角谷猜想证明探索-数学论文

命题:对于非零自然数,是偶数就除以2,是奇数就乘3再加上1,然后除以2,反复进行这样的计算,都能得到1。
证明:
1、一个偶数除以2(或连续除以2),总可以得到一个奇数,或许这个奇数就是1。例如:28÷2=1414÷2=7,38÷2=19,8÷2=44÷2=22÷2=1。事实上2n型偶数连续除以2就能得到1,非2n型偶数连续除以2,就得到一个不是1的奇数。
2、一个奇数我们可以把它分成两类,第一类可以表示为3m×2n-1(m≥0n≥1)例如3=30×22-15=31×21-1143=32×24-1。第二类不可表示为3m×2n-1,如13,9,41,51等。
无论这个数是否可以表示为3m×2n-1,如果不可以,则通过一次或若干次命题计算,一定能成为3m×2n-1形式。下面先证明一个奇数本身或者通过一次或若干次命题计算可以成为3m×2n-1形式。
验证:21以下各数,1=21×30-1……①
22以下各数3=22×30-1……①
23以下奇数5=21×31-1……①;7=23×30-1①
24以下奇数9→7=23×30-1……②
11=22×31-1……①;13→5=21×31-1……②
15=21×30-1①
25以下各奇数17=21×32-1……①
19→29→11=31×22-1……②
21→1=21×30-1……②
23=31×23-1……①
25→19→29→11=22×31-1……②
27→41→31=24×30-1……②
29→11=22×30-1……②
31=24×30-1……①
………………
令2n以下各奇数均可通过命题计算,成为3m×2n-1形式,那么2n+1这个奇数通过一次命题计算就是(3×2n+4)÷4=3×2n/4+1≤2n-1.(n>2)
因为2n+1通过一次命题计算就小于或等于2n-1,所以2n+1一定可以通过命题计算成为3m×2n-1形式。
3.3m×2n-1这个奇数,通过几次命题计算成为偶数3m+n-1。因为(3m+n-1)×3+1=3m+1×2n-2,(3m+1×2n-2)÷2=3m+1×2n-1-1.每次命题计算就要增加一个因数3,减少一个因数2,所以进行n次计算就成为3m+n-1这个偶数。
4.用数学归纳法证明3m+n-1这个偶数通过命题计算就一定能得到1。
验证:令m+n=k,3m+n-1=3k-1.
当k=1时,31-1=2;2÷2=1成立
当k=2时,32-1=8;8÷8=1成立
当k=3时,33-1=26;26÷2=13;13×3+1=40;40÷8=5;5×3+1=16;16÷16=1成立
当k=4时,34-1=80;80÷16=5;5×3+1=16;16÷16=1成立
………………
令k=2x-1时,命题成立
32x-1-1用3进制表示222……22(2x-1个2)
(32x-1-1)÷2=111……11(2x-1个1)
是个奇数,需要乘3加1,3=103得式A
(32x-1-1)÷2×3+1=111……11(2x个1)式A可以进行
当k=2x时,32x-1用3进制表示为222……22(2x个2)除以2得B
(32x-1)÷2=111……1(2x个1)即:[(32x-1-1)÷2]×3+1=(32x-1)÷2
式B=式A是个相同的偶数,所以32x-1-1和32x-1到此同路径通过命题计算为1
例如:33-1=26,26÷2=13;13×3+1=40;34-1=80;80÷2=40
35-1=242;242÷2=121;121×3+1=364;36-1=728;728÷2=364
以上两例说明:33-1与34-1同路径为1
35-1与36-1同路径为1
小结:①偶数除以2成为奇数。②奇数可能本身就是3m+n-1形式,或通过命题计算成为3m×2n-1形式。③3m×2n-1这个奇数通过几次命题计算成为3m+n-1这个偶数。④如果32x-1-1能进行命题计算成为1,32x-1也一定能通过命题计算成为1,所以命题所说的任何一个数,经过命题计算可以成为1。证毕。