压电定位平台Hammerstein建模与反馈线性化控制

以压电陶瓷作为驱动元件，以柔性铰链作为导向放大机构的压电定位平台能够提供高定位精度和快响应速度，已广泛应用于微机械制造、微型零件的操作与装配、超精密加工、生物工程、生命与医疗科学、光学调整、原子力显微镜、扫描隧道显微镜、半导体制造设备以及光电等领域^［1］。然而，压电陶瓷存在固有的迟滞非线性特性，使得以压电陶瓷为主要驱动元件的压电定位平台的输入量和输出量之间存在严重的迟滞非线性特性。这严重影响压电定位平台的定位和跟踪精度，甚至会导致控制系统的不稳定^［2］。由于迟滞非线性特性的复杂性，对其进行迟滞建模和补偿控制是一项具有挑战性的工作。

迟滞模型一般被分为三大类：物理类迟滞模型、现象类迟滞模型和智能类迟滞模型。物理类迟滞模型是基于压电材料的物理特性建立的迟滞模型，如Jiles-Atherton模型^［3］等。现象类迟滞模型根据数学结构的不同分为微分类迟滞模型和积分类迟滞模型。微分类迟滞模型有Duhem模型^［4］、Dahl模型^［5］、Bouc-Wen模型^［6］等。积分类迟滞模型有Preisach模型^［7］、Prandtl-Ishlinskii（PI）模型^［8-9］和Krasnosel’skii-Pokrovskii模型^［10］等。智能类迟滞模型有基于人工神经网络的迟滞模型^［11］、基于模糊系统的迟滞模型^［12］和基于支持向量机的迟滞模型^［13］等。其中，Prandtl-Ishlinskii模型结构简单且拥有具体的解析逆，被广泛应用于迟滞建模中^［14］。但PI模型只能描述静态的迟滞模型，因此，大量学者提出改进的PI模型。如Yang等^［15］在PI模型的基础上，将play算子改为与速率有关的算子，得到一个与速率相关的PI模型。然而，此类改进的模型使其结构复杂化，增加模型反演的数学推导难度。建立结构简单且能描述与速率相关的迟滞特性的模型是一个难题。近年来，有学者提出能准确描述迟滞非线性特性的Hammerstein模型，其由静态迟滞非线性模型和线性动力学模型级联而成^［16-17］。

针对迟滞非线性特性的控制方法可大致分为三类：反馈控制、前馈控制以及前馈反馈复合控制。反馈控制直接设计非线性控制器驱动研究对象，使其与期望的轨迹信号保持一致^［18］。这种控制方法不需要建立迟滞逆模型，但直接构建反馈控制器很复杂，且构建的反馈控制器很难保证系统稳定性。为了克服迟滞非线性特性，一些学者提出基于迟滞逆模型的前馈补偿控制方法。如Shan等^［19］提出动态迟滞非线性模型和基于迟滞逆模型的前馈补偿控制方法。前馈补偿控制方法具有结构简单等优点，但其依赖于迟滞逆模型的精度。当迟滞逆模型精度不高时，基于前馈控制方法设计的控制器效果不佳。且当受到外部干扰时，设计的控制器会受到严重的影响。针对此问题，一些学者提出前馈反馈复合控制方法。前馈反馈复合控制方法是在研究对象前级联一个迟滞逆模型，先将非线性系统转为线性系统，然后利用反馈控制方法对系统进行闭环控制。如Fan等^［20］提出一种前馈反馈复合控制策略克服压电定位平台的迟滞非线性特性，实现平台的宽带宽跟踪控制。前馈反馈复合控制是前馈和反馈控制方法相结合的一种控制方案，比单一的前馈或反馈控制更有优势^［21］，是目前应用最广泛的控制方法。但其存在迟滞逆模型的数学推导很难，且迟滞逆模型的精度一般不高等问题，这影响系统定位与跟踪精度。因此，需要研究不基于迟滞逆模型的控制方法，目前这方面的研究还比较少。

