发散光束对消光法颗粒粒径测量影响

如图1所示，一束直径远大于被测颗粒粒径，强度为I₀，波长为λ的平行单色光入射到一含有测颗粒群的介质时，由于颗粒对光的散射和吸收，透射光I的强度为

式中，τ是介质浊度，L为光程。对于球形被测颗粒，且各颗粒光散射满足不相关单散射，单位体积内N个粒径为D的单分散颗粒系浊度τ为

式中，C_ext和k_ext分别为消光截面和消光系数，是入射光波长λ、被测颗粒粒径D、颗粒相对于介质的相对折射率m的函数。将式（2）代入式（1）可得

理论上，通过LB定律建立正演模型并计算消光系数矩阵，对所测消光谱反演可得颗粒粒径分布信息。不过，该模型的适用前提需满足平行光入射条件，而实际测量如采用非平行入射光源，仍依照LB模型会带来一定误差。对于发散光入射情形，引入蒙特卡罗方法，将入射光束离散化处理成离散光子，通过统计不同方位接收器接收到的光子数即可模拟不同发散角范围下的消光特性，进而分析对消光谱和粒径反演的误差。

图1  消光法测量原理示意

Fig. 1  Schematic of light extinction measurement

蒙特卡罗方法是以概率统计为基础的随机模拟方法，将光在颗粒离散介质中的散射过程视为光子与颗粒的碰撞过程，且每次散射只与前一次散射有关^［19］。通过跟踪大量的光子轨迹模拟光在散射介质中传播的整个物理过程，统计出各个方位接收器接收到的光子数，并可获得边界逃逸、前向透射、散射的光子数。

图2为模拟发散光束穿过散射介质的传播模型，散射介质厚度为L，介质到发射和接收器距离都为S。假设光束在z=0平面沿着z轴方向传播，发散角为θ。光子的初始出射坐标(x0,y0,z0)为（0，0，0），初始出射方向余弦(ux0,uy0,uz0)表示为

式中，θ0和φ0为发散光子的初始散射角和方位角，光子在初始发散角范围内均匀分布。结合初始方向余弦可计算得光子刚进入测量区坐标为(Scosθ0ux0,Scosθ0uy0,S)，并以此坐标作为起算坐标。光子与颗粒碰撞相邻的两次散射之间的随机自由步长可表示为

式中，rl是［0，1］范围内均匀分布随机数，消光效率Kext可由Mie散射理论计算。 结合起算坐标、初始方向余弦以及相邻散射间的随机自由步长，光子首次发生散射的坐标(x1,y1,z1)可以表示为

光子与颗粒碰撞后的空间散射角分布可以由Henyey-Greenstein相函数^［20］确定，对相函数抽样，散射角θ1的抽样表示为

式中，rθ1是另一个［0，1］范围内随机数，g是不对称因子。再结合初始方向余弦以及发生散射后的散射角、方位角得到新的方向余弦为

据此，由每一次散射后的方向余弦以及随机自由步长可以确定每次光子与颗粒碰撞的坐标，直至判定光子是否被吸收、从边界逃逸还是被接收。依据反照率a（a=C_sca/C_ext，散射截面与消光截面的比值）判定光子是否被吸收，当随机数rα≥a时光子被吸收，反之被散射。假设接收器直径为d，接收角为ψ，当光子z轴方向坐标zi≥2S+L，停止对光子跟踪并修正坐标得zi=2S+L，此时判定光子被接收的条件为

记录接收光子数目n，并重复下一个光子历程，直到完成所有光子计算，统计各个物理过程的光子数得到散射介质的消光特性。消光谱可表示为

式中，n为接收光子总数，n_set为设定光子数。

图2  发散光束仿真模型

Fig. 2  Simulation model of the divergent beam

按照前述模型编制计算程序，通过统计每个物理过程的光子数可得颗粒系的散射和吸收特性。算例选取颗粒粒径D=0.2 μm、相对折射率m=1.196、体积浓度C_v=4×10^-5、介质厚度L=10 mm，接收器尺寸d=0.8 mm。光子在散射介质中传输过程的分类如图3，可以看出在给定粒径下，随着波长增大透射光子数逐渐增多。按光散射理论，波长增大时亚微米区颗粒的无因次参数α（α=πd/λ）减小，消光系数减小，再结合蒙特卡罗方法计算随机自由步长的公式分析，波长增大导致随机步长增大，光子准直透射的概率增加。无因次参数减小，光子与颗粒碰撞后的角散射特性趋于均匀，图中前后向散射的光子数逐步接近。同时，光子准直透射的概率增大，发生散射、吸收以及边界逃逸的光子数逐渐减小。

图3  光子去向统计

Fig. 3  Statistics of photon events

为验证蒙特卡罗计算程序的正确性，设定光子准直出射（发散角为零），将蒙特卡罗方法计算的准直透射光消光谱与LB模型预测对比验证，并由图4给出在不同粒径下消光谱ln(I0/I)随波长λ的变化规律。算例选取粒径D为0.2、2.88 μm、m=1.196、C_v=4×10^-5、L=10 mm，为减小复散射对计算结果影响，粒径0.8 μm时选取体积浓度C_v=2×10^-5。由图中曲线可以看出蒙特卡罗和LB模型计算结果吻合较好，其在不同的粒径下消光曲线的变化趋势均非常接近。综合考虑计算效率以及计算结果稳定性，数值计算光子数选取10⁵。

