计算得到气体分配系统容积VM$V_M$、加入样品后的样品室容积VS$V_S$、样品室等效平均温度Teff$T_{eff}$和样品比吸附量xads$x_{ads}$的表达式。

VM,V=p2p3Z1p1p3Z2−p1p2Z3Vcal$V_{M,V}=\frac{p_2{p}_3{Z}_1}{p_1{p}_3{Z}_2-p_1{p}_2{Z}_3}{V}_{cal}$(2)VS,V=VM(p1Z4p4Z1−1)$V_{S,V}=V_M\left(\frac{p_1{Z}_4}{p_4{Z}_1}-1\right)$(3)Teff,V=p5VST1Z1Z5ZeffVM(p1Z5−p5Z1)$T_{eff,V}=\frac{p_5{V}_S{T}_1{Z}_1{Z}_5}{Z_{eff}{V}_M\left(p_1{Z}_5-p_5{Z}_1\right)}$(4)xads,V=(p6VMZ6RT1−p7VMZ7RT1−p8VSZeff,adsRTeff)Madsmsample$x_{ads,V}=\frac{\left(\frac{p_6{V}_M}{Z_{6}R{T}_1}-\frac{p_7{V}_M}{Z_{7}R{T}_1}-\frac{p_8{V}_S}{Z_{eff,ads}R{T}_{eff}}\right)M_{ads}}{m_{sample}}$(5)

式中，下角标V$V$表示基于传统容积法的测量参数；Vcal$V_{cal}$是校准球体积；Z1$Z_1$、Z2$Z_2$、Z3$Z_3$、Z4$Z_4$、Z5$Z_5$分别是氦气在压力p1$p_1$、p2$p_2$、p3$p_3$、p4$p_4$、p5$p_5$和温度T1$T_1$下的压缩因子；Zeff$Z_{eff}$是氦气在压力p5$p_5$和温度Teff$T_{eff}$下的压缩因子；Z6$Z_6$、Z7$Z_7$分别是吸附气体在压力p6$p_6$、p7$p_7$和温度T1$T_1$下的压缩因子;Zeff,ads$Z_{eff,ads}$是吸附气体在压力p8$p_8$和温度Teff$T_{eff}$下的压缩因子;Mads$M_{ads}$是吸附气体的摩尔质量；msample$m_{sample}$是样品质量。

本文提出的吸附测量方法在传统的容积法基础上将样品室入口的阀门改为质量流量控制器。该方法通过质量流量控制器测量流经的气体量，测量精度不受温度影响，且结合质量守恒定律和气体状态方程对测量结果进行计算校准，提升测量可靠性。

以气体分配系统容积为例，质量流量控制器将样品室和气体分配系统分隔开，当流量控制器阀门打开时，由质量守恒方程有：

mVM, HeMHe=p1VM,mZ1RT1−p4VM,mZ4RT1$\frac{m_{V_M,He}}{M_{He}}=\frac{p_1{V}_{M,m}}{Z_{1}R{T}_1}-\frac{p_4{V}_{M,m}}{Z_{4}R{T}_1}$(6)

式中，mVM, He$m_{V_M,He}$是在测量气体分配系统容积过程中流量控制器测量得到的流经氦气质量，有正负号之分，“+”表示流出气体分配系统，“-”表示流入气体分配系统；MHe$M_{He}$是氦气的摩尔质量；下角标m$m$表示基于质量流量测量值的测量参数。

由式(6)可得到气体分配系统容积的表达式：

VM,m=mVM, HeRT1Z1Z4MHe(p1Z4−p4Z1)$V_{M,m}=\frac{m_{V_M,He}R{T}_1{Z}_1{Z}_4}{M_{He}\left(p_1{Z}_4-p_4{Z}_1\right)}$(7)

