多图正则多核非负矩阵分解高光谱图像解混

作者：刘敬李康欣张悠刘逸来源：《光学精密工程》日期：2022-09-21人气：1296

高光谱图像^［1］有高的光谱分辨率，包含丰富的图像及光谱信息，而由于高光谱传感器的低空间分辨率和不同纯物质波谱的混合，导致混合像元^［2］的产生，极大地影响了高光谱遥感图像的应用。为改善高光谱图像分解精度，高光谱解混^［3-5］已成为热点，可用线性或非线性方式将混合像元分解，同时提取端元与丰度。端元是混合像元分解出的纯物质光谱，而丰度^［6］则是每个像元中端元的贡献。

早期高光谱解混算法主要采用线性混合模型（Linear Mixture Model， LMM），如基于几何的顶点成分分析法（Vertex Component Analysis， VCA）^［7］、最小封闭体积的单纯形法（Minimum Volume Enclosing Simplex， MVES）^［8］，基于统计的贝叶斯方法、独立成分分析（Independent Component Analysis， ICA）^［9］和非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization， NMF）^［10］算法等。在NMF算法中，先找到一组非负基，然后将原始数据映射到这组基上，且数据在每个基上的表达非负。NMF十分适合应用于高光谱解混，得到端元和丰度矩阵。为保持数据空间固有的流形结构，Yang等人在NMF中加入了图正则算法，称为图正则非负矩阵分解^［11］，该算法利用一种图相似性描述样本之间的关系，充分考虑了局部不变性。由于定义样本之间的关系及其权重矩阵的方法很多，单图的选择至关重要。为解决图选择的问题，Shu等人提出多图正则非负矩阵分解（Multi-graph Regularized Nonnegative Matrix Factorization， MGNMF）^［12］，采用一组已知的多个图拉普拉斯矩阵，通过学习得到的加权参数组合，去逼近原始数据。多图可更准确地刻画样本的相似性，进而更好地表达原始数据的结构。虽然多图解决了图正则非负矩阵分解（Graph Regularized Nonnegative Matrix Factorization， GNMF）算法中图选择困难的问题，但其属于线性解混算法^［13-14］，难以适应真实场景中复杂的非线性光谱混合结构，所以，这一问题也促进了非线性解混算法研究。

NMF是一种典型的线性解混算法，不适合提取数据的非线性混合结构^［15］，而核方法可以解决这个问题。核方法^［16］是将非线性关系转变为线性关系的一种过程方法，将低维非线性混合结构的数据映射到高维核空间，在核空间中数据混合结构呈现线性，因此在核空间可实现高光谱图像的非线性解混。Yan等人提出的包含纯像元的核非负矩阵分解（Pure-pixels Kernel Nonnegative Matrix Factorization， pKNMF）与不含纯像元的核非负矩阵分解（Non-pure-pixel Kernel Nonnegtive Matrix Factorization， npKNMF），是将KNMF^［17］算法直接应用于高光谱数据，得到比NMF好的分类效果。但KNMF的性能很大程度上取决于核函数的选择。多核非负矩阵分解（Multi-kernel Nonnegtive Matrix Factorization， MKNMF）算法采用多个核函数的组合，并为每个核函数设置适当的权重参数。相比KNMF算法，多核NMF可自适应地选择核函数并加权，有更好的映射能力。Yao等人将MKNMF引入图正则NMF算法中，在高光谱数据集中得到了更好的验证^［18］。

