基于相似抛物线和插值法的水泵转速确定方法研究

作者：翟光耀王志远朱劲木龙新平来源：《武汉大学学报（工学版）》日期：2022-08-13人气：1342

我国水资源时空分布不均，与人口、生态、经济产业布局不相匹配，随着经济社会的高速发展，水资源供需矛盾日益突出，进入21世纪以来，各地建设大型调水工程的速度明显加快。珠江三角洲水资源配置工程是国务院要求加快建设的全国172项节水供水重大水利工程之一，其首级取水泵站——鲤鱼洲泵站流量与扬程变化幅度极大，因此在设计中采用机组并联加变频调速的运行方式^［1］。目前，我国已建的南水北调中线工程中的惠南庄泵站、牛栏江-滇池补水工程干河泵站、山西万家寨引黄工程三级提水泵站、引汉济渭工程黄金峡泵站以及正在建设的滇中引水工程石鼓水源泵站等，均存在水泵运行工况变化复杂的特点，因此泵站采用了变速调节的运行方式^［2-6］。大容量变频调速技术的日益成熟，使得单机大功率且运行工况复杂的水泵变频调速成为可能，这既方便了机组的启停，又可使机组在各种复杂工况下高效运行。在泵站设计和水泵选型阶段，主要关注水泵的最佳转速^［7］；而在泵站建成投入运行后，则要求水泵在满足用户需水量要求的情况下运行，此时所需流量已知，且进、出水池水位和管路阻力特性已经确定，需要确定的是水泵的实际转速。

1 水泵最佳转速的确定

对于扬程较高的泵站，当进、出水池水位变幅较大（即扬程变化较大），且多年平均扬程与水泵的设计扬程相差较大时，或当用户的需水量变化较大时，常常采用变速调节的方法，使得水泵以最高的效率运行。水泵在不同工况下工作时，对应最高效率点的转速称为最佳转速 $n_{o p t}$ 。如图1所示，过水泵额定转速 $n_{0}$ 的流量-扬程（ $Q$ - $H$ ）曲线上对应最高效率工况点 $A_{0} (Q_{A_{0}}, H_{A_{0}})$ 作相似工况抛物线，该抛物线上的点所对应的转速即为水泵的最佳转速，相似工况抛物线方程如下式所示：

(1)

式中： $H$ 为与流量相对应的扬程； $H_{A_{0}}$ 为最高效率工况点所对应的扬程； $Q_{A_{0}}$ 为最高效率工况点所对应的流量； $Q$ 为流量。

图1 最佳转速确定

Fig. 1 Determination of the optimum speed

根据进、出水池水位变幅得到装置静扬程H_st，然后作装置需要扬程曲线，其与相似工况抛物线的交点为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 等，交点所对应的转速即不同静扬程下的最佳转速，装置需要扬程方程如下式所示：

(2)

式中： $H_{s t}$ 为装置静扬程； $S$ 为管路系统阻力系数。

联立式（1）和（2）可得

(3)

(4)

将所得的 $Q$ 和 $H$ 值代入比例律公式即可用解析法求得水泵的最佳转速：

(5)

式中： $n_{o p t}$ 为最佳转速； $n_{0}$ 为额定转速。

水泵最佳转速的确定对泵站设计以及水泵选型具有一定的参考价值。而对于建成投入运行泵站，则需要根据用户的需水量（即流量）来进行调速。本文提出了基于相似抛物线和变斜率线性插值的方法，对调速运行中的水泵进行转速确定。当水泵调速范围不大时、水泵变速后扬程和效率不需要修正^{［8， 9］}，可根据比例律和相似抛物线借助计算机程序来求解水泵实际运行转速（简称相似抛物线法）；当水泵调速范围较大、水泵变速后用比例律公式换算产生的误差较大时，扬程和效率均需要修正^{［10， 11］}，则借助计算机的插值程序来求解水泵转速（简称插值法）比较合适。

2 基于相似工况抛物线的水泵转速确定

当调速范围较小时，可以认为变速前后水泵的效率不变，相似工况点的流量、扬程等参数满足比例律且相似工况点位于同一条相似抛物线上。为了便于计算，往往需要根据水泵性能试验实测的数据求出水泵拟合性能曲线的数学表达式^{［12， 13］}。

