非线性超快成像技术的时间分辨率探究

为了比较基于不同非线性过程方式的取样对超快成像的影响，采用Matlab软件对超快成像过程进行模拟．模拟参数如下：激光脉冲宽度，即取样脉冲宽度τ_p=100 fs；探测光场和开关脉冲光场的延时为τ=0；被成像对象是由两个拓扑荷为±2的涡旋光场叠加而成的旋转光场，相应地Δl=4，即静态光强为具有4个切向均匀分布的瓣状光斑．图2为基于倍频方式取样下，探测器记录到超快成像的数值模拟结果．在此过程中，Δω从第1子图的2π Trad/s匀速增加到第20子图的40π Trad/s （相邻两幅子图的Δω=2π Trad/s），相应的转动周期从1 ps降为50 fs．在子图1至4中，4个瓣状光斑清晰可辩，而在第5子图，瓣状光斑边缘出现了明显的“光晕”．随着Δω的增加，“光晕”越来越严重，同时光瓣尺度沿切向逐渐伸展使得相邻光瓣趋向相互连接．到子图8和9，4个光瓣相互连接成1个光环．此后，随着转速的加快，光环的切向强度分布逐渐均匀化，以至于从子图11和12开始，已基本难以看到光环切向强度分布的不均匀现象，光斑分布与LG₀₂模相近．图2的这些现象与目标转速及其激光脉冲宽度τ_p密切相关．在子图4之前，Δω<8π Trad/s，即转动周期大于250 fs，明显大于τ_p （100 fs），可见，当光场旋转周期明显大于开关脉冲宽度时，超快成像可很好地分辨旋转光场快速变化的强度分布．子图8至10对应于Δω=16π、18π和20π Trad/s，相应的光场旋转周期分别为125、111和100 fs，与τ_p相近，超快成像记录的光场强度分布出现模糊，说明此时光场旋转周期与成像时间分辨相当．进一步，光场转动周期远小于τ_p时，超快成像已明显不能分辨旋转光场的切向强度分布细节．

图2 基于倍频取样的不同拍频旋转光场的超快成像Fig. 2 (Color online) Second harmonic (SH) sampling-based ultrafast images of the rotating light fields from Δω=2π Trad/s to Δω=40π Trad/s.

为定量描述拍频增加所引起超快成像效果的劣化程度，引入调制度对光瓣动态模糊的程度进行描述．以光斑中心到4个瓣峰值位置的距离为半径做圆，将调制度定义为η=( I_M-I_m )/( I_M+I_m )，其中， I_M为圆周上最大光强值；I_m为圆周上最小光强值．假设η下降到0. 5和0. 1分别对应于成像清晰度较好和勉强可辨认的情况，相应的拍频值记为Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}．图3实线为倍频取样方式下，所记录的超快成像对应的调制度随拍频的变化情况．可见，对于倍频情况， Δω_0.5=4.4×2π Trad/s 和 Δω_0.1=8.1×2π Trad/s，对应的旋转周期为227 fs和123 fs．采用与图2相同的模拟参数，图4为克尔开关取样方式下探测器记录到超快成像模拟结果，相应的调制度随拍频频率变化如图3虚线，对应Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}分别为6.3×2π Trad/s和11.5×2π Trad/s（对应的旋转周期为159 fs和87 fs），这意味着基于克尔取样方式的超快成像比基于倍频取样方式的超快成像具有更高的时间分辨能力．

光参量放大取样方式的情况比前两者更为复杂．比较式（2）、式（3）和式（6）可知，前两者的开关函数仅与探测光场E_g (t)相关，而光参量放大还与OPA增益有关．图3中的上、下、右和左三角点线 分 别 对 应 于 脉 冲 峰 值 的 参 量 增 益 G=sinh² (Γ₀L )=10、100、1 000和10 000时的调制度变化．G略大于1（G=1意味着光参量过程没有发生）的情况图3中并未给出，其对应于固定场近似下的小信号差频，此时取样效果将退化为与倍频情况相同．由图3可见，如果固定增益值G，调制度值随Δω增大而下降；而对于给定的Δω，调制度值则随G的增大而增大．当G=10时，其调制度曲线介于倍频和光克尔效应之间，表明此时基于光参量放大取样方式的超快成像时间分辨能力差于光克尔效应取样方式，但优于倍频方式；当G=100时，调制度曲线已完全超过倍频和光克尔方式，相应的Δω_0.5=6.9×2π Trad/s（旋转周期145 fs）， Δω_0.1=13.8×2π Trad/s（旋转周期72. 5 fs）；若G=1 000， Δω_0.5=8.3×2π Trad/s， Δω_0.1=16.3×2π Trad/s．图5为光参量放大取样方式下，G=1 000时的超快成像数值模拟．非常明显，即使Δω=24π Trad/s （子图12），图案仍清晰可辨；当Δω=40π Trad/s时，图案虽然动态模糊，但环中的峰值仍隐约可辨．计算表明，当G达10 000时，Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}分别高达9.7×2π Trad/s和18.7×2π Trad/s．

图3 不同非线性取样方式下超快成像调制度随Δω的变化Fig. 3 (Color online) Modulation depth of ultrafast imaging changes with Δω when using the SH sampling (solid line), Kerr gating sampling (dashed line), and OPA sampling with gains of 10 (solid line with upwards triangle), 100 (solid line with downwards triangle), 1 000 (solid line with rightwards triangle) and 10 000 (solid line with leftwards triangle).

图4 克尔开关取样下不同Δω旋转光场的超快成像Fig. 4 (Color online) Kerr effect sampling-based ultrafast images of the rotating light fields from Δω=0 Trad/s to Δω=20 Trad/s.