在许多复杂自然场景中存在大量的非线性混合现象，如沙地和矿物混合区的密集混合现象，以及植被和建筑物覆盖区的多级混合现象。基于线性混合模型的线性解混算法不适合于非线性混合情况，所以，本文提出了一种非线性解混算法——多图正则多核非负矩阵分解（Multi-graph Regularized Multi-kernel Nonnegative Matrix Factorization，MGMKNMF），先使用多核函数构造适合于高光谱数据的核空间，然后在多核空间的基础上为目标函数添加多图正则项。本文提出的算法有以下两个优点：（1）与KNMF算法相比，MGMKNMF算法采用核函数权重将多个不同参数的高斯核函数联合起来，并在学习过程中不断更新核函数权重，避免了单核的唯一性，使构造的核空间更合适，也解决了多个高斯核函数权重选择困难的问题。（2）与GNMF和MGNMF算法相比，MGMKNMF算法是非线性方法，在多核空间构造多图，图权重将多个图拉普拉斯矩阵线性组合，并与丰度矩阵最终构成多核空间的多图正则项，且在学习过程中不断更新图权重。相比原空间的单图和多图，多核空间中的多图可更精确地刻画原始数据的非线性流形结构，更适合对真实场景中复杂的非线性光谱混合结构进行非线性解混。本文采用两个真实高光谱数据集Jasper Ridge和Cuprite，并采用广义双线性模型（GBM）^［19］和Hapke^［20］非线性模型分别生成两个模拟数据集，将所提MGMKNMF算法与GNMF、npKNMF、核稀疏非负矩阵分解（Kernel Sparse Nonnegative Matrix Factorization， KSNMF）、基于核的字典剪枝非线性光谱解混（Kernel-based Nonlinear Spectral Unmixing with Dictionary Pruning， KDP）、多图正则核非负矩阵（Multi-graph Regularized Kernel Nonnegative Matrix Factorization， MGKNMF）算法比较，实验结果表明，MGMKNMF的光谱角距离（Spectral Angel Distance， SAD）和均方根误差（Root Mean Square Error， RMSE）相比其他算法均有较为显著的下降。

2 相关工作

2.1　非负矩阵分解NMF

NMF可用于高光谱遥感影像的无监督解混。给定一个数据矩阵 $X = [x_{1}, \dots, x_{N}] \in R^{M \times N}$ ，其中X的每一列都是样本向量。NMF通过矩阵分解将原始高秩矩阵分解为两个低秩矩阵 $A \in R^{M \times K}$ 和 $S \in R^{K \times N}$ 的相乘，并加上非负的约束。

（1）

非负矩阵分解的目标函数：

（2）

其中：X是原始数据矩阵，在高光谱数据中，A和S分别代表端元矩阵与丰度矩阵。

2.2　图正则非负矩阵分解GNMF

NMF将非负矩阵X分解为基矩阵A和编码矩阵S的乘积 $(X \approx A S)$ ，用于高光谱图像的无监督解混时，即将高光谱数据集X分解为端元矩阵A与丰度矩阵S的乘积。GNMF将图正则项添加到NMF的目标函数中，改善了未考虑数据流形结构所带来的问题。对有N个样本的数据集X构造一个K近邻图，图中顶点为X中各像素点。N_n为X中样本x_n的K近邻集，将每个顶点x_n与属于它的N_n连接，并定义图权重矩阵 $W \in R^{N \times N}$ ，原空间中顶点x_n和x_m间的权重 $W_{n m}$ 越大，在子空间中的s_n和s_m距离也越近。通过权重矩阵W构造图正则项：

（3）

其中：s_n和s_m为像元x_n和x_m在端元基向量上的编码向量，即丰度； $W_{n m}$ 为x_n和x_m间的权重；S为丰度矩阵；D为对角矩阵， $D_{n n} = \sum_{m = 1}^{N} W_{n m}$ ； $L = D - W$ 是图拉普拉斯矩阵；“tr（·）”表示矩阵的对角线元素之和。常用定义权重矩阵W的方法有：0-1加权、热核加权和点积加权等。

将式（3）与（2）结合，得到GNMF的目标函数：

（4）

其中：α为权重参数，GNMF求解约束最小化问题 $m i n O^{G N M F} (A, S, W) s . t . A \geq 0, S \geq 0$ 。

2.3　多图正则非负矩阵分解MGNMF

根据不同定义权重矩阵的模型，可计算相应的图权重矩阵和图拉普拉斯矩阵。MGNMF采用不同数量的最近邻构建图并进行加权，经过算法自动选择，得到最优多图正则项。若已知一组M种模型的图权重矩阵｛W₁，W₂，…，W_M｝和相应的图拉普拉斯矩阵｛L₁，L₂，…，L_M｝，将这M个图权重矩阵线性组合，则相应的图拉普拉斯矩阵也进行相同的线性组合：

（5）

其中，γ_m是第M个图权重矩阵和图拉普拉斯矩阵的权重。MGNMF为一组预先计算得到的候选图确定最佳的图权重，而不是先选最佳图矩阵模型并估计参数。MGNMF的多图正则项为：