如图2所示，可依次得到加入样品后的样品室容积VS$V_S$、等效平均温度Teff$T_{eff}$和样品比吸附量xads$x_{ads}$的表达式：

VS,m=Z4mS,HeRT1MHep4$V_{S,m}=\frac{Z_4{m}_{S,He}R{T}_1}{M_{He}{p}_4}$(8)Teff,m=p5VS,mMHeZeffRmT,He$T_{eff,m}=\frac{p_5{V}_{S,m}{M}_{He}}{Z_{eff}R{m}_{T,He}}$(9)xads,m=(madsMads−p8VS,mZeff,adsRTeff,m)Madsmsample$x_{ads,m}=\frac{\left(\frac{m_{ads}}{M_{ads}}-\frac{p_8{V}_{S,m}}{Z_{eff,ads}R{T}_{eff,m}}\right)M_{ads}}{m_{sample}}$(10)

式中，mT,He$m_{T,He}$，mads$m_{ads}$分别是等效平均温度和吸附量测定过程中流经质量流量控制器的气体质量。

图2

图2   基于流量校准的吸附测量流程图

Fig.2   Flowchart of the adsorption measurement based on flow calibration

对比式(5)和式(10)可看出，传统容积法测量结果易受气体分配系统温度影响，而基于流量校准的容积法测量结果与气体分配系统温度无关，因此加入质量流量控制器可提升在温度分布均匀性较差时的测量精度，拓展应用范围。

2 误差分析

本节以不确定度作为评价参数，针对结构参数、物性参数和仪表精度对测量结果的影响进行讨论。图3给出了传统容积法和基于流量校准的容积法中测量结果的影响因素。

图3

图3   各因素影响

(a) 容积法;(b) 基于流量校准的吸附测量

Fig.3   Influence of various factors in volumetric adsorption measurement (a) and adsorption measurement based on flow calibration (b)

2.1 测量不确定度

测量标准不确定度的一般表达式为

uA=∑i=1l(∂A∂Bi)2(Bi)2−−−−−−−−−−−−−⎷$u_A=\sqrt[]{\sum _{i=1}^l{\left(\frac{\partial A}{\partial B_i}\right)}^2{\left(B_i\right)}^2}$(11)

式中，uA$u_A$是A$A$的标准不确定度；l$l$是A$A$的影响参数数量；Bi$B_i$是A$A$的第i$i$个影响参数；(∂A∂Bi)2(Bi)2${\left(\frac{\partial A}{\partial B_i}\right)}^2{\left(B_i\right)}^2$是Bi$B_i$关于A$A$的不确定度因子。以传统容积法的比吸附量为例，A$A$为比吸附量xads,V$x_{ads,V}$，由式(5)可知其受到10个测量参数Bi(i=1,…,10)$B_i\left(i=1,\dots ,10\right)$的影响，包括4个直接测量参数(p6$p_6$，p7$p_7$，p8$p_8$，T1$T_1$)和6个间接测量参数(Z6$Z_6$，Z7$Z_7$，Zeff,ads$Z_{eff,ads}$，VM,V$V_{M,V}$，VS,V$V_{S,V}$，Teff,V$T_{eff,V}$)。容积法和基于流量校准的容积法测量结果标准不确定度表达式参数如表2所示。从表2可知，基于流量校准的容积法不确定度因子数量少于容积法。标准不确定度可通过式(12)转化为相对不确定度。

表2   两种方法测量不确定度表达式参数

Table 2  Parameters of measurement uncertainty expression in both methods

注：容积法和基于流量校准的容积法中VS,Teff$V_S,T_{eff}$表达式不相同。

① Z$Z$为p,T$p,T$状态下对应气体的压缩因子。

ur,A=uAA¯¯¯$u_{r,A}=\frac{u_A}{\overline{A}}$(12)