图5 基于光参量放大（G=1 000）取样的不同Δω旋转光场的超快成像Fig. 5 (Color online) OPA (G=1 000) sampling-based ultrafast images of the rotating light fields from Δω=0 Trad/s to Δω=20 Trad/s.

由于开关函数特性不同，基于倍频、光克尔效应和光参量放大取样方式对应的超快成像时间分辨能力也不同．对于倍频取样方式，由于开关函数g(t)就是取样脉冲E_g (t)，因此，相应的超快成像曝光时间等于取样脉冲时间宽度．若假设取样脉冲为傅里叶变换受限脉冲，则可以根据高斯脉冲的时间带宽积常数^[23]算得100 fs激光脉冲对应的带宽为Δω_BW=4ln2/τ_p≈4.4×2π Trad/s，该值正好与图3给出的倍频取样方式下的Δω_{0. 5}值相同.

对于光克尔效应取样，开关函数是取样脉冲电场模的平方．若取样脉冲函数E_g (t)=exp(-2ln2t²/τ ²_p），则g ( t )=exp (-4ln2t ²/τ ²_p )，于是开关函数强度I _g=|g ( t )|²的半高全宽为τ _g =τ _p/2^0.5．因此，基于克尔效应取样时采用τ_p=100 fs取样脉冲，其曝光时间为100/2^0.5≈71 fs，小于取样激光脉冲时间宽度．可见，与倍频取样相比，采用同样的取样脉冲，光克尔效应取样的时间分辨能力比倍频方法提高了2^{0. 5}倍. 由于光克尔效应是一种三阶非线性效应，且克尔晶体前后需放置正交偏振器，因此，光克尔取样效率很低，很少被应用于超快成像取样．

可见，同样的取样脉冲，采用不同取样方式具有不同的实际曝光时间．在此提出等效曝光时间，用于统一描述不同非线性取样方式下的实际曝光时间．对于给定的探测脉冲，随着目标信息变化频率的增加，如果探测器接收到的超快成像调制度下降到起始值一半时对应的变化频率（在此为拍频）为Δω_M，则相应的等效曝光时间为τ_g=4ln2/Δω_M．在理想情况下，初始调制度为1，则Δω_M=Δω_{0. 5}．如果忽略群速度失配和高阶色散等因素，等效曝光时间等于取样开关函数强度I_g (t)=|g(t)|²的时间宽度（半高全宽）．如果考虑群速度失配和色散因素，则等效曝光时间需要数值求解耦合波方程得到．

基于上述定义可见，光参量放大取样方式下的等效曝光时间τ_g与增益G相关．G略大于1对应于固定场差频过程，其时间分辨能力与倍频取样情况相当．当G>>1时，将式（8）代入式（6），对双曲正弦函数做近似并忽略空间分布，可得归一化开关函数强度为I_g (t)为

图6（a）为I_g (t)随增益G的变化情况，I_g (t)的半高全宽直接反映了τ_g的大小．当G=1.01、10. 00、100. 00、1 000. 00及10 000. 00时，τ_g分别为100、75、59、50及44 fs．G=1 000时，τ_g =50 fs，相应的Δω_{0. 5}值已接近倍频取样方式下两倍（图3）．图6（b）为τ_g随G的变化曲线. 可见，τ_g随G单调下降．一般光参量放大成像增益G设计在10～1 000比较合理，这时对应τ_g为75～50 fs．当G高于10 000时，不但实现困难，且由于高阶非线性效应或参量荧光等效应的增强会对成像造成干扰，因此，这里不讨论增益更大的情况．

图6 光参量放大取样方式（a）开关函数强度和（b）等效曝光时间随增益G的变化Fig. 6 (Color online) (a) The gating function intensity and (b) equivalent exposure time changes with gain G.

本研究理论模拟基于取样脉冲为τ_p=100 fs的高斯脉冲．当脉冲宽度为几十到几百飞秒时，上述结论仍成立，只是相应的τ_g将随脉冲宽度τ_p成正比变化，与Δω_{0. 5}和Δω_{0. 1}成反比变化．当脉冲宽度小于30 fs时，数值模拟就需要将相互作用时的相位失配效应考虑进来，这时式（1）的精确度不够，需要直接求解三波耦合方程．

理论分析并数值模拟了基于倍频、光克尔效应及光参量放大等不同非线性效应取样方式的超快成像技术．在推导出相应开关函数表达式的基础上，提出等效曝光时间的概念，用于描述不同取样方式下超快成像过程的实际曝光时间，并以超快旋转光场为目标物进行数值模拟．结果表明，当取样脉冲宽度为100 fs时，如果采用基于光学倍频取样方式，实际曝光时间与取样脉冲宽度相当；如果基于光克尔效应取样，等效曝光时间为70 fs；而光参量放大取样下的等效曝光时间不但与取样脉宽有关，还与增益大小有关，增益越高，等效曝光时间越短，超快成像的时间分辨能力越高．在增益略大于1时，光参量放大过程变为固定场近似下的差频过程，成像的等效曝光时间与倍频取样方式相同；当增益提高到10时，等效曝光时间为75 fs；当增益进一步提高到1 000时，等效曝光时间是取样脉冲脉宽的一半，即50 fs．因此，克尔开关及光参量放大取样方式均能实现有效曝光时间短于取样脉冲宽度的时间超分辨成像．在这3种技术中，倍频方式结构简单，探测脉冲和取样脉冲频率相同，能够消除群速度失配，但对取样光能量具有一定要求，且等效曝光时间长于另外两种取样技术．光克尔效应取样能够实现比取样脉宽更小的等效曝光时间，但探测效率低，多用于无空间分辨的探测；光参量放大方法能够实现对弱探测光的放大和频率转换，同时也能实现时间超分辨成像．