基础知识是获得解题方法的能源-数学教学论文

现在不少初中生，涉及到数学问题，特别是解决几何问题无从着手。笔者认为，在素质教育的今天，基础知识的教学必须重视，在平面几何中，概念、定理、公理、以及由它们衍生出来的计算法则、推理程序和作图技法等，都属于基础知识范畴。基础知识是人们对实践经验所作的归纳、概括和总结，是从感性认识到理性认识的升华的结果，它们具有特殊性，又具有普通性。掌握了基础知识就抓住了基本要领，把握了事物的本质，就可以用它来解释那些千变万化、错综复杂的客观现象，亦即为我们提供了认识外部世界并改造外部世界的方法，指明了解决问题的途径。因此，基础知识也就成了提炼解题方法的能源。
我们从公理“两点确定一条直线”，可以在一个平面上熟练地作出一条直线，利用三角形相似的方法就可以证明一些两个角相等和两条线段的比的问题，利用切线的定义，可以证明一条直线是否是圆的切线等等。这些基础知识，为解题提供了方法，实际上，掌握了基础知识就能顺利地解决一些问题；脱离了基础知识，就会使解题陷入困境。基础知识是怎样向我们提供解题方法呢？以实例分析如下。
第一、概念提供解题方法
一般情况下，几何概念至少要给我们三种基本方法：一是对一个图形识别（判定）；二是图形的初步性质；三是图形画法。其中，一、二两条互逆。
例1   如图，直线PA是⊙O的切线，
其中，A是⊙O上的点，P是⊙O外一点。
（1）识别直线PA是⊙O的切线方法： 
（2）切线的性质；
（3）画切线PA的步骤：

①连结PO；②以PO为直径，与半圆（或圆）交⊙O于A（或A与A′）；③连结PA（或PA与PA′），PA（或PA与PA′）即为⊙O的切线。
除上述方法外，还有：
（4）过圆上一点A有且只有一条⊙O的切线。
（5）过⊙O外一点可作只能作两条⊙O的切线。
通常情况下，概念给出的方法是几何解题的初始方法，概念是思维的起点，是被定义的几何图形的本质属性，所以抓住一个图形的概念也就掌握了该几何图形的基本属性，任一个几何题目都含有若干个概念，它们会向我们提供很多方法和信息。因此，审题过程中切莫粗枝大叶，忽视了解题的这些基本线索——初始方法。
 
第二、由定理提供的方法
几何中，定理是对图形性质的集中概括，是定义的延伸，定理本身证明就是一种解题方法，除此之外定理是怎样证明？如何从复杂的图形中分离或构造出定理的基本图形？都蕴含着定理本身所特有的方法。
例2   证明：已知 = ，求证 = 。
证法一：（仿等比定理形成方法）

证法二：（用等比定理）

证法三：（用等比定理证明方法）

证法四：（等式、分式性质）

 
此例还有一些方法，关键在于我们要深入细致于研究它，挖掘它，尽可能地用定理及其形成过程提供的所有信息。
 
第三、由基本图形提供的方法
基本几何图形是几何概念、定理、公理的直观形态，是一种图形语言，实际上任何一个几何问题都是由若干基本图形的有机组合。因此，在分析的开始就应把基本图形分离出来，或因证明需要使用的基本图形构造出来，再进一步结合由基本图形所指明的概念或定理所给出的方法，进行由此及彼，由表及里，去精取精，去伪存真等的加工制作，直至使问题获解。
例3  在△ABC内，以BC为直
径的圆⊙O交AB于D，交AC于E，
BC=CE，求证：AB=AC。
分析：添加适当辅助线后，构造了多种基本图形，于是有：
方法一：
方法二：作OM⊥BD于M、ON⊥AC于N，
方法三：连结OD、OE，
            OD=OE
            OB=OC          △BOD≌△COE，
            BD=EC
方法四：连结CD、BE，
方法五：连结CD、DE，
DECB内接⊙O     ∠ADE=∠ACB
 
基本图形方法的使用应注意：①善于分析加联想；②善于联想加构造；③善于研究基本图形间的关系。
 
第四、解题经验提供的方法
解题经验取决于：因素一，对基础知识掌握到一定的熟练程度；因素二，不断地归纳总结。
例4．⊙O上一点O′,⊙O′交⊙O于A、B,作⊙O′的弦BC交⊙O于P，连结PA、AC，试确定△APC的形状。
分析：解此题用通常的作公共弦将无能为力且无法进行而陷入困境。
方法一：连结O′A、O′B
∠APB=∠AO′B= 2∠C=∠C+∠CAP
∠C=∠CAP      PA=PC
△APC是等腰三角形；

方法二：连结O′A、O′B、O′C，
则由O′A=O′B=O′C, 知∠O′AP=∠O′BP=∠O′CP，
        又∵∠O′CA=∠O′AC
∴∠PCA=∠CAP
∴PA=PC ， 即△APC是等腰三角形。
 
总的说来，基础知识与解题方法存在着辩证关系，解题方法源于基础知识，然而并不是一个消极因素，事实上，既无脱离基础知识的解题方法，也无不利用方法而获取基础知识，二者是对立的、统一的，解题方法来源于基础知识。