式中，ur,A$u_{r,A}$是A$A$的相对不确定度；A¯¯¯$\overline{A}$是A$A$的测量平均值。

2.2 参数设置

初始参数设定如表3所示，其中为保证低压下的测量精度，采用0~6 bar、0~200 bar（1 bar=105 Pa）两个不同量程的压力表进行测量。温度测量误差限计算公式为式(13)。假设温度、压力和质量流量的测量值在测量误差限内服从均匀分布，根据标准不确定度的B类评定法，可通过式(15)计算得到标准不确定度。基于上述参数，开展后续参数影响分析。

表3   基本参数设定

Table 3  Basic parameter set

σT=±[0.30+0.005|t|+0.06+0.02%R(t)R'(t)]${\sigma }_T=\pm \left(0.30+0.005\left(t\right)+\frac{0.06+0.02\%R\left(t\right)}{R^{\text{'}}\left(t\right)}\right)$(13)

式中，t$t$是温度,℃；R(t)$R\left(t\right)$是温度传感器电阻与温度的关系式；R'(t)$R^{\text{'}}\left(t\right)$是R(t)$R\left(t\right)$关于t$t$的导数。

R(t)=R0[1+at+bt2+c(t−100)t3]        −200℃≤t≤0℃$R\left(t\right)=R_0[1+at+b{t}^2+c\left(t-100\right)t^3]-200℃\le t\le 0℃$R(t)=R0(1+at+bt2)        0℃≤t≤800℃$R\left(t\right)=R_0\left(1+at+b{t}^2\right)0℃\le t\le 800℃$(14)

式中，R0$R_0$是0℃$0℃$时温度传感器阻值，1 kΩ$1k\Omega$；a，b，c为系数，分别为3.9083×10−3℃−1$3.9083\times {10}^{-3}{℃}^{-1}$、−5.775×10−7℃−2$-5.775\times {10}^{-7}{℃}^{-2}$和−4.183×10−12℃−4$-4.183\times {10}^{-12}{℃}^{-4}$。

u=|σ|3√$u=\frac{\left(\sigma \right)}{\sqrt[]{3}}$(15)

式中，σ$\sigma$是误差限。

2.3 结构参数影响

结构参数包括Vcal$V_{cal}$、校准腔容积VC$V_C$、样品室总容积VStotal$V_{Stotal}$和样品骨架体积Vsample$V_{sample}$。

2.3.1 校准球体积

以Vcal$V_{cal}$与VC$V_C$的比值rVcal$r_{V_{cal}}$作为衡量参数，VM$V_M$的相对不确定度ur,VM$u_{r,V_M}$随rVcal$r_{V_{cal}}$和p1$p_1$的变化规律如图4所示。假设校准球体积的误差限σcal${\sigma }_{cal}$与rVcal$r_{V_{cal}}$的关系如式(16)所示。从图4可知，不同rVcal$r_{V_{cal}}$对应的ur,VM$u_{r,V_M}$随初始压力p1$p_1$的变化规律一致，在1~6 bar和10~100 bar区间内ur,VM$u_{r,V_M}$随p1$p_1$逐渐减小，在6~10 bar区间内ur,VM$u_{r,V_M}$激增的原因是压力测量仪器量程从低量程切换到高量程，压力测量误差发生变化。图5展示了ur,VM$u_{r,V_M}$极小值随rVcal$r_{V_{cal}}$的变化情况，可看出随着rVcal$r_{V_{cal}}$增大，ur,VM$u_{r,V_M}$极小值下降，且下降趋势变缓。综合考虑误差和系统尺寸，rVcal$r_{V_{cal}}$取值60%。

σcal=±(3×10−9rVcal)${\sigma }_{cal}=\pm \left(3\times {10}^{-9}{r}_{V_{cal}}\right)$(16)

图4

图4   气体分配系统容积相对不确定度与校准球体积的关系

Fig.4   Relationship between relative uncertainty of manifold volume and calibration ball volume

图5

图5   气体分配系统容积相对不确定度极小值与校准球体积的关系

Fig.5   Relationship between minimum relative uncertainty of manifold volume and calibration ball volume