（6）

多图正则项比单图正则项更精准，GNMF的唯一权重不可靠。MGNMF无需选择唯一的图权重矩阵模型，且通过学习所得图权重向量 $γ = [γ_{1}, \dots, γ_{L}]^{T}$ 对M个图拉普拉斯矩阵进行最优线性组合。

2.4　多核非负矩阵分解MKNMF

NMF是线性方法，不能很好地处理数据中的非线性结构，而KNMF通过核方法，将原始数据映射到高维核空间： $X \to Φ (X) = [Φ (x_{1}), \dots, Φ (x_{n})]$ ，可以解决数据的非线性问题。核矩阵 $K = Φ {(X)}^{T} Φ (X)$ ， $K \in R^{N \times N}$ 。则在高维核空间，NMF可以表示为 $Φ (X) \approx A S$ 。其中A为端元矩阵，S为丰度矩阵。以核空间中样本 $Φ (X)$ 作为基向量，得到端元矩阵 $A = Φ (X) F$ ， $A = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{P}]$ ，P为端元个数，F矩阵包含核空间中所有样本对构造各端元的贡献， $F \in R^{N \times P}$ 且 $a_{p} = \sum_{n = 1}^{N} f_{n p} Φ (x_{n})$ ， $f_{n p}$ 为矩阵F中第n行p列个元素，F矩阵中的第p列为核空间中所有样本对构造第p个端元的贡献。当核函数确定后，KNMF有唯一的核空间，这种选择核空间的方式并不准确。

MKNMF算法将L个不同核函数对应的核空间联合起来，以构造一个更合适的希尔伯特空间，这L个不同核空间对应的核矩阵为 $[K_{l}]_{l = 1}^{L}$ 。核函数权重向量 $τ = [τ_{1}, \dots, τ_{L}]^{T}$ 将这L个不同的核空间线性组合，组合后的多核核空间的核矩阵为：

（7）

通过将学习好的参数 $τ$ 带入上式，避免了不同核函数权重分配的问题；而多个核函数可构造出更适合原数据的核空间，比单核更可靠。将式（4）代入KNMF目标函数中，得MKNMF的目标函数：

（8）

3 MGMKNMF

本文提出的MGMKNMF在多核空间构造多图，为更新多图，给定参数τ，用欧几里德距离的平方重新定义多核空间中x_n的K近邻集 $N_{n}^{τ}$ ：

（9）

多核空间中的多图正则化项为：

（10）

其中， $L_{m}^{τ} = D_{m}^{τ} - W_{m}^{τ}$ 是核空间中的图拉普拉斯矩阵。和MGNMF类似，为一组预先计算所得图拉普拉斯矩阵确定最佳权重，精准的多图正则项应用在多核空间将更加合理。

最终将式（8）与式（10）结合，得到MGMKNMF的目标函数：

（11）

多核空间可更好地挖掘数据间的非线性关系，在多核空间嵌入多图能更好地表达数据的非线性流形结构。式（11）中的‖τ‖²可防止参数 $τ$ 过度偏向到一个核函数中；‖γ‖²项可避免γ偏向到一个权重构造函数中；α，β，μ均是权衡上式所用的权衡参数，其值均为非负。因α是约束多图正则项的参数，与约束核权重和图权重的β，μ相比，α应大于β，μ。根据参考文献［21］和多次实验的结果，本文实验中：Cuprite数据α=100，Jasper Ridge数据α=20，HAPKE模拟数据α=20，GBM模拟数据α=20；所有数据的β均为10，μ均为10。

根据参考文献［21］和［22］，式（11）中的MGMKNMF目标函数是非凸的，无法得到全局最小值。MGMKNMF采用分步迭代策略优化目标函数，可得到局部最小值^［21-22］，具体如下：

（1）固定 $τ$ 和 $γ$ ，更新F，S。式（11）可写为：

假设 $φ_{l p}$ 和 $ψ_{p n}$ 分别是 $f_{l p}$ 和 $s_{p n}$ 的拉格朗日乘子，令 $φ_{l p} = φ$ ， $ψ_{p n} = ψ$ ，则式（12）的拉格朗日函数为：