图4  蒙特卡罗和LB模型消光谱对比

Fig. 4  Comparison of extinction spectra of Monte Carlo and LB models

图5（a）为粒径D=0.8 μm、接收角ψ=25°、光子准直入射时，不同接收器尺寸下消光谱ln(I0/I)随波长λ的变化规律。从图中不同接收器尺寸下的消光谱曲线可以发现，接收器尺寸越大对应消光值越小，这是由于大尺寸接收器接收的透射和散射光能越多所致。图5（b）为不同接收角下消光谱ln(I0/I)随波长λ的变化规律，在光子准直入射情况下，接收角度从10°~30°变化对于消光谱的影响较小。

图5  不同接收器尺寸和接收角消光谱对比

Fig. 5  Comparison of extinction spectra with different receiver sizes and different reception angles

图6是接收器尺寸d=0.8 mm、接收角ψ=25°，三种粒径颗粒不同发散角下消光谱ln(I0/I)随波长λ的变化规律。从图6（b）、（c）可以看出消光值随发散角递增，因发散角增大使得光子发生散射后穿过介质时愈加偏离接收器中心，导致接收器接收到的散射光能更少。同理，发散角增大光子在与颗粒碰撞发生越界的概率越大，也会导致消光作用增强。再通过与图6（a）对比发现，粒径D=0.2 μm时发散角增大消光值会略微增大但是曲线无明显差异，经分析可知该粒径下透射光子占主导，发散角的变化所导致接收的散射光能变化对于总接收光能的影响甚微。从单颗粒光散射特性可知此粒径下颗粒的无因次参量α很小，光子与颗粒碰撞后散射呈均匀分布，相较于大粒径颗粒前向接收散射光能占比更小。模拟选取接收尺寸为0.8 mm，如接收尺寸增大，则发散角的变化对消光曲线的影响应更明显。

图6  不同发散角范围的消光谱对比

Fig. 6  Comparison of extinction spectra at different divergence angles

实验系统如图7，实验采用波长范围为0.4~0.7 μm，输出功率为0~1 mW可线性调节的LED光源，如海光电科技生产的SEED3000型光谱仪（可测光谱范围为0.341~1.064 μm，波长数目为2 048），多模发射和接收光纤直径为0.8 mm，发射和接收角均为25°，发射和接收光纤的距离Z=100 mm。LED光源发出具有一定发散角（60°）的白光光束，发散光束通过焦距为25 mm、孔径为25.4 mm的傅里叶光学透镜汇聚成平行准直光束，照射在光程L=10 mm的四通光样品池上。样品池置于发射、接收光纤之间，控制光束完全照射到样品池壁面，经过颗粒的散射吸收发生衰减后，携带颗粒粒径信息的光能被光纤接收并传递至光谱仪，将10次连续采集的实验数据取平均后计算消光谱。为测得发散光束消光谱，首先通过调节透镜与光源距离使光束汇聚，控制第一个光阑孔径取光束最均匀部分，再调节第二个光阑孔径（可调节范围为1.5~30 mm），根据两个光阑间距和孔径限定其发散角分别为5°、10°、15°、20°，进行实验。

图7  消光实验系统示意图

Fig. 7  Schematic of light extinction experiment system

实验用标准颗粒为中国石油大学研制标称直径分别为0.2、0.8、2.88 μm的三种聚苯乙烯乳胶微球。分别测得每种颗粒在平行光及不同发散角入射条件下的透射光能，经处理得如图8所示的消光谱曲线。对于粒径D=0.2 μm颗粒，发散角变化对消光谱影响不明显，但是对D=0.8 μm和D=2.88 μm的颗粒，随着发散角增大消光谱有明显的变化，其变化趋势和数值模拟结果基本一致。消光法LB模型中透射光是指理论准直出射光束（未发生散射），但由于实际光程所限部分前向小角散射光也会被接收，这与单颗粒散射特性相关并和光波长、颗粒粒径及入射光角度等参数关联，进而对获取的消光值大小与光谱曲线产生影响。

图8  实验测得不同发散角下的消光谱

Fig. 8  The experimental extinction spectra at different divergence angles

在400~700 nm波长范围内等间距的选取50个波长的消光谱，采用DFP（Davidon-Fletcher-Powell）算法^［21-22］反演得到粒径分布结果。如图9所示，对0.2 μm颗粒，发散角变化对反演结果影响不明显，粒径分布曲线较为稳定，对粒径0.8、2.88 μm颗粒，随着发散角增加反演结果误差越大，粒径分布曲线整体发生偏移。

图9  不同发散角下反演颗粒粒径分布

Fig. 9  Inversed particle size distributions at different divergence angles

图10为不同发散角下，由数值模拟和实验消光谱反演的索太尔（Sauter）平均直径与标称值的误差。从图中可以看到平行光入射时，反演结果误差较小，随发散角增大模拟和实验消光谱的反演结果与标称值误差整体增加。发散角在5°范围内三种粒径的反演结果误差均在4.62%以内，但发散角增至20°时，对于粒径为0.8 μm的颗粒模拟和实验反演结果误差达10.29%和12.75%；对于粒径为2.88 μm的颗粒模拟和实验反演结果误差达-7.64%和-9.55%，此时发散光束将严重影响测量结果。

图10  不同发散角下模拟和实验平均粒径结果误差

Fig. 10  Errors of mean sizes at different divergence angles in simulations and experiments

为修正发散光束对消光法粒径测量结果的影响，在粒径0.05~5 μm、入射光波长0.4~0.7 μm区间各线性分50档，用蒙特卡罗程序计算不同发散角下的消光值并构建系数矩阵代替Mie理论计算的消光系数矩阵，代入反演算法。对粒径0.8 μm的颗粒在发散角为5°、10°、15°、20°下实验消光谱反演，修正前后反演结果与误差如表1。可见经修正后，不同发散角下粒径的反演结果误差在2.00%内，表明该方法可减小入射光束发散对测量结果造成的误差。