2.1　基本性能曲线的数学表达式

水泵的基本性能曲线可用1组 $n$ 次多项式来表示，以 $Q$ - $H$ 性能曲线为例，对于水泵性能试验实测的数据点 $(Q_{i}, H_{i})$ ， $1 \leq i \leq N$ （ $N$ 为工况点最大个数），可用下面的 $n$ 次多项式进行拟合：

(6)

式中： $i$ 为试验实测工况点编号； $Q_{i}$ 、 $H_{i}$ 分别为第 $i$ 个工况点水泵流量和扬程； $a_{k}$ （ $k = 0,1, \dots, n$ ）为多项式的系数。

为了使拟合出的近似曲线尽可能地反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差 $|δ_{i}| = |f (Q_{i}) - H_{i}|$ 为较小值。为此可以令上述偏差的平方和 $\sum_{i = 1}^{N} (δ_{i})^{2} = \sum_{i = 1}^{N} [f (Q_{i}) - H_{i}]^{2}$ 为最小值。这种方法称为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式 $f (x)$ 的方法即为最小二乘法多项式拟合。

确定上述多项式的过程也就是确定 $f (Q)$ 中的系数 $a_{k}$ （ $k = 0,1, \dots, n$ ）的过程，根据最小二乘原则，偏差平方和应为系数 $a_{k}$ 的函数，即

(7)

为了使上式取值最小，则其关于 $a_{k}$ （ $k = 0,1, \dots, n$ ）的1阶导数应为0，即

（8）

将上面各等式写成方程组的形式，则有

（9）

写成矩阵形式，则有

(10)

解此方程组，即可求得 $Q$ - $H$ 曲线数学表达式的系数 $a_{k}$ $(k = 0,1, \dots, n)$ 。

为了提高计算速度和精度，还应考虑相关系数 $R$ 和标准残差 $s$ ，其表达式分别为

(11)

(12)

式中： $\bar{Q} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} Q_{i}$ ， $\bar{H} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} H_{i}$ 。

相关系数表示1组数据的离散程度，通过计算 $R$ 值，可确定拟合多项式的方次，以达到减少不必要的计算，提高计算速度的目的。 $R$ 值越小，说明该组数据的离散程度越大。标准残差 $s$ 表示曲线方程对各点拟合的程度， $s$ 值越小，说明拟合程度越高。

在实际计算过程中，为了防止运算溢出， $Q_{i}$ 常用 $Q_{i} - \bar{Q}$ 代替，则拟合多项式为

(13)

利用上述方法即可求出适当精度的Q-H、Q-P（轴功率）、Q-NPSH（空化余量）和Q-η（水泵效率）曲线的数学表达式。

2.2　满足需水量要求的水泵实际运行转速

水泵的性能曲线与水泵的转速有关。改变水泵的转速，可使水泵的性能曲线发生改变，从而达到调节水泵工作点的目的。

变速调节只改变了水泵的性能曲线，装置需要扬程曲线并未改变，如图2所示。图中曲线0、1分别为水泵转速为 $n_{0}$ 和 $n_{1}$ 时的 $Q$ - $H$ 曲线，方程 $H_{r} = H_{s t} + S Q^{2}$ 对应的曲线为装置需要扬程（ $H_{r}$ ）曲线。由图2可知，当水泵在转速 $n_{0}$ 下运行时，其工作点为 $A_{0}$ ，对应的流量为 $Q_{A_{0}}$ ；转速减小为 $n_{1}$ 后，工作点变为 $A_{1}$ ，流量、功率和效率也分别从原来的 $Q_{A_{0}}$ 、 $P_{A_{0}}$ 和 $η_{A_{0}}$ 变为 $Q_{A_{1}}$ 、 $P_{A_{1}}$ 和 $η_{A_{1}}$ 。