（13）

式（13）分别对F和S求偏导得：

（14）

结合卡罗需-库恩-塔克（KKT）条件： $φ_{l p} f_{l p} = 0$ ， $ψ_{p n} s_{p n} = 0$ 有：

（15）

得到F和S的乘法更新法则分别为：

（16）

（17）

（2）固定F，S和 $γ$ ，更新 $τ$ ，式（11）可写为：

（18）

其中， $Z = I - F S$ ， $g_{l} = t r [K_{l} Z Z^{T}]$ 。

（3）固定F和S和 $τ$ ，更新 $γ$ ，式（11）可以写为：

（19）

式（18）和式（19）的约束二次规划问题可根据文献［23］中的方法来解决。

MGMKNMF解混算法总结如下：

MGMKNMF解混算法
输入：原始高光谱数据X，L个核矩阵 ${K_{1}, \dots, K_{l}, \dots, K_{L}}$ ，M个图拉普拉斯矩阵 ${L_{1}, \dots, L_{m}, \dots, L_{M}}$ ，最大迭代次数T Step1.初始化矩阵F⁰和S⁰， Step2.初始化核权重变量 $τ_{l}^{0} = 1 / L, l = 1, \dots, L$ ，初始化图权重 $γ_{m}^{0} = 1 / M, m = 1, \dots, M$ for t=1 to T do 通过式（7）更新图 $G^{τ^{t}}$ 和相应的拉普拉斯矩阵 $L^{τ^{t}}$ ；通过式（11）和式（12）更新 $F^{t}$ 和 $S^{t}$ ；通过式（13）和式（14）更新核权重 $τ^{t}$ 和图权重 $γ^{t}$ ； end 输出： $F = F^{t - 1}, S = S^{t - 1},$ $τ = τ^{t - 1}, γ = γ^{t - 1}$

MGMKNMF解混算法

输入：原始高光谱数据X，L个核矩阵 ${K_{1}, \dots, K_{l}, \dots, K_{L}}$ ，M个图拉普拉斯矩阵 ${L_{1}, \dots, L_{m}, \dots, L_{M}}$ ，最大迭代次数T

Step1.初始化矩阵F⁰和S⁰，

Step2.初始化核权重变量 $τ_{l}^{0} = 1 / L, l = 1, \dots, L$ ，初始化图权重 $γ_{m}^{0} = 1 / M, m = 1, \dots, M$

for t=1 to T do

通过式（7）更新图 $G^{τ^{t}}$ 和相应的拉普拉斯矩阵 $L^{τ^{t}}$ ；

通过式（11）和式（12）更新 $F^{t}$ 和 $S^{t}$ ；

通过式（13）和式（14）更新核权重 $τ^{t}$ 和图权重 $γ^{t}$ ；

end

输出： $F = F^{t - 1}, S = S^{t - 1},$ $τ = τ^{t - 1}, γ = γ^{t - 1}$

4 实验结果与分析

将所提MGMKNMF算法与GNMF、npKNMF、KSNMF、KDP和MGKNMF解混算法进行对比，使用SAD和RMSE作为评估指标，采用HAPKE和GBM模拟数据，以及Cuprite和Jasper Ridge真实数据验证该算法的有效性。所有实验中，我们选择0-1加权图、热核加权图和点积加权图的图权重矩阵模型构成最终图正则项。多核函数选择高斯核函数，所选取的核参数为1/32，1/16，1/8，1/4，1/2，1，2，4，8，16，32以构成不同的核函数。各算法的迭代次数T均设置为200。

4.1　评价标准

SAD值反映了解混所得端元光谱与原端元光谱之间相似性，定义为 $V_{S A D} = a r c c o s (a^{T} b / | | a | | | | b | |)$ ，其中，a，b是两个端元光谱。

RMSE值反映解混所得丰度与实验室测量的实际丰度间的差别，定义为 $V_{R M S E_{s_{i}}} = (1 / N {|s_{i} - {\hat{s}}_{i}|}^{2})^{1 / 2}$ ，其中， $s_{i}$ 和 ${\hat{s}}_{i}$ 分别是实际丰度和解混所得丰度。

