对高等数学教学中分部积分法的探讨

摘要：在高等数学中，定积分可以解决很多现实问题。但是定积分的计算却离不开不定积

分的求解，在诸多求不定积分的方法中，其中有一种方法是分部积分法，在分部积分公式

求不定积分时,关键是,的选取，很多教材都介绍了,的选取，

但是都不明确，学生接受起来比较困难。本文向大家介绍一种非常简单并且容易记忆的关于

,选取的口诀。

关键词：不定积分；分部积分；幂函数；指数函数

引言

在高等数学中，定积分在整个知识体系中占有非常重要的地位，他在生活中的应用也非常广泛。但是定积分的计算确离不开不定积分的计算。因此不定积分的计算对于我们来说也非常重要。在不定积分的计算中，有一种方法叫分部积分，即。我们知道在过程中关键是,的选取，如果选取得当，我们计算会非常顺利，如果选取不得当会让我们的不定积分变得越来越麻烦。例如，如果我们在这里选取函数，计算会非常顺利，反之，如果选取大家会发现我们不但没有求出这个不定积分，反而使我们的不定积分变得越来越复杂。所以在不定积分的计算中,的选取非常关键。   

通过多年的教学发现，在遇到用分部积分求不定积分时，被积函数一般都是三角函数、反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数这五类函数的乘积.对于它们乘积,的选取，我们总结了如下的口诀:

 “幂三幂指幂为，对数反三自为，三指相乘任意取，分部两次移项求”

下面我们就对口诀中的每一句话进行解释。

1，幂三幂指幂为

“幂三幂指幂为”是指如果被积函数是幂函数和三角函数相乘，或者是幂函数和指数函数相乘时，选择其中的幂函数做为。

   例如我们在求不定积分时，这里被积函数是幂函数和指数函数相乘，那么由上面的口诀选取这里的幂函数作为，作为

所以原式=

   如果被积函数是幂函数和三角函数相乘，如求不定积分这里被积函数是幂函数和三角函数相乘，同样由上面的口诀选取这里的幂函数作为，作为

所以原式=

其实在此选择幂函数为的原因是，通过分部积分公式的转化会让幂函数的次数降低。

2，对数反三自为

“对数反三自为”是指如果在两个被积函数相乘中有一个函数是对数函数或者反三角函数那么就选取这个对数函数或者反三角函数为，另外一个函数作为。

例如我们在求不定积分，这里被积函数中含有对数函数，那么由上面的口诀选取对数函数作为，另外一个函数作为

      所以原式=

在一般的情况下，如果被积函数出现了对数函数往往我们会用分部积分法来求不定积分。

再比如求不定积分，这里被积函数可以看作是1乘以，同样由上面的口诀选取反三角函数作为，另外一个函数1作为

所以原式=

    在此选择对数或者是反三角函数为的目的是，在应用分部积分进行计算时，可以把对数函数或者反三角函数转化为有理函数，而在不定积分中我们知道，有理函数的积分是有一个固定的过程可以来求解的。

3，三指相乘任意取，分部两次移项求

“三指相乘任意取，分部两次移项求”是指如果被积函数是三角函数和指数函数相乘的选取是任意的，但是要进行两次分部，使得等式的右边也出现要求的不定积分，然后象解一次方程一样移项求得结果。在这里要注意的是在两次分部积分的时候要选取相同类型的函数作为，例如在第一次分部的时候若选取了三角函数作为，那么在第二次分部的时候仍然要选取三角函数作为。

我们看这样一个例子，求不定积分在这里被积函数是指数函数和三角函数相乘，这时候的选取是任意的。不妨选三角函数作为，作为

则=

移项求得

结束语

   通过在教学实践中对次口诀的实际教学应用发现，这个方法在向学生讲解分部积分的计算时，更容易被学生接受，也更容易被学生掌握。

【参考文献】

[1] 同济大学数学系  高等数学（第六版）[M]  高等教育出版社  2007，6

[2] 同济大学数学系 高等数学复习指南[M]  学苑出版社 2000,10

[3] 吴传生  经济数学微积分（第二版）[M]  高等教育出版社 2010,12