高电阻浮置电极液晶透镜的仿真研究

所提出的透镜结构如图1（a）所示，平行取向的液晶层夹在两个玻璃基板之间，下基板覆盖均匀透明电极（ITO）和PI取向层。在上基板的内表面制作高电阻透明浮置电极，在浮置电极上制作百纳米厚度的SiO₂介质绝缘层，在绝缘层上制作传统的由低电阻圆孔电极和WCL构成的模式控制型液晶透镜的电极。浮置电极和WCL使用掺铝氧化锌（AZO）材料，通过Al离子掺杂浓度的变化实现AZO材料阻值的调控^［16］。模式控制型电极上面是PI取向层，通过取向处理使液晶层形成均一的平行取向。

图1  （a）浮置电极液晶透镜的结构示意图；（b）浮置电极液晶透镜电阻电容等效电路图。

Fig.1  （a） Schematic diagram of floating electrode liquid crystal lens；（b） Capacitance equivalent circuit diagram of floating electrode liquid crystal lens resistor.

相应的器件参数如下，浮置电极圆盘直径D为2.5 mm，低电阻的圆孔电极的直径d为2 mm，WCL方块电阻取为20 MΩ·□^-1，液晶层厚度为40 μm，PI取向层厚度取为100 nm。为了仿真研究的方便，选用了物理参数研究较为全面的E7型液晶，其物理参数为Δε = 14.7，ε_⊥ = 5.1，k₁₁ = 12 pN，k₂₂ = 9 pN，k₃₃ = 19.5 pN，n_o = 1.528，Δn = 0.227，电导率σ = 10^-9 S/m，液晶预倾角取为5°，液晶分子在与基板的界面上采用强锚定的假设。通过考虑浮置电极层、WCL和液晶层形成一个分布式电阻电容电路如图1（b）所示，液晶层建模为并联的电容和高电阻模型，WCL和浮置电极建模为等效电阻模型，WCL与浮置电极之间建模为等效电容模型。

本文采用Comsol Multiphysics仿真软件对高电阻浮置电极液晶透镜进行理论建模与仿真研究，详细的建模与仿真方法在Galstian的文献中有较为详细的论述^［12］，本文仅作较为简略的介绍。为了降低模型的复杂程度，保证COMSOL软件中有限元计算的稳定性，并且考虑到液晶透镜的圆孔电极半径远大于液晶层厚度，液晶层中的电场横向分量远小于纵向分量，可以合理地忽略电场的横向分量。液晶材料采用连续体弹性理论进行建模，液晶的自由能密度函数形式如下：

其中：f_elastic是弹性能的贡献（K₁₁、K₂₂、K₃₃分别为展曲、扭曲和弯曲常数），f_electric是电场贡献（E→为电场强度矢量，D→为电位移矢量）。为降低方程的非线性程度，使用单一弹性常数近似（K₁₁ = K₃₃ = K），本文中K取K₁₁ 与K₃₃的平均值。由自由能的最小化原理产生Euler-Lagrange二阶微分方程为公式（2）：

其中ε₀为真空的介电常数，Δε为LC的介电各向异性，θ为液晶指向矢倾角，V为电势。

液晶层可被视为电容模型，在施加交流驱动信号时，可以引入位移电流的假设，位移电流与传导电流共同形成连续电流。电流密度满足公式（3）：

其中：J⃗ C=σE⃗ 为传导电流密度，J⃗ D=∂D⃗ ∂t为位移电流密度。利用COMSOL软件中的参数型偏微分方程方法在液晶区域建立公式（2）的方程，并在全部区域添加电流场，在电极等各向同性的介质中，介电常数ε是常数，在液晶层中ε为二阶张量^［17］。采用COMSOL内置的求解器进行求解，得到液晶指向矢倾角分布。

在获得液晶指向矢的倾角分布后，液晶层内任意位置的有效折射率与该位置的液晶指向矢倾角的关系满足公式（4）：

式中：n_o和n_e分别为液晶材料的寻常光折射率和非寻常光折射率，θ为液晶指向矢倾角。液晶透镜的光程（O）可以根据公式（5）计算：

式中h为液晶盒盒厚。

由于液晶材料的折射率一般在589 nm钠黄光波长下测得，因此计算时选取光源波长为589 nm，这一波长也是可见光波段成像研究的重要光谱线之一。具有抛物线光程分布的理想液晶透镜光程在透镜中心和透镜边缘与液晶透镜仿真获得的光程数值相同，由公式（6）表示：

式中O_center为液晶透镜中心处的光程，f为液晶透镜焦距，r为考察点到液晶透镜中心的距离。

由公式（7）计算液晶透镜的光程与理想抛物线分布光程之间的均方根误差RMSOPD。

式中：O_i为第i个采样点处液晶透镜仿真得到的光程，O_ideali为第i个采样点处理想抛物线光程分布的光程，N为沿r坐标的采样点数量。液晶透镜的焦距f由公式（8）计算。

