寻找切入点突破障碍关

求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的切入点，那么，如何寻找解题的切入点呢？笔者结合自己的教学实例谈一些具体做法。 一、紧扣定义 理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。 例1.若点M（x，y）满足（x+3）2+（y-1）2-（x-y+3）=0，则点M的轨迹是（） A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 分析：可进行化简，但表达式中会出现xy项，对曲线的形状的判断有点难度，可通过对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义来解决。 解：由（x+3）2+（y-1）2-（x-y+3）=0， 得（x+3）2+（y-1）2/（x-y+3）/2=2 此式可以看成是动点M（x，y）到定点（-3，1）与到定直线距离之比为的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为双曲线，故选C。 二、深挖隐含 隐含条件是指隐而不显，含而不露的已知条件，它们常常巧妙地隐藏在题目的背后，优先考虑隐含条件往往能减少运算量，简化或避免复杂的变化与讨论，找到解题切入点，使问题简捷获解。 例2．解方程组 （x+1）+（1-y）=4（1） （x+1）=3y-3（2） 分析：此题按常规方法，需要分四种情况，讨论去掉绝对值符号，然后解方程组。但我们观察（2）式可以挖掘出一个隐含条件，利用这个隐含条件可以避免讨论。 解：由（2）知，（1）式可以变形为（x+1）+（y-1）=4（3） 由（2），（3）解得（x+1）=3 ∴x1=2，x2=-4分别代入（2）得原方程组的解为 x1=2x2=-4 y1=2y2=2 三、转译语言 数学语言包括文字语言、符号语言及图形语言三种基本样式，及时将题目中读不懂的部分，转译为新一种表述样式，如将普通语言改译为符号语言，或将符号语言改译为图形语言，常常可以帮助我们读懂题意，找到解题切入点。 例3．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A,求实数m的取值范围。 分析：不少学生不理解A∪B＝A，造成思维障碍。 A∪B＝A转译为图形语言，由文氏图可得A∪B＝A→BA； 化简条件，易知A=[－2,5]是固定集合，B=[m+1，2m－1]是可变集合，由数轴可知将B分为B=φ或B≠φ两类情况，即得m的取值范围(－∞,3]. 注：忽视B＝φ的存在，是一个常见错误。 四、数形结合 数形结合是寻找解题切入点的一条重要途径，它是把已知或要求的式子与图形结合起来。应用数形结合思想，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。 例4.设函数f(x)＝a+（-x2-4x），g(x)＝4/3x+1，已知x∈[－4,0]时，恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围。 分析：f(x)≤g(x)，即a+（-x2-4x）≤4/3x+1，直接将原不等式同解变换，很难求解。 转换视角，观察不等式结构特征，数形结合，易知变形为不等式 （-x2-4x）≤4/3x+1-a后，可令y1=（-x2-4x）①y2=4/3x+1－a②, 由①得（x+2）2+y2=4（y≥0），表示以点(-2，0)为圆心，2为半径的半圆；②式表示斜率为4/3，截距为1－a的平行直线系，显然直线系中与半圆O’相切的直线AT（T为切点）即为所求临界值。 如设直线AT的倾斜角为α，则tanα=4/3(0<α<π/2),sinα=4/5，在△BO’T中，|O’B|=|O’T|/sinα=5/2， ∴|OB|=9/2 在△AOB中，OA＝|OB|·tanα=9/2×4/3=6，要使f(x)≤g(x)恒成立，直线必须位于AT上方或与AT重合。 ∴1－a≥6，a≤－5. 五、逆向思维 逆向思维是较高层次的思维方式，当顺向思考遇到障碍，并经过语言转译，数形结合仍不奏效时，应积极转换视角，尝试逆向思维。 例5．已知集合M={(x，y)|y2＝2x}，N={(x，y)|(x－a)2＋y2=9}，求M∩N≠的充要条件。 分析：易知M∩N≠φ的充要条件至少有一个实数解，且x≥0，即x2+2(1－a)x+a2－9=0至少有一个非负根。 由△≥0，得a≤5，此时若顺向思维，则情形较繁，求解困难，若逆向思维，考虑至少有一个非负根的反面是两个负根（只有一种情形）。 立知上述方程有两个负根的充要条件应为△≥0，且x1＋x2＜0，x1x2＞0，即－2(1－a)＜0，且a2－9＞0，解得a＜－3，从而知所求充要条件为－3≤a≤5。 六、展开联想 对于某些数学问题，从结构上的特点出发，在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时，由此及彼地联想（联想定义、定理或解决过的类似问题等），常常能启发思维，找到解题的切入点。 例6．函数f（x）=x2/1+x2，那么f（1）+f（2）+f（1/2）+f（1/3）+f（4）+f（1/4）=。 分析：由于设定的问题较简单，可以直接分别求值，再求和。答案7/2。 如果待求的和式较复杂怎么办？联想数列的求和方法，不难发现该式隐藏的秘密所在：f（x）+f（1/x）=1。 七、把握转化 化归与转化的思想方法无处不在，它是分析、解决问题的有效途径，寻找解题切入点的常用方法。 例7．两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？ 分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”，然而我们对以下两题很熟悉：以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少？如果两条异面直线称为“一对”的话，一个三棱锥中有多少对异面直线？故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应，由于①的答案是个；②的答案是3对，故本题答案为对。 注：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。 总之，在数学解题中，只要我们认真观察，分析题中的“知”与“求”，准确捕捉题目的各种信息，努力寻找解题的切入点，周密思考，广泛联想，避免误入歧途，就能及时摆脱困境，快速形成准确的解题思路。