针对工科生讲授量子力学基本原理时可采用的一种类比方法

一、导言

    量子力学是物理学的一门分支学科，它也是现代诸多科学技术（如激光技术、微电子技术、新材料技术、新能源技术等）的理论基础，它为诸多现代工程技术的产生和发展提供了坚实的基础。正因为量子力学的基础性意义，许多工科专业的大学生需要学习了解一定的量子力学基本原理。由于学时的限制，很多工科专业不可能开设专门的量子力学课程，同时相关工科专业的学生也只需要对量子力学的基本原理有一定基础性了解即可，不需要具备完整的量子力学知识体系，所以在很多工科专业中，量子力学基本知识的介绍是在一些专业课程中适当掺入，或者是在大学物理课程的最后部分涉及。量子力学毕竟是一门理论深度很强的学科，很多概念和原理非常的抽象、新颖，与经典物理的知识相比具有很大的差异，学生（尤其是非物理学专业的工科学生）学习起来具有很大的难度。我们在对工科学生讲授量子力学知识的过程中积累了一定的经验，总结出了一些较为有利于学生学习理解的讲授方法，本篇论文即对这些方法进行叙述。

二、量子力学公设

整个量子力学的数学理论建立在五个公设之上。这五个公设是从实验结果分析提炼而得到的，不能被严格推导出来的，但是与所有的实验结果相符合，被认为是正确可信的。这五个公设分别是：

1. 态矢量公设（或波函数公设）。

2. 可观测量与算符公设。

3. 测量公设。

4. 动力学演化公设（或薛定谔方程公设）。

5. 全同性原理公设。

这个五个公设里涉及的概念，如态矢量、算符、本征值等等，都非常的抽象。学生在接触这些概念时很难理解它们，因而更难进一步理解这些公设。我们曾多次向工科学生讲解过量子力学的基本原理，为了让学生较快地理解这些公设，我们通过一些类比的方法，把量子力学公设的含义与一些他们已经具备的、较为直观的知识联系起来，从而让他们可以较快较好地理解量子力学的公设。具体来说，我们把平面几何中的向量及有关性质、线性代数中的矩阵及有关性质，拿过来与公设中的相关概念和性质进行类比，从而让学生很好地理解公设。下面我们就此方法重点对前三条公设进行详细阐述。

（一）态矢量公设（或波函数公设）

这条公设的内容是：“一个量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由希尔伯特空间中的态矢量来设定。这个态矢量完备地给出了这个量子系统的所有信息。”

态矢量是一个什么东西？希尔伯特空间是一个什么东西？学生在一开始肯定不理解。但我们可以向学生这样讲解：态矢量类似于二维几何平面中的一个矢（向）量（也可以说类似于一个三维立体中的一个矢量，或者是n维线性空间中的一个矢量，为了方便我们以二维几何平面中的矢量为例。），希尔伯特空间就类似于这个二维几何平面。它们之间有不同的地方，但也有相同的地方。我们可以对几何矢量和态矢量所共有的可分解性进行阐述。

在图1（a）中，是二维几何平面中的任意一个矢量，对这个矢量可以进行正交分解，比如把A矢量在相互正交的X方向和Y方向进行正交分解，数学上可以表示为：

，  （1）

和是X、Y方向上的单位矢量，、是A矢量向x、y两个方向分别投影所得的倍数。简而言之，任意几何矢量都可以分解为一些基本矢量的叠加。这些知识是学生们已经具备的非常简单的知识。量子力学中态矢量也具有相似的可分解性（或者说是叠加性），在数学上可以表示为：

   ， （2）

是某一个态矢量与图1中的矢量类似。就是一组相互正交的单位矢量集，类似于i和j，只是的个数可能会是无穷多个。就相当于、，它是向单位矢量投影所得的倍数。是二维平面空间中的一个矢量，也是一个空间中的矢量，这个空间就是具有无限维数的希尔伯特空间。

通过这样比较形象的类比描述，虽然不能让学生完全地了解态矢量和希尔伯特空间，但是肯等可以让他们对两者有了一点初步的印象，不至于一点不懂，这样就可以为后续的继续学习了解打下基础。当然后面也需要继续采用这种类比讲解的方法。

图（1）几何矢量的正交分解

态矢量的分解不唯一，和所选择的表象有关系。这样的性质也可以用几何矢量的性质进行类比说明。比如图1(b)中的矢量也可以对其进行另外一种形式的正交分解，如图2所示。数学上可以表示为：

（3）

这里、是另外一组正交的两个方向的单位矢量。、是对应的系数。所以同一个矢量可以具有不同的分解形式。我们还可以找到不同于图1和图2的另外的分解形式。量子力学中态矢量分解形式的不唯一性，在数学上可以表示为：