针对压电定位平台输入量与输出量之间的迟滞非线性特性，本文提出一种基于Hammerstein结构的迟滞建模方法及基于此模型的输入-输出反馈线性化控制策略。首先，分析压电定位平台输入量与输出量之间的迟滞非线性特性，采用Hammerstein模型精确描述迟滞非线性特性，并进行参数估计。其次，以基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化控制策略设计跟踪控制器。最后，在压电定位平台上，实验验证所提出的模型和设计的跟踪控制器的有效性。

本文的研究对象为压电定位平台，如图1所示，其以压电陶瓷作为驱动元件，以相结合的杠杆式柔性放大机构和半菱形柔性放大机构作为位移放大机构，实现位移输出。压电陶瓷固有的迟滞非线性特性使压电定位平台的输入量与输出量之间存在严重的迟滞非线性特性，如图2所示，其表现为非对称特性、多值映射特性和与频率相关特性。因此，需要建立精确的迟滞模型去描述压电定位平台的迟滞非线性特性，为设计迟滞补偿控制器提供基础。

图1  压电定位平台

Fig.1  Piezoelectric positioning stage

图2  压电定位平台迟滞非线性特性曲线

Fig.2  Hysteresis curves of piezoelectric positioning stage

Hammerstein模型包含静态迟滞非线性模型H和线性动力学模型G（s），两者级联在一起能描述压电定位平台输入量与输出量的迟滞非线性特性，其结构如图3所示。其中，u为系统的输入（电压），v为中间迟滞量的输出，y为系统的输出（压电定位平台位移）。

PI模型结构简单，能准确描述静态的迟滞非线性特性。本文将PI模型作为Hammerstein模型中的静态迟滞非线性模型H。PI模型由多个play算子Fri[u](t)加权叠加而成，其数学表达形式为：

其中：u（t）为系统的输入，v（t）为中间迟滞量的输出，a0、ai为权重参数，ri为阈值，i为阈值的序号，Fri[⋅]为play算子。

u（t）作为play算子输入时，play算子输出值为：

play算子在初始条件下为

其中：u(0)为输入初始值，Fri[u](0)为play算子初始输出值。

但PI模型只能描述对称的迟滞环，而压电定位平台输入量与输出量之间的迟滞环具有非对称特性。为了描述非对称迟滞环，本文将多项式引入PI模型中，得到修正的PI模型（Modified PI， MPI）：

其中，m1为权重参数。

Hammerstein结构中的线性动力学模型G（s）描述系统的线性动态特性，图1中压电定位平台的G（s）可表示为一个二阶振荡环节：

其中：ζ，ω分别为柔性模态的阻尼比和固有频率。

根据式（5）可得时域输入信号v（t）与输出信号y（t）的线性常微分方程为：

由式（4）和式（6）可推导得到压电定位平台输出量与输入量之间的关系：

本文中的Hammerstein模型由静态的MPI模型，如式（4）和二阶振荡环节G（s）模型，如式（5）级联而成。基于建立的模型可以得到压电定位平台输出量与输入量之间的关系，如式（7），为跟踪控制器设计提供基础。

在设计控制器之前，需要对建立的Hammerstein模型的参数进行估计。以残差平方和最小作为代价函数的非线性最小二乘法估计模型中的参数值。

针对具有迟滞非线性特性的压电定位平台，本文提出一种基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化控制策略，将非线性系统转化为线性系统，然后利用线性系统的技巧进行闭环控制，如图4所示。其中，y（t）为压电定位平台的位移输出，u（t）为控制输入电压，w（t）为设计的一个新输入，r（t）为期望轨迹信号，f（t）为模型中的非线性部分，e（t）为跟踪误差。

图4  输入-输出反馈线性化控制策略方框图

Fig.4  Block diagram of input-output feedback linearization control strategy

要使得压电定位平台的输出y（t）跟踪一个期望轨迹r（t）（期望轨迹r（t）及其对时间的足够高阶导数已知且有界），需要找到输出y（t）与控制输入u（t）之间的一个简单而直接的关系，从而设计控制输入u（t）来控制输出y（t）的跟踪性态。但压电定位平台的输出y（t）只是通过非线性方程间接地依赖于控制输入u（t），要找到合适的控制输入u（t）来控制输出y（t）的跟踪性态并不容易。因此，本文利用输入-输出反馈线性化策略先假设设计一个控制输入u（t），其表达式中包含一个新输入w（t），使输出y（t）与新输入w（t）之间是一个简单的线性关系，接着使用线性控制技巧设计新输入w（t），实现对系统的闭环控制，详细内容如下。

