收缩原理的证明-教育论文

其实,我们会已经在许多地方用到这个关于扩张的结论:周长一定的封闭曲线中,圆所围成的面积最大;表面积一定的几何体中,球体的体积最大(或表述为:面积一定的平面图形,圆的周长最短;体积一定的封闭几何体中,球的表面积最小)。
本文就是给这个结论一个证明。
为了证明这个结论,把它分为如下几个引理分步来完成。
引理1、周长为定值的三角形中,正三角形所围成的面积最大。
证明:因为三角形三边都不固定,不妨先设一个边长BC为定值,点A变化。因为周长一定,则折线段为定值。由根据椭圆定义,点A就在以B、C为焦点的椭圆上。如图,显然面积最大时,则点A离BC距离最远,显然此点是短轴的端点,此时三角形为以BC为底边的等腰三角形,变换后的三角形面积比初始的三角形所覆盖的面积大。即相邻两边长度相等时,凸多边形所围成的面积较大。
变换之后的三角形ABC中,再以新的边长CA长度不变,点B变化,同理可知点B在以C、A为焦点的椭圆上,当点B为短轴的两个端点时,三角形的覆盖面积最大;上述变换之后的三角形ABC中,再以新的边长AB长度不变,点C变化,同理可知点C在以A、B为焦点的椭圆上,当点C为短轴的两个端点时,三角形的覆盖面积最大;…。只要有两边长度不相等,我们就重复这个变换。最后,只有当且仅当三角形三边长都相等时,所围成的面积才不再增大,即正三角形的覆盖面积最大。
这个变换,我们可以得出,当三角形的边长之间的长度不相等时,那么这个三角形的周长不变的前提下它的面积仍然可以变大;三角形三边的长度相差越小,此三角形的覆盖面积就越大;当三边长度相等时面积最大。
引理2、周长为定值的平面多边形中,边长都相等时的凸多边形所围成的面积较大,当为正多边形时所围成的面积最大。
显然,凸多边形的所围面积大于凹多边形面积。
以下我们所说图形均为凸多边形。
由引理1我们知道,多边形的相邻两边长相等时,所围面积会增大。顺次改变相邻的多边形两边,…,当我们不断重复这个变换,只有当且仅当多边形的边长全部相等时,面积不再增大,即周长为定值的的多边形中,边长相等的多边形的覆盖面积较大。
下面证明,当这个边长都相等的正多边形不是正多边形时,所围面积还可以增大。
当这个边长相等的多边形不是正多边形时,如图不妨取相邻的四个顶点A、B、C、D,连结AD、BD,延长BC,在其延长线上取一点设为C',为计算方便起见,设,,多边形的边长,对角线。
在中由余弦定理可得
即
“=”成立,当且仅当,即,也就是A、B、C、D四点共圆时面积较大,这时,我们易证,,而同弧AD得,弦长得)。
依据这个变换,从而我们可知,这个边长相等的多边形的面积只要相邻两个内角不等,那么它的覆盖面积就可以增加;只有任意相邻的内角相等时,这个边长相等多边形的面积才不会再增加。
这个边长相等的多边形边长相等,内角也相等,显然就是圆的内接正多边形。
引理3、周长为定值的平面正多边形中,边数越多,所围成的面积越大。
证明:在原正n边形中,不妨取边BC的中点B,由引理1知,在长度和不变的情况下,当时,新的三角形的面积大于原三角形的所围面积,显然此时多边形的边的个数已经比原多边形多了一条边,由引理2知正多边形的所围面积最大,故可得周长为定值的正n+1边形比正n边形所围成的面积大。依此步骤,引理3显然得证。
周长一定的封闭曲线,我们可以经过细化分割成,近似成为一个n边形,由引理2知,正n边形,所围成的面积最大;由引理3知,正多边形的边数越多,所围成的面积越大,当边数趋向于无穷大时,可知此时的封闭曲线为圆。于是我们得:
定理1:周长一定的平面封闭曲线中,圆所围成的面积最大。
定理2:表面积一定的几何体中,球体的体积最大。
利用这个结论,我们便可以解释,当液体滴下时,在空间的形状为球,那是因为液体表面张力的缘故,相同的体积,球的表面积最小。
细数,结论的证明过程,并无太多的技巧,用到的几乎都是分步、递推、分割、极限等,这些我们常见的数学基本的思想方法。
数学,重要的就是它的思想,只要有了解决问题的思想,约定了它的解决程序,解答过程其实很简单。