从数学方法论探讨高等代数与中学数学的多种联系

摘要：高等代数与中学数学之间联系较为密切：在知识体系上，高等代数是中学数学的进一步延伸和扩展；在思想方法上，高等代数是中学数学的沿袭与拓展；在观念理论上，高等代数是中学数学的深化与提高。总之，从数学方法上探讨高等代数与中学数学的多种联系，可具体归结为思想方法和观念理论上的一些联系，高等代数中的一些思想方法与观念理论对中学数学问题的求解有较大的辅助作用。本文从数学方法论的角度出发，对高等代数在知识结构、思维方式和观念理论上与中学数学之间的相关部分加以探讨，揭示中学数学教学改革的未来方向。

关键词：数学方法论；高等代数；中学数学；数学知识；思想方法；观念理论

   目前，中学数学教学方法创新是亟待改善的一大问题要点，对中学生数学教学方法改革创新不仅是新时代前进的基本要求，也是我国适应数学发展、走向世界的一大必然教育趋势。弄清高等代数与中学数学之间的多种联系，提升中学数学教学的效果是教育改革的重点。在中学数学问题求解中引入高等代数知识体系、思想方法和观念理论，可以更好地促进初等数学与高等代数的交流与融合，促进中学生思维思考能力的提升和后续数学教学的衔接。可以说，高等代数与中学数学是相辅相成的关系，初等数学的发展激发了高等代数的出现与应用，而高等代数的进一步发展也推动了初等数学的发展历程。为此，从数学方法论角度出发，探究高等代数与中学数学之间的多种联系具有重要的现实应用价值。

1. 知识方面的联系

从知识方面来说，高等代数与中学数学紧密相连。高等代数是对变量数学与常量数学知识综合化的多级抽象，而中学数学则是简单的常量数学与变量数学知识基础，这就决定了高等代数与中学数学的同胞相生却又有所差异的联系。将初等数学中的基本知识抽象化、复杂化就会衍生出高等代数知识，而将高等代数知识运用于中学数学问题中，则可以解释很多中学数学知识难以解释的问题，使得复杂的知识简单化，比如高等代数中行列式的消元化简就是对中学数学n次多元方程的简化延伸。将高等代数与中学数学教学相结合可以更好的促进学生思维逻辑的发散与锻炼，加深学生对基本理论知识的理解与运用，促进学生解题思维方法的扩展与速度质量的提升，进一步推动数学素质教育的发展。

2. 思想方法方面的联系

    高等代数与中学数字除了在知识方面有联系，在思想方法上更是一脉相承，主要分为五大思想和五大方法：

（1）抽象化思想

    在最初的小学数学中，首先接触的是从实物量化而来的数字，从此产生了算术运算的纪元。到了中学数学中，使用字母代表数字，进入了从一般情况出发探讨数字、公式、方程的阶段。后来在大学的高等代数中，字母又可以代表多项式和矩阵，并以此探索实际的代数系统。此外，还可以通过让字母代表抽象的对象，探索抽象的代数系统。由此可以发现，当概念抽象化水平越高，探索的范围也越广阔。

（2）化归思想

    利用化归的思想，中学数学将无理数的方程转换成有理数的方程，将分数方程转换成整数方程，将三元一次的方程组转换为二元以至一元一次方程，根据矩形推出平行四边形的相关公式。而根据化归的理论，高等代数把高阶的行列式转换成低阶的；把求线性方程组的解的个数转换成求增广矩阵的秩；把向量类的问题化归成坐标的问题，把二次型的探讨化归成实对称矩阵的问题。

（3）分类思想

    根据概念来划分，中学数学包含对数划分、对代数式划分等等；而根据研究对象高等代数课把次数比零大的多项式划分成可约分以及不可约分，把二次型划分成正定式、负定式、不定式。此外，还可以根据元素之间的等价情况划分，根据向量空间的同构关系划分等等。

（4）结构思想

    从结构思想这方面来比较分析的话，两者都是利用现代数学的看法及措辞编纂的教科书，因此表面看来就有很多类似的地方。由负数到负数多项式以及负数元素，从倒数到逆矩阵以及逆元素，由算术运算到集合、多项式、矩阵的运算定律，从数字之间的关系到集合之间的关系、多项式之间的关系。    

（5）类比推理思想

    根据类比思想，中学的数学从分数的性质推出分式的性质；从两条直线之间的关系推出两个平面的关系；从直角三角形的勾股定理推出空间的勾股定理。而高等代数从整数整除思想推出多项式的整除理论；向量的一般要素之间的关系推出多维欧式空间内向量的一般要素关系。

3. 观念方面的联系

    高等代数是中学数学初步接触的概念的深入研究。通过观察中学数学的探索对象可以发现，数学探索的是真实世界的数量联系以及空间的模式。但是从中学数学的代数式、方程、点线面到高等代数的集合、多项式、矩阵，可以发现数学已突破传统的观念，向量空间、欧氏空间已进入研究的领域。这种观念上的进步应该是中学数学教育改革的重点考虑对象。

    说到数学，首先进入大脑的就是抽象、严密和庞大的信息量。但是仅仅从现在的中学数学教育中很难感受到这样的感觉。第一抽象性：以字母代表数字的方式在中学数学中使得孩子们对抽象有了一些感受，然后如何利用这种抽象思维却不是很了解，在学习了高等代数之后，接触的案例很快就增加了。举个例子来说，在进行诸如几何向量这样的研究对象的数学运算时，抽象出向量空间的意识，并把几何向量赋予实数领域中的向量空间即可有欧氏空间的意识。因此，数学探索的对象在抽象程度的增强过程中持续增加，使得所得的结果更为根本。第二严密性，考虑到中学生的接受能力，书本中严密的定义很少，很多问题往往使用图形来形象话问题，因此严密性不够。但是高等代数不管如何都是从严密的定义开始，一步步根据逻辑得到结论。第三信息量庞大，数学是生活应用最为广泛的一门学科，每一个人每一个行业或多或少都会使用到数学，尤其是工程类，研究类型的专业，在数学方面要求更高。中学数学虽然比较简单，但是也可以应对部分容易的问题，在教育方面不容忽视；而高等代数难度上大大得到了提升，它解决问题的功能也大大提升了，可以用来很多复杂的问题，像金融计算、投入规划等等。总而言之，研究的越深，应用的就越多。

4. 结束语

    中学数学和高等代数相互渗透，高等代数与中学数学联系紧密，将高等代数的方法应用与中学数学教学中，能够解决了中学数学学习中只知理论不知来源的弊病，同时可以实现中学数学学习向高等代数学习的良好过渡。而中学数学中像几何证明思想、随机思想、极限思想等这些重要而又基本的数学思想对于以后学习高等代数来说，也是最基本而又非常重要的保障。将高等代数知识体系、思想方法、理论概念与中学数学教学联系起来是新世纪创新型人才培养的基本战略，也是素质教育发展的必然趋势，具有非常广阔的应用空间。

参考文献：

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