函数对称性的探究

 一、函数自身的对称性探究
定理1.函数 y = f （x）的图像关于点A （a ，b）对称的充要条件是 f （x） + f （2a-x） = 2b 证明：（必要性）设点P（x ，y）是y = f （x）图像上任一点，∵点P（ x ，y）关于点A （a ，b）的对称点P‘（2a-x，2b-y）也在y = f （x）图像上，∴ 2b-y = f （2a-x）
即y + f （2a-x）=2b故f （x） + f （2a-x） = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P（x0，y0）是y = f （x）图像上任一点，则y0 = f （x0）
∵ f （x） + f （2a-x） =2b∴f （x0） + f （2a-x0） =2b，即2b-y0 = f （2a-x0） 。
故点P‘（2a-x0，2b-y0）也在y = f （x） 图像上，而点P与点P‘关于点A （a ，b）对称，充分性得征。
推论：函数 y = f （x）的图像关于原点O对称的充要条件是f （x） + f （-x） = 0
定理2. 函数 y = f （x）的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f （a +x） = f （a-x） 即f （x） = f （2a-x） （证明留给读者）
推论：函数 y = f （x）的图像关于y轴对称的充要条件是f （x） = f （-x）
定理3. ①若函数y = f （x） 图像同时关于点A （a ，c）和点B （b ，c）成中心对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。
②若函数y = f （x） 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f （x）是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。
③若函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f （x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y = f （x）图像既关于点A （a ，c） 成中心对称，∴f （x） + f （2a-x） =2c，用2b-x代x得：
f （2b-x） + f [2a-（2b-x） ] =2c………………（*）又∵函数y = f （x）图像直线x =b成轴对称，
∴ f （2b-x） = f （x）代入（*）得：f （x） = 2c-f [2（a-b） + x]…………（**），用2（a-b）-x代x得f [2 （a-b）+ x] = 2c-f [4（a-b） + x]代入（**）得：f （x） = f [4（a-b） + x]，故y = f （x）是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
定理4. 函数y = f （x）与y = 2b-f （2a-x）的图像关于点A （a ，b）成中心对称。
定理5. ①函数y = f （x）与y = f （2a-x）的图像关于直线x = a成轴对称。
②函数y = f （x）与a-x = f （a-y）的图像关于直线x +y = a成轴对称。
③函数y = f （x）与x-a = f （y + a）的图像关于直线x-y = a成轴对称。
推论：函数y = f （x）的图像与x = f （y）的图像关于直线x = y 成轴对称。
三、三角函数图像的对称性列表
注：①上表中k∈Z②y = tan x的所有对称中心坐标应该是（kπ/2 ，0 ）
四、函数对称性应用举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f （10+x）为偶函数，且f （5-x） = f （5+x），则f （x）一定是（ ）
（A）是偶函数，也是周期函数 （B）是偶函数，但不是周期函数
（C）是奇函数，也是周期函数 （D）是奇函数，但不是周期函数
解：∵f （10+x）为偶函数，∴f （10+x） = f （10-x）.
∴f （x）有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f （x）是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f （x）的对称轴，因此f （x）还是一个偶函数。故选（A）
例2：设定义域为R的函数y = f （x）、y = g（x）都有反函数，并且f（x-1）和g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，若g（5） = 1999，那么f（4）=（ ）。
（A）1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f（x-1）和y = g-1（x-2）函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g-1（x-2） 反函数是y = f（x-1），而y = g-1（x-2）的反函数是：y = 2 + g（x）， ∴f（x-1） = 2 + g（x）， ∴有f（5-1） = 2 + g（5）=2001，故f（4） = 2001，应选（C）
例3.设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）= f（1-x），当-1≤x≤0时，f （x） = - x，则f （8.6 ） = _________
解：∵f（x）是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f（x）对称轴；
又∵f（1+x）= f（1-x） ∴x = 1也是y = f （x） 对称轴。故y = f（x）是以2为周期的周期函数，∴f （8.6 ） = f （8+0.6 ） = f （0.6 ） = f （-0.6 ） = 0.3
例4. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）= -f（x），当0≤x≤1时，f （x） = x，则f （7.5 ） = （ ）
（A） 0.5 （B）-0.5 （C） 1.5 （D） -1.5
解：∵y = f （x）是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f （x+2 ）= -f （x） = f （-x），即f （1+ x） = f （1-x）， ∴直线x = 1是y = f （x） 对称轴，故y = f （x）是周期为2的周期函数。
∴f （7.5 ） = f （8-0.5 ） = f （-0.5 ） = -f （0.5 ） =-0.5 故选（B）