基于输入-输出反馈线性化方法设计控制输入：

其中：w（t）是一个待定的新输入，f（t）是式（7）中的非线性部分，其表达式为：

将式（8）中的控制输入u（t）代入式（7）中，得到输出y（t）与新输入w（t）之间关系为：

显然，输出y（t）与新输入w（t）之间是一个简单的线性关系。根据式（10）设计跟踪控制，令跟踪误差e（t）=r（t）-y（t），代入上式中得到与跟踪误差e（t）相关的式子，即：

根据式（11），设计新输入w（t）为：

其中：r¨(t)+2ζωr˙(t)+ω2r(t)为前馈控制器，kPe(t)+kDe˙(t)为PD反馈控制器，其中kP和kD为PD反馈控制器参数。

将式（12）中设计的新输入w（t）代入式（11）中，得到闭环系统的跟踪误差控制方程：

式（13）是一个指数稳定的误差系统，只要设计合理的kP和kD能使e（t）收敛于零，闭环系统稳定，并实现输出y（t）等于期望轨迹r（t）的目标。

实验装置系统由压电定位平台、驱动放大器、电容位移传感器、Speedgoat实时控制系统、上位机构成，如图5所示。压电定位平台安装在光学隔振基座上，以减少地面振动的影响，其中，压电陶瓷最大行程为18 μm；柔性放大机构尺寸为50 mm×44 mm×7 mm，位移放大比为6。驱动放大器驱动最大电压为150 V。电容位移传感器的分辨率为2.5 nm。电容位移传感器实时采集压电定位平台位置信号，通过A/D接口输入到Speedgoat实时控制器中；由Speedgoat实时控制器实现控制算法产生控制输入信号；通过D/A接口输出电压控制信号；经过驱动放大器驱动压电定位平台。实验过程中测量与控制频率均为5 KHz。

图5  实验装置

Fig.5  Experimental setup

4.1　迟滞模型参数估计实验与结果

基于第二节所建立的Hammerstein模型进行参数估计。以频率为1~100 Hz，幅值为100 V的扫频信号作为输入信号，驱动压电定位平台获得辨识所需要的数据。本文选取6个play算子，根据获得的实验数据，利用非线性最小二乘法实现模型参数估计。表1为辨识出的Hammerstein模型参数。图6为分别输入10 Hz、50 Hz、100 Hz的幅值为100 V的正弦电压信号时，Hammerstein模型迟滞曲线和压电定位平台输入量与输出量之间的实际迟滞曲线的比较。表2为不同频率下Hammerstein迟滞建模的均方根误差。

表1  Hammerstein模型参数

Tab.1  Parameters of Hammerstein model

模型参数	值	模型参数	值
a0$a_0$	0.392 3	a5$a_5$	0.074 5
a1$a_1$	0.159 6	a6$a_6$	-0.042 1
a2$a_2$	-0.004 3	m1$m_1$	-2.633e-06
a3$a_3$	0.073 6	ζ$\zeta$	0.547 8
a4$a_4$	0.010 4	ω$\omega$	10 473

  

  

图610 Hz、50 Hz和100 Hz模型验证

Fig.6Model verification of 10 Hz， 50 Hz and 100 Hz

表2  模型误差

Tab.2  Model error

频率/Hz	10	20	50	80	100
RMSE/μm	0.475 7	0.389 5	0.340 6	0.316 9	0.326 0

从图6中Hammerstein模型迟滞曲线与压电定位平台输入量与输出量之间的实际迟滞曲线的比较可以看出，所建立的Hammerstein模型可以很好地拟合压电定位平台的迟滞非线性特性。从表2中的模型误差数据可以得到，在输入频率为100 Hz及以下的建模均方根误差最大为0.475 7 μm。因此，Hammerstein模型能精确描述压电定位平台的迟滞非线性特性。