图2 变速调节

Fig. 2 Speed regulation

通常遇到的情况如图3所示，已知水泵在额定转速为 $n_{0}$ 的Q-H曲线和装置需要扬程曲线 $H_{r} = H_{s t} + S Q^{2}$ ，此时水泵的工作点为 $A_{0} (Q_{A_{0}}, H_{A_{0}})$ ，对应的流量为 $Q_{A_{0}}$ ，但实际用户所需流量为 $Q_{A_{1}}$ ，由进、出水池水位和管路阻力特性计算出需要扬程为 $H_{A_{1}}$ ，对应的水泵工作点 $A_{1} (Q_{A_{1}}, H_{A_{1}})$ 不在转速为 $n_{0}$ 时的Q-H曲线上。为了使水泵能在新的工作点 $A_{1}$ 工作，需要求出转速 $n_{1}$ 。

图3 变速调节的转速确定

Fig. 3 Speed determination of variable speed regulation

假定变速后的转速 $n_{1}$ 和水泵额定转速 $n_{0}$ 相差不大，变速前后各效率可以认为是相等的，由比例律可知，水泵的流量、扬程与转速的关系为

(14)

(15)

只有相似工况抛物线上的工况点才能应用比例律来进行性能的换算，为此，将所需流量 $Q_{A_{1}}$ 值与扬程 $H_{A_{1}}$ 值代入相似工况抛物线方程 $H = K Q^{2} = Q^{2} \cdot H_{A_{1}} / Q_{A_{1}}^{2}$ ，求出 $K = H_{A_{1}} / Q_{A_{1}}^{2}$ 的值，相似工况抛物线通过点 $A_{1}$ 并与原有的 $Q$ - $H$ 曲线相交于 $A_{2}$ 点，由此求出 $A_{2}$ 点的坐标（ $Q_{A_{2}}$ ， $H_{A_{2}}$ ），如图3所示，用下式可求出 $n_{1}$ ：

(16)

由以上可得，采用相似抛物线法数值求解所需流量 $Q_{A_{1}}$ 所对应水泵转速 $n_{1}$ 的计算步骤如下：

1）将用户实际需流量 $Q_{A_{1}}$ 代入装置需要扬程方程 $H_{r} = H_{s t} + S Q^{2}$ ，计算得到变速后工作点 $A_{1}$ 的扬程 $H_{A_{1}}$ 。

2）计算过点 $A_{1}$ 的相似工况抛物线的 $K$ 值， $K = H_{A_{1}} / Q_{A_{1}}^{2}$ 。

3）联立求解相似工况抛物线方程和水泵在转速为 $n_{0}$ 时的 $Q$ - $H$ 曲线方程，如下式所示：

(17)

求解得到的交点坐标（ $Q_{A_{2}}$ ， $H_{A_{2}}$ ）即为工况点 $A_{2}$ 的流量 $Q_{A_{2}}$ 和扬程 $H_{A_{2}}$ 。

4）采用比例律公式，计算水泵对应于工况点 $A_{1}$ 时的转速 $n_{1}$ ：

n 1 = n 0 Q A 1 Q A 2

或

(18)

3 基于插值法的水泵转速确定

当水泵调速范围较大时，变速前后水泵的流动效率不相等，虽然相似工况点的流量、扬程等参数仍满足相似律，相似工况点仍位于同一条相似曲线上，但该曲线不再为抛物线，无法如前所述推导出相似抛物线方程，基于相似工况抛物线的方法无法实现对水泵转速的确定，针对这种情况，提出了插值法。

3.1　变速通用性能曲线

基本性能曲线反映了水泵在额定转速下的性能。然而，在实际运行中常常采用改变转速的方法来适应工况变化对水泵性能的要求。为此，需要知道水泵在各种不同转速时的性能。同一直角坐标中绘制的一台水泵在不同转速时的一簇性能曲线称为变速通用性能曲线。通过对水泵的性能试验，可以得到某一转速下水泵的基本性能曲线，如果在试验中改变水泵转速并重复试验，可以得到不同转速下水泵相应的基本性能曲线。但该曲线使用不方便，且转速变化档次越多，线条越密集。为便于使用，通常将性能曲线变换为仅在图中反映不同转速下的 $Q$ - $H$ 曲线，且用等效率线代替不同转速时的效率曲线，如图4所示。

图4 不同转速下的通用性能曲线

Fig. 4 General performance curves at different rotating speeds

水泵在不同转速下的基本性能曲线还可以通过理论公式换算得到。按照叶片泵的相似理论，同一台水泵的转速变化时，其变化前后的性能是相似的。因此，可以利用相似律换算变速后的性能，即可根据已知转速的性能曲线换算出另一转速的性能曲线。