4.2　模拟数据实验与分析

本文采用HAPKE和GBM两种非线性模型生成模拟数据集。HAPKE模型是一种紧密混合模型；GBM是一种双线性混合模型，是LMM线性结构与端元间的二次散射项的加权组合。本文从美国光谱库（USGS）随机选择6种地物光谱作为端元，如图1。并且丰度矢量满足丰度非负和丰度和为一的约束。最后模拟生成的高光谱每个大小为20 $\times$ 20，每个像素波段为224，并加入不同信噪比（Signal to Noise Ratio， SNR）的零均值高斯噪声来更好地接近真实数据。

图1 光谱库中随机生成的端元光谱

Fig.1 Endmember spectra randomly generated by spectrum library

4.3　模拟数据实验结果及分析

表1~4分别显示了端元数目为6，SNR不同时，各算法在HAPKE和GBM模拟数据上的SAD、RMSE值。从表中可以看出，随着SNR值的增加，SAD和RMSE的值均呈下降趋势，而 MGMKNMF算法与其他6种算法相比具有较好的准确度。NMF和GNMF因为属于线性解混算法，对非线性数据解混精度都很差，但GNMF算法在NMF的基础上增加了图正则约束，揭示了数据内在固有的流形结构，相比NMF算法有进一步提升；剩下的5种算法均利用了核函数的概念，更适合于非线性数据。npKNMF算法在核空间中应用了NMF，相比NMF准确度有所提高；而KSNMF在丰度中加了L₁范数使丰度更加稀疏，得到了更好的准确率；KDP在进行端元选择时使用了大型光谱库，相比其余两者更加准确，MGKNMF在单核空间中构造多图正则项。而提出的MGMKNMF算法不仅用多图来刻画数据内在流形结构，更使用多核学习找到合适的核参数与核函数，进一步增加了算法的准确度。

表1 不同SNR下HAPKE模型各算法的SAD值

Tab.1 SAD value of each algorithm of HAPKE model under different SNR

SNR/dB	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
10	0.494 8	0.456 7	0.170 2	0.169 3	0.167 1	0.190 1	0.213 3
20	0.382 9	0.309 4	0.164 8	0.160 4	0.154 3	0.157 6	0.154 1
30	0.341 7	0.296 0	0.162 1	0.153 1	0.148 2	0.129 4.	0.124 8
40	0.308 4	0.251 9	0.159 6	0.149 2	0.142 7	0.146 6	0.137 5

表2 不同SNR下GBM模型各算法的SAD值

Tab.2 SAD value of each algorithm of GBM model under different SNR

SNR/dB	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
10	0.401 1	0.283 9	0.180 3	0.172 3	0.171 4	0.169 3	0.258 8
20	0.395 9	0.236 4	0.174 2	0.166 8	0.164 3	0.145 5	0.121 9
30	0.341 3	0.214 2	0.168 1	0.161 1	0.160 8	0.139 0	0.113 1
40	0.300 1	0.199 8	0.161 3	0.159 1	0.157 7	0.149 9	0.145 6

表3 不同SNR下HAPKE模型各算法的RMSE值

Tab.3 RMSE value of each algorithm of HAPKE model under different SNR

SNR/dB	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
10	0.185 0	0.186 9	0.079 2	0.068 9	0.067 2	0.099 0	0.091 0
20	0.162 4	0.183 9	0.076 9	0.063 7	0.061 1	0.061 8	0.060 1
30	0.149 5	0.180 1	0.071 3	0.058 7	0.058 0	0.052 3	0.049 0
40	0.129 9	0.178 3	0.066 2	0.052 3	0.051 8	0.051 5	0.050 6

表4 不同SNR下GBM模型各算法的RMSE值

Tab.4 RMSE value of each algorithm of GBM model under different SNR

SNR/dB	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MKGNMF	MGMKNMF
10	0.321 7	0.290 6	0.081 7	0.071 1	0.070 8	0.079 0	0.112 3
20	0.307 4	0.253 1	0.079 4	0.062 4	0.061 8	0.060 6	0.059 7
30	0.292 3	0.233 7	0.073 6	0.060 3	0.059 3	0.052 2	0.050 1
40	0.258 6	0.201 2	0.069 1	0.058 4	0.058 0	0.057 7	0.057 0