式中：R为液晶透镜半径，Δn为液晶透镜中心与边缘折射率差，h为液晶层厚度。

仿真研究中将绝缘层厚度设定为250 nm，浮置电极方块阻值为变量，从150 Ω·□^-1增加到300 MΩ·□^-1，研究浮置电极方块电阻对液晶透镜的波前均方根误差的影响规律。参考文献的研究结果，液晶透镜的波前误差会随着透镜焦距的减小而增大，仿真研究的液晶透镜的焦距取为较短的250 mm。对每一个选取的浮置电极的方块电阻值，都通过调整驱动电压与驱动信号频率，使液晶透镜的RMSOPD达到极小值。如图2（a）所示，当浮置电极阻值太小时，RMSOPD值较大，波前均方根误差大于λ/14，不满足Marechal判据^［18］，像差较大。当浮置电极方块电阻增大时，RMSOPD先减小后增大。当浮置电极方块电阻值为40 MΩ·□^-1时，RMSOPD值取极小值0.041 2 μm，且波前均方根误差小于λ/14，满足Marechal判据。研究表明，高方块电阻浮置电极能起到在薄绝缘层条件下降低液晶透镜波前误差的作用，并且当方块电阻变化时，波前误差存在极小值。

图2  （a）浮置电极阻值变化的RMSOPD；（b）浮置电极不同阻值的光程分布曲线图。

Fig.2  （a） RMSOPD for resistance change of floating electrode；（b） Optical path distribution curves of floating electrode with different resistance values.

由图2（b）中的浮置电极方块电阻分别为150 Ω·□^-1、40 MΩ·□^-1和300 MΩ·□^-1时的光程分布曲线可见，当方块电阻为150 Ω·□^-1时，浮置电极电阻较低，浮置电极对WCL的分流作用较强，液晶透镜中心相当大的区域液晶指向矢的倾角变化较小，这一区域的光程变化也较小，波前误差较大。当方块电阻为300 MΩ·□^-1时，浮置电极电阻较大，浮置电极对WCL的分流作用较弱，液晶透镜的光程分布接近于没有浮置电极时的模式控制型液晶透镜的结果。当方块电阻为40 MΩ·□^-1时，液晶透镜的光程分布与理想的抛物线形的光程分布几乎重合，光程误差达到极小值。

选取液晶透镜的焦距为250 mm，取不同的SiO₂绝缘层薄膜厚度，从50 nm增加到5 000 nm，仿真研究不同绝缘层厚度液晶透镜达到最小波前均方根误差时的浮置电极方块电阻值。仿真研究的结果显示，当绝缘膜厚度增加时，最佳浮置电极方块电阻将会减小，如图3所示。根据R-C电路原理，当SiO₂绝缘层薄膜厚度较薄时，浮置电极与WCL之间电容较大，浮置电极方块电阻较大时会减小电容的分流效果，有利于电压平滑分布；当SiO₂绝缘层薄膜厚度较厚时，浮置电极与WCL之间电容较小，浮置电极电阻较小才能获得适当的电容分流效果。Galstian等人设计的透镜结构悬浮电极与WCL间隔玻璃厚度为100 μm，而悬浮电极材料为ITO，方块电阻为150 Ω·□^{-1 ［13］}，这一结果也验证了本文仿真结果的正确。考虑到较厚的绝缘层薄膜会产生较大的应力效应，影响薄膜的质量，较薄的薄膜会导致电击穿强度下降，并且更容易出现“针孔”。参考通常TFT栅极绝缘层的厚度取值，绝缘层厚度取250 nm左右较为合适。

图3  浮置电极最佳方块电阻随薄膜介质层厚度变化曲线图

Fig.3  The best square resistance of floating electrode changing with film thickness of dielectric layer graph

根据上述的研究结果，确定了液晶透镜浮置电极方块电阻为40 MΩ·□^-1和SiO₂绝缘层薄膜厚度250 nm，仿真研究了液晶透镜调焦特性的波前误差。当驱动电压有效值为1.8 V，在3~8.5 kHz间连续改变驱动信号频率，焦距随频率变化曲线如图4（a）所示，随着驱动频率的增大，液晶透镜的焦距随之减少，可以实现焦距从250 mm到无穷远的连续平滑调节。如图4（b）所示，浮置电极液晶透镜不同焦距下的RMSOPD曲线图，随着透镜的焦距不断增加，透镜的RMSOPD从0.041 2 μm不断降低，都满足Marechal判据，具有良好的成像效果。

图4  （a）浮置电极液晶透镜焦距随频率变化曲线图；（b）浮置电极液晶透镜不同焦距下的RMSOPD。

Fig.4  （a） Focal length of floating electrode liquid crystal lens varies with frequency；（b） RMSOPD of floating electrode liquid crystal lens at different focal lengths.