但相似律只适用于2个相似的工况，即只有同一条相似工况曲线上的点才能应用相似律公式进行相似性能换算。水泵变转速下的流量、扬程和流动效率按下式换算：

(19)

式中： $η_{q}$ 、 $η_{h}$ 分别为容积效率、水力效率；下标0代表额定转速 $n_{0}$ 下的相应参数；下标1代表其他任意转速 $n_{1}$ 下的相应参数； $β$ 由试验确定，不同的文献所给出的 $β$ 值有所不同， $β$ =0.16~0.5^［14-19］，本文按IEC 60193的规定取 $β$ =0.16^［9］；一般认为，水泵改变转速时其机械效率 $η_{m}$ 和容积效率 $η_{q}$ 不变^［9］，即有 $η_{q_{0}} = η_{q_{1}}$ 。

可以看出，通过实测得到的不同转速下通用性能曲线来发现不同转速下相似工况点之间的关系是困难的，并且即便使用相似换算，但变速前后效率不相等时，无法如前所述导出相似工况抛物线方程进而求出水泵变速运行时的转速，此时，采用插值法确定水泵变速调节运行时的转速更为合适。

3.2　插值法确定水泵变速调节运行时的转速

泵站建成投入运行后，水泵机组一般按用户需水量要求来运行。假定根据用户需要的流量确定水泵流量为 $Q_{A}$ ，由于水泵的工作点须落在装置需要扬程曲线上，根据装置需要扬程方程确定水泵扬程为 $H_{A}$ 。

如图5所示，装置需要扬程 $H_{r}$ 可表示为

(20)

(21)

(22)

式中： $H_{t} = Z_{d} - Z_{s}$ ，为出水池与进水池的水位差， $Z_{d}$ 为出水池的水位， $Z_{s}$ 为进水池的水位； $(p_{d} - p_{s}) / ρ g$ 为出水池与进水池的水面压头差， $p_{d}$ 为出水池的压力， $p_{s}$ 为进水池的压力， $ρ$ 为水的密度， $g$ 为重力加速度； $(υ_{d}^{2} - υ_{s}^{2}) / 2 g$ 为出水池与进水池的流速水头差，一般可忽略， $υ_{d}$ 为出水池的流速， $υ_{s}$ 为进水池的流速； $h_{s}$ 为进水池的水力损失； $h_{d}$ 为出水池的水力损失； $H_{s t}$ 为装置的净扬程； $h_{w}$ 为管路系统中的总水力损失，与阻力系数和管中流量之间的关系为 $h_{w} = S Q^{2}$ 。因此，装置的需要扬程可写为

(23)

由上式可得用户需水量 $Q_{A}$ 所对应的水泵扬程 $H_{A}$ ，则问题即为已知水泵流量 $Q_{A}$ 和扬程 $H_{A}$ ，求水泵转速 $n_{A}$ 。以某水泵为例说明插值法求水泵实际运行转速的过程。假设已知的工况点为 $A (Q_{A}, H_{A})$ ，如图6所示， $Q_{A}$ =10.0 m³/s， $H_{A}$ =12.3 m。

图5 水泵装置示意图

Fig. 5 Schematic diagram of water pump device

图6 某水泵变速运行区域

Fig. 6 Variable speed operation zone of a water pump

1）确定运行区域。

假定水泵各不同转速下的性能由试验实测得到。插值区域的上边界为水泵在最高转速 $n_{m a x}$ 下的 $Q$ - $H$ 曲线，下边界为最低转速 $n_{m i n}$ 下的 $Q$ - $H$ 曲线，不同转速下的性能曲线采用式（13）的拟合多项式来表达。插值区域的左边界线采用过2点 $B_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $B_{2} (x_{2}, y_{2})$ 的直线， $B_{1}$ 位于下边界曲线的左侧， $B_{2}$ 位于上边界曲线的左侧， $B_{1}$ 和 $B_{2}$ 为等效率点或相似工况点（两工况点对应的水泵效率较接近即可，无需完全相等）。插值区域的右边界线采用过2点 $B_{3} (x_{3}, y_{3})$ 、 $B_{4} (x_{4}, y_{4})$ 的直线， $B_{3}$ 位于下边界曲线的右侧， $B_{4}$ 位于上边界曲线的右侧， $B_{3}$ 和 $B_{4}$ 为等效率点或相似工况点。如图6所示。