（4）

就是另一组单位矢量集，类似于、。就相当于、 。

公式（2）和（4）所描述的态矢量的分解，都属于离散分解。可以再进一步向学生讲述，态矢量的分解也可能为连续分解。数学上可以写为：

 （5）

这时的系数和变成了随x和k而变化的连续函数。可以根据情况向学生讲述，上面的两种连续分解可以理解为分属于态矢量在坐标表象的分解和在动量表象的分解。两次分解所得到的系数函数就分别是坐标表象的波函数和动量表象的波函数。

（二）可观测量与算符公设

该公设的内容是：“可观测量是可以被观测的物理量。每个可观测量X都有其对应的厄米算符，而算符的所有本征矢量共同组成一个完备基底。”

这条公设里所说的可观测量X可以是位置、动量等。公设里所说的厄米算符、算符的本征矢量、完备基底这三个概念及它们之间的关系，可以利用线性代数中矩阵的有关知识进行类比讲解。

例如一个矩阵，它有两个正交归一的特征向量和，特征值分别为2和4，即

（6）

两个特征向量和是正交的，即=0. 

此时任意一个二维向量都可以用和展开，例如：

（7）

在量子力学里的可观测量X所对应的厄米算符与其本征矢量之间的关系可以表示为：

（8）

表示算符的本征矢量，是相应的本征值。所以本征矢量是比较特殊的一类态矢量，算符作用于本征矢量时，所得的结果就是本征值与本征矢量的乘积。

可以将式（6）与（8）对比理解。算符与矩阵A对应，本征矢量与特征向量和相对应。本征值与特征值2和4相对应。本征矢量之间是相互正交的，即，与特征向量之间的关系相似。

所有本征矢量组成一个完备基底，意味着任意一个态矢量都可以展开为本征矢量的叠加。即

     （9）

是任意一个态矢量，与式（7）中的向量、相类似。态矢量以公式（9）的形式展开与公式（2）的展开完全一致。公式（2）的出现在本质上就是由这里的公设所决定的，只是为了在一开始便于对公设一进行解释，而事先引用了。此时可以把前后联系起来向学生讲解一下。在解释公设一还提到的态矢量分解形式不唯一，此时就可以把这种分解形式的不唯一，理解为可以换用另外一个可观测量所对应的算符的本征矢量对态矢量进行分解。

从公式（7）和（9）中也可以看出，特征向量属于向量，只不过是特殊一类的向量；本征矢量也属于态矢量，是特殊一类的态矢量。

（三） 测量公设

这个公设的内容是：“对一个物理系统就某个可观测量进行测量时，测量的结果就是相应的可观测量所对应的算符的本征值之一，测量后系统的态矢量就是那个本征值所对应的本征矢量。” 

针对于这个公设，我们可以做这样的形象理解。假设原先系统的态矢量为，我们准备对系统就某一个可观测量X进行测量，这个可观测量所对应的厄米算符为，测量过程就可以理解为算符作用于态矢量，系统的态矢量可能就是的某一个本征矢量，那么测量过程就如公式（8）所示，测量所得的结果就是相应的本征值，测量后系统的态矢量还是这个本征矢量。但是测量前系统的态矢量可能是由若干个本征矢量叠加而成的叠加态，即，那么测量后，系统的状态就不在是这个叠加态，而是概率性地塌缩为某个本征矢量，这个概率的大小就是，测量所得的结果就是这某个本征矢量所对应的本征值，之后系统的态矢量就变为了，不再处于原先的叠加态。

对量子系统进行测量时，如果系统处于叠加态时，测量结果具有概率性、随机性，测量前不可能准确预言出测量结果。这与经典决定论是矛盾的，学生在理解这个问题时会有很大的困惑。不过这个作为公设只需强调其内容的客观性，让学生们先直接接受这些内容，然后再引入测量的期望值概念。量子态处于叠加态时，测量前不能确定性知道测量结果，只能知道会出现某一个本征值结果的概率。为了对测量结果给出一定的描述，可以把每一种可能的测量结果值按概率进行加权求和，这样就得到了可观测量的期望值。这个期望值的大小应为。期望值的数学符号为。这一数学符号的含义是：

三、结束语

    通过类比讲解的方法，我们可以使学生比较清楚地理解掌握量子力学公设一、公设二以及公设三的含义。相比较而言，公设四和公设五不太容易通过类比讲解的方法向学生讲授。但学生在理解掌握了前三个公设后，学习公设四和公设五也相对变得容易。所以类比讲解的方法可以对学生学习理解量子力学基本原理起到很好的促进作用，这种类比方法值得授课老师采用。

参考文献：

[1]周世勋,陈灏.量子力学教程[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,2013.

[3]程守洙,江之永.普通物理学[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]叶伟国.大学物理[M].北京:清华大学出版社,2012.