2.3.2 校准腔容积

以VC$V_C$与VM$V_M$的比值rVC$r_{V_C}$作为衡量参数，基于2.3.1节的分析结果，图6给出了不同rVC$r_{V_C}$下ur,VM$u_{r,V_M}$随p1$p_1$的变化情况。从图6可看出，各曲线变化规律保持一致，区别在于随着rVC$r_{V_C}$的增大，变化曲线从单峰变为双峰，最后稳定为三峰，这是测量时初始压力p1$p_1$和平衡压力p2$p_2$,p3$p_3$之间的差距导致的。当rVC$r_{V_C}$小时，p1$p_1$,p2$p_2$,p3$p_3$三者测量值相近，在p1$p_1$从6 bar变为7 bar时，三者均超出低压压力表量程，因此出现单一峰。随着rVC$r_{V_C}$增大，p1$p_1$,p2$p_2$,p3$p_3$之间的差异增大，出现p1$p_1$或p3$p_3$处于高压力量程而p2$p_2$处于低压力量程的情况，从而导致多峰。图7给出了ur,VM$u_{r,V_M}$极小值随rVC$r_{V_C}$的变化情况，从图中可看出，ur,VM$u_{r,V_M}$极小值随rVC$r_{V_C}$先减后增，这是校准球体积增大和平衡压力差值增大带来的综合影响。VC$V_C$增大会提高系统温度均匀分布的控制难度，综合考虑控制难度和测量精度，rVC$r_{V_C}$取80%。

图6

图6   气体分配系统容积相对不确定度与校准腔容积的关系

Fig.6   Relationship between relative uncertainty of manifold volume and calibration chamber volume

图7

图7   气体分配系统容积相对不确定度极小值与校准腔容积的关系

Fig.7   Relationship between minimum relative uncertainty of manifold volume and calibration chamber volume

2.3.3 样品室容积

以VStotal$V_{Stotal}$与VM$V_M$的比值rVStotal$r_{V_{Stotal}}$作为衡量参数，在2.3.1节和2.3.2节的分析基础上，图8对比了两种方法测量的样品室容积不确定度随p1$p_1$和rVStotal$r_{V_{Stotal}}$的变化情况，其中样品体积取样品室容积的30%。两种方法的样品室容积不确定度随压力变化情况相同，区别在于容积法会出现双峰，原因与2.3.1节相同，基于流量校准的容积法为单峰，原因是计算过程中压力相关项为一个。然而，两者随样品室容积的变化趋势相反，这是因为在流量校准的容积法中，样品室体积增大使得达到同一压力状态所需流入样品室的气体质量增大，对应的不确定度因子增大，最终体现出正相关的趋势。

图8

图8   样品室容积相对不确定度与样品室容积的关系

Fig.8   Relationship between relative uncertainty of sample chamber volume and sample chamber volume

图9给出了两种方法测量的样品室容积不确定度极小值随样品室容积的变化规律。从图中可看出，容积法极小值变化明显，基于流量校准的容积法极小值变化很小。因此在容积法吸附测量中，综合考虑尺寸和精度需求，rVStotal$r_{V_{Stotal}}$取100%；在基于流量校准的吸附测量中，样品室容积的取值可优先考虑如空间布局等其他因素的影响。

图9

图9   样品室容积相对不确定度极小值与样品室容积的关系

Fig.9   Relationship between minimum relative uncertainty of sample chamber volume and its value

2.3.4 样品骨架体积

假设样品比吸附量为 0.067 g/g，以Vsample$V_{sample}$与VStotal$V_{Stotal}$的比值rVsample$r_{V_{sample}}$作为衡量参数，在2.3.1~2.3.3节的分析基础上，图10给出了两种方法测量不确定度ur,xads$u_{r,x_{ads}}$随p8$p_8$和rVsample$r_{V_{sample}}$的变化情况。从图10中可看出，两种方法的比吸附量不确定度均与测量压力p8$p_8$正相关，与rVsample$r_{V_{sample}}$负相关。综合考虑实际填充率和测量精度，取样品骨架体积占比为40%。