表5~8分别显示了SNR为40 dB，端元数目P不同时，各算法在这2个模型的模拟数据上的SAD与RMSE值。因每次生成模拟数据时是在USGS库随机选取端元，导致表5~8的结果在P=6时，与表1~4中SNR为40 dB时的结果不同。可以看出，因为模拟数据非线性程度高，端元数的增加会导致算法解混能力的下降。相比NMF算法，MGMKNMF算法在HAPKE数据中，端元为6时，SAD值和RMSE值分别减少了约0.17和0.13；在GBM数据中，分别减少了约0.12和0.17。和其余算法相比，MGMKNMF算法也基本保持着最优结果。

表5 不同端元数目下HAPKE模型各算法的SAD值

Tab.5 SAD value of each algorithm of HAPKE model under different number of endmembers

Endmember	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
P=6	0.308 4	0.281 7	0.159 6	0.149 0	0.142 2	0.145 7	0.141 1
P=5	0.251 0	0.218 7	0.124 0	0.118 2	0.107 7	0.096 8	0.081 4
P=4	0.198 5	0.195 4	0.100 4	0.089 8	0.081 2	0.080 2	0.078 9
P=3	0.172 9	0.143 8	0.073 5	0.068 2	0.060 0	0.044 3	0.034 3

表6 不同端元数目下GBM模型各算法的SAD值

Tab.6 SAD value of each algorithm of GBM model under different number of endmembers

Endmember	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
P=6	0.271 1	0.278 9	0.169 5	0.159 8	0.158 0	0.148 3	0.147 1
P=5	0.268 3	0.241 9	0.125 1	0.121 5	0.113 6	0.100 2	0.095 1
P=4	0.209 2	0.202 1	0.091 4	0.085 4	0.081 7	0.070 0	0.063 2
P=3	0.182 0	0.143 5	0.067 9	0.060 5	0.057 2	0.042 3	0.029 9

表7 不同端元数目下HAPKE模型各算法的RMSE值

Tab.7 RMSE value of each algorithm of HAPKE model under different number of endmembers

Endmember	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
P=6	0.189 9	0.176 4	0.084 1	0.068 1	0.066 9	0.060 3	0.059 4
P=5	0.175 3	0.162 1	0.078 3	0.062 3	0.061 1	0.060 1	0.056 3
P=4	0.151 5	0.160 1	0.074 5	0.058 9	0.057 4	0.054 7	0.052 3
P=3	0.203 0	0.157 7	0.066 2	0.055 3	0.051 8	0.051 4	0.050 8

表8 不同端元数目下GBM模型各算法的RMSE值

Tab.8 RMSE value of each algorithm of GBM model under different number of endmembers

Endmember	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
P=6	0.227 2	0.200 1	0.086 3	0.079 2	0.077 5	0.060 1	0.061 0
P=5	0.180 4	0.173 4	0.081 2	0.068 3	0.066 2	0，0 622	0.060 3
P=4	0.153 4	0.149 7	0.079 9	0.065 1	0.064 3	0.064 0	0.063 3
P=3	0.119 6	0.139 6	0.069 1	0.058 4	0.058 0	0.041 2	0.035 4

4.4　真实数据实验结果及分析

本文采用真实地物Cuprite和Jasper Ridge数据集对MGMKNMF的有效性进行验证，两个数据集均可以在https：//rslab.ut.ac.ir/data中下载。

Cuprite是高光谱解混研究常用的数据集，包含美国内华州Cuprite矿区。在除去低信噪比和吸水通道后，留有188个通道可以使用。每张图像大小为250×191，共有12种类别。