4.2　跟踪控制实验与结果

基于4.1节中获得的模型参数设计式（8）中的控制输入u，接着设计合理的kP，kD，使e（t）收敛于零，实现输出y（t）等于期望轨迹r（t）的目标。实验过程中取kP=5.0×108，kD=0，跟踪轨迹信号r（t）为不同频率的正弦信号，其幅值为60 μm。图7为分别输入10 Hz、50 Hz、100 Hz的正弦跟踪轨迹信号时，本文提出的基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化（Input-Output Feedback Linearization， IOFL）控制方法实验结果、基于MRPI模型的前馈补偿控制方法实验结果、基于MRPI模型的前馈补偿与PID反馈复合控制方法实验结果和跟踪轨迹信号的比较。表3为不同频率输入下三种控制方法对应的均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）。

图7  10 Hz、50 Hz和100 Hz跟踪控制结果

Fig.7  Tracking control results of 10 Hz， 50 Hz and 100 Hz

表3  三种控制方法的均方根误差

Tab.3  Root mean square errors of three control methods

输入信号频率/Hz	控制方法	RMSE/μm
10	MRPI Feedforward	0.544 4
	MRPI Feedforward+PID	0.201 9
	IOFL	0.154 6
50	MRPI Feedforward	1.298 5
	MRPI Feedforward+PID	0.619 9
	IOFL	0.498 1
100	MRPI Feedforward	4.934 7
	MRPI Feedforward+PID	1.723 8
	IOFL	0.926 6

从图7中可以看出，基于MRPI模型的前馈补偿与PID反馈复合控制方法和本文提出的基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化（IOFL）控制方法都能实现实时跟踪控制。但本文提出的控制方法更具有优势。从表3中可以得到，在不同频率正弦信号输入下，本文提出的控制方法的跟踪均方根误差都小于其他两种控制方法。虽然跟踪均方根误差随频率增加而增大，但在正弦信号输入频率为100 Hz时，跟踪均方根误差为0.926 6 μm，能够满足工程实际要求；相对于基于MRPI模型的前馈补偿控制方法，跟踪均方根误差精度提高81.22%；相对于基于MRPI模型的前馈补偿与PID反馈复合控制方法，跟踪均方根误差精度提高46.25%。

图7中的跟踪控制仅仅将相同幅值的单一频率正弦信号作为输入信号，为了进一步验证所设计的跟踪控制器的有效性，将一个变幅值多频率混合信号作为输入信号，实验结果如图8所示。从图8中可以看出，本文提出的基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化（IOFL）控制方法可以实时跟踪变幅值多频率混合信号，且比其他两种控制方法更具有优势。

图8  混合信号跟踪控制

Fig.8  Tracking control of composite signal

本文针对压电定位平台输入量与输出量之间的迟滞非线性特性，首先建立了一种能精确描述迟滞非线性特性的Hammerstein模型，并进行了参数估计。模型辨识实验结果表明，Hammerstein模型能有效地描述压电定位平台的迟滞非线性特性，在频率分别为10 Hz、50 Hz、100 Hz的正弦输入信号下的建模均方根误差分别为0.475 7 μm、0.340 6 μm、0.326 0 μm。接着在所建立的Hammerstein模型基础上，基于输入-输出反馈线性化控制策略，设计跟踪控制器。并设计基于MRPI模型的前馈补偿控制实验和基于MRPI模型的前馈补偿与PID反馈复合控制实验作为对比实验。通过向控制系统输入幅值为60 V的不同频率（10 Hz、50 Hz、100 Hz）正弦信号对比三种控制方法的跟踪性能。跟踪实验结果表明，基于MRPI模型的前馈补偿控制方法的跟踪均方根误差分别为0.544 4 μm、1.298 5 μm、4.934 7 μm。基于MRPI模型的前馈补偿与PID反馈复合控制方法的跟踪均方根误差分别为0.201 9 μm、0.619 9 μm、1.723 8 μm。基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化（IOFL）控制方法的跟踪均方根误差分别为0.154 6 μm、0.498 1 μm、0.926 6 μm。通过对比发现，基于Hammerstein模型的输入-输出反馈线性化（IOFL）控制方法优于其他两种控制方法，提高了压电定位平台的跟踪精度。