2）左、右边界两直线求交点。

过2点 $B_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $B_{2} (x_{2}, y_{2})$ 的直线方程为

(24)

过2点 $B_{3} (x_{3}, y_{3})$ 、 $B_{4} (x_{4}, y_{4})$ 的直线方程为

(25)

若两直线不平行且交点设为 $B_{0} (x x, y y)$ ，则 $B_{0}$ 点的坐标值可计算为

(26)

3）求直线 $B_{0}$ A与各不同转速对应的 $Q$ - $H$ 曲线的交点。

4）用插值法求解对应于流量 $Q_{A}$ 时的转速 $n_{A}$ 。

由以上过程可以看出，当用户需要的流量和扬程变化时，则水泵 $Q_{A}$ 和 $H_{A}$ 也随之变化。水泵运行工作点 $A (Q_{A}, H_{A})$ 变化时，直线 $B_{0}$ A的斜率会随工作点的变化而变化，从而避免了直线 $B_{0}$ A与 $Q$ - $H$ 曲线无交点，导致求解失败的可能。

3.3　算例

为了便于与相似抛物线法比较，假定在式（19）中 $β = 0$ ，即变速后相似工况的各效率不变，用户需要水泵在流量 $Q_{A}$ =10.0 m³/s和扬程 $H_{A}$ =12.3 m下运行，水泵运行区域的4个控制点分别为 $B_{1}$ （0.37，1.03）、 $B_{2}$ （8.62，65.21）、 $B_{3}$ （7.51，20.65）和 $B_{4}$ （4.11，31.05）。直线 $B_{1} B_{2}$ 与直线 $B_{3} B_{4}$ 的交点为 $B_{0}$ （0.15，-10.95），直线 $B_{0} A$ 与 $Q$ - $H$ 曲线的交点（与转速 $n_{A}$ 相邻）对应流量分别为 $Q_{n = 0.6 n_{r}}$ =9.94 m³/s， $Q_{n = 0.65 n_{r}}$ =10.81 m³/s，水泵额定转速 $n_{r}$ =250 r/min，插值求出水泵实际运行转速 $n_{A}$ =150.86 r/min。在相似工况抛物线法中，已知用户需要水泵在流量 $Q_{A 1}$ =10.0 m³/s下运行，根据需要扬程曲线方程求出需要扬程 $H_{A 1}$ =12.3 m，水泵额定转速 $n_{0}$ =250 r/min，相似工况抛物线与额定转速下的 $Q$ - $H$ 曲线求交点得到流量 $Q_{A 2}$ =16.57 m³/s和扬程 $H_{A 2}$ =33.77 m，求得水泵实际运行转速 $n_{1}$ =150.88 r/min。

相似抛物线法与插值法所求转速的相对偏差为

(27)

可以看出，水泵调速范围较大时，采用插值法确定转速更为准确。

4 结论

1）在泵站设计和水泵选型阶段，通过各静扬程下对应的工况点与最高效率所对应的相似工况抛物线确定水泵的最佳转速。

2）基于相似工况抛物线的水泵转速确定方法，采用联立求解相似工况抛物线方程和水泵性能曲线方程，根据比例律求解水泵实际运行转速，适用于泵站建成投入运行后的水泵调速范围不大、水泵变速后扬程和效率不需要修正时的转速确定。

3）基于插值法的水泵转速确定方法是确立运行区域，得到边界直线交点，通过变斜率线性插值得到所需流量时的转速，适用于泵站建成投入运行后的水泵调速范围较大、水泵变速后用比例律换算产生较大误差时的转速确定。

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基于相似抛物线和插值法的水泵转速确定方法研究

1 水泵最佳转速的确定

2 基于相似工况抛物线的水泵转速确定

2.1 基本性能曲线的数学表达式

2.2 满足需水量要求的水泵实际运行转速