表9总结了在Cuprite数据集各类算法的SAD值。可以看出，MGMKNMF算法的平均SAD值是最优的。

表9 不同算法在Cuprite数据的SAD值

Tab.9 SAD values of Cuprite data by different algorithms

Item	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
Alunite	0.297 9	0.243 4	0.063 2	0.085 9	0.062 9	0.078 7	0.069 5
Andradite	0.383 9	0.262 6	0.079 5	0.101 4	0.204 5	0.066 0	0.079 4
Buddingtonite	0.367 2	0.266 6	0.079 6	0.073 7	0.116 1	0.088 5	0.119 6
Dumortierite	0.283 9	0.574 3	0.156 2	0.071 7	0.071 2	0.084 8	0.082 9
Kaolinite_1	0.235 9	0.336 2	0.080 2	0.061 3	0.081 3	0.082 1	0.087 5
Kaolinite_2	0.309 5	0.344 3	0.262 2	0.189 0	0.114 0	0.056 5	0.073 3
Muscovite	0.379 4	0.318 3	0.113 7	0.052 1	0.147 2	0.102 4	0.104 1
Montmorillonite	0.473 1	0.355 7	0.131 0	0.140 2	0.107 0	0.054 5	0.055 6
Nontronite	0.451 6	0.451 6	0.129 3	0.064 7	0.078 8	0.121 4	0.104 3
Pyrope	0.292 7	0.455 0	0.054 1	0.142 0	0.074 5	0.117 8	0.065 5
Sphene	0.282 1	0.287 9	0.091 3	0.279 8	0.097 6	0.201 5	0.197 1
Chalcedony	0.318 6	0.318 6	0.213 2	0.149 5	0.132 7	0.071 5	0.065 9
Average	0.339 6	0.337 1	0.120 8	0.117 6	0.107 8	0.093 8	0.092 1

图2为MGMKNMF算法在Cuprite数据集上的丰度图。结合表9，在此算法下，12种端元对应的丰度图应是最优的，可清晰地看出各类别的划分情况。

图2 MGMKNMF算法在Cuprite数据上的丰度图

Fig.2 Abundance graphs of MGMKNMF algorithm on Cuprite

由于Jasper Ridge数据集太复杂无法处理，我们仅考虑100×100像素的子图像，子图像的第一个像素从原始图像中的第（105，269）像素开始，且去除了低噪声和水吸收波段，保留198个通道。所以，该高光谱遥感数据中只有树、水、土壤和道路这4类端元。

从表10可以看到，提出的MGMKNMF算法在Jasper Ridge数据集上仍然有效，平均SAD值依旧是最优的。KDP算法在KSNMF算法的基础上利用光谱库挑选端元，而MGKNMF在单核空间应用多图，精度仅次于MGMKNMF。

表10 不同算法在Jasper Ridge数据的SAD值

Tab.10 SAD values of Jasper Ridge data by different algorithms

Item	NMF	GNMF	npKNMF	KSNMF	KDP	MGKNMF	MGMKNMF
Tree	0.267 7	0.238 1	0.139 7	0.144 6	0.095 3	0.079 3	0.096 4
Water	0.319 2	0.338 8	0.118 6	0.114 3	0.102 5	0.091 1	0.120 3
Soil	0.428 9	0.081 9	0.131 7	0.105 3	0.123 7	0.124 2	0.097 1
Road	0.410 8	0.309 3	0.127 2	0.094 2	0.086 9	0.097 4	0.074 1
Average	0.356 6	0.242 0	0.129 3	0.114 6	0.102 1	0.098 0	0.097 0

图3为Jasper Ridge数据集各算法解混出的丰度图，从左至右分别对应树、水、土壤和道路这4个端元。

图3 各算法在Jasper Ridge的丰度图

Fig.3 Abundance graphs of each algorithm on Jasper Ridge

从图3可看出，NMF算法与真实地物丰度相差很大，尤其在水这一端元上；GNMF算法比NMF算法的丰度图清晰。而其余的5种算法均在核空间进行，丰度图明显优于NMF和GNMF，其中水的丰度图更接近真实地物。相比其他算法，在核空间进行的算法尽管其丰度图的区别甚微，但结合表10的数据，可以看到，MKNGNMF算法的SAD值是最优的。

5 结论

本文提出了一种MGMKNMF高光谱非线性解混算法。该算法用多个核函数构造出了多核空间，且在学习过程中不断更新核函数权重，更有利于揭示原始数据的非线性结构；并在多核空间用图权重向量将多个图拉普拉斯矩阵线性组合，与丰度矩阵最终构成多核空间的多图正则项。相比单图正则项，多核空间的多图正则项将更加逼近原始数据的非线性流形结构。基于2个真实数据集和2个模拟数据集的实验结果表明，相比GNMF、npKNMF、KSNMF、MGKNMF和KDP算法，MGMKNMF算法确实是最优的，它更合适于复杂的高光谱数据。

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