图10

图10   比过剩吸附量相对不确定度与样品骨架体积占比的关系

Fig.10   Relationship between relative uncertainty of excess adsorption amount and sample skeleton volume

2.4 样品物性影响

样品物性包括比过剩吸附量xads$x_{ads}$和样品密度ρads${\rho }_{ads}$。在2.3节分析结果基础上，图11对比了容积法和基于流量校准的容积法测量结果不确定度随比过剩吸附量xads$x_{ads}$和样品密度ρads${\rho }_{ads}$的变化情况。从图中可看出，两种测量方法变化规律保持一致，区别在于容积法测量不确定度数值和随比过剩吸附量、样品密度的变化程度更大，这是因为容积法计算过程中与压力相关的不确定度因子数量更多。

图11

图11   比过剩吸附量相对不确定度和比过剩吸附量(a)、样品密度(b)的关系

Fig.11   Relationship between relative uncertainty of excess adsorption amount and excess adsorption amount (a), sample density (b)

2.5 仪表精度影响

仪表精度包括压力、温度和质量流量的测量精度。图12对比了两种方法相对不确定度随压力测量精度、温度测量精度的变化情况。从图中可看出，两种方法测量不确定度随压力测量精度和温度测量精度变化规律一致，区别在于容积法数值和变化趋势更大，这是因为容积法计算过程中与压力测量精度和温度测量精度相关的不确定度因子数量更多。

图12

图12   比过剩吸附量相对不确定度与压力测量精度(a)、温度测量精度(b)的关系

Fig.12   Relationship between relative uncertainty of excess adsorption amount and pressure measurement accuracy (a), temperature measurement accuracy (b)

图13展示了基于流量校准的吸附测量不确定度随质量流量测量精度的变化情况。从图中可看出，测量不确定度随质量流量测量精度降低而增大，这是因为精度降低造成流经质量流量控制器的气体质量不确定度因子增大。

图13

图13   比过剩吸附量相对不确定度与质量流量测量精度的关系

Fig.13   Relationship between relative uncertainty of excess adsorption amount and mass flow measurement accuracy

3 结 论

本文在容积法吸附测量中加入质量流量控制器，用以提升温度均匀性难以保证时的测量精度，并提高测量结果的可靠性。本文分析了两种测量方法的误差传递过程，并对比了结构参数、物性参数和仪表精度对测量结果的影响。基于分析结果可得到以下结论。

（1）相比传统容积法，基于流量校准的吸附测量方法误差因子数量更少，可实现更低的测量误差。

（2）增大样品量、比过剩吸附量、密度和仪表精度可提升两种方法的测量精度，增大校准球体积可提升传统容积法的测量精度。

（3）校准腔容积存在最优值，使得气体分配系统容积标定误差最小；质量流量测量误差的引入增大了容积变化对样品室容积不确定度的影响，造成样品室容积对两种方法测量结果的影响规律不同。

上述结论是基于所研究的结构参数和测量条件得到的，其普适性有待进一步研究。影响吸附测量精度的直接原因是平衡态直接测量误差项(p,T,m)的变化，结构参数、物性参数的变化改变了其误差传递系数，仪表精度的变化改变了其测量不确定度。本文研究状态离实际应用还存在一定差距，如温度波动对压力传感器测量精度的影响以及气体分配系统温度均匀性的影响还需要进行考虑。此外，实际应用中应权衡测量精度、空间布置方式和重复实验需求，对吸附测量系统进行合理布置。今后工作将对温度波动和温度均匀性进行分析，并结合实验开展研究，以求获取具有明确普适性的影响规律，对实际系统设计进行指导。

符 号 说 明