拓展创新思维、培养创新能力-数学论文发表

2010年5月25日至26日在北京举行的全国人才工作会议上胡锦涛发表了重要讲话：全党全国要统一思想，真抓实干，全面落实加快建设人才强国各项战略任务，努力培养造就数以亿计的高素质劳动者、数以千万计的专门人才和一大批拔尖创新人才，进一步开创我国人才事业的新局面，为全面建立小康社会、加快推进社会主义现代化、实现中华民族伟大复兴提供有力人才保障。人民日报发表社论《加快建设人才强国》强调：人才，是强国的根本，人才资源是第一资源。作为农村初级中学的一名普通数学教师，听后看后，倍受鼓舞，深知党和政府对 人才特别是创新人才的高度重视，我也深感自身教书育人的担子重了，责任大了，我应该怎样拓展学生的创新思维，培养学生的创新能力呢？又应该怎样体现在数学课堂教学中呢？我带着这个问题，在课堂上作了如下尝试，整理出来，与大家共勉！

一、数语道破创新基本原理

简单地说：创新思维就是产生新思想、新概念的思维。创新思维是创新能力的核心因素和创新意识的主要内容，是创新活动的灵魂和发动机。创新能力是指：一个人（或群体）在前人发现或发明的基础上，通过自身的努力，创造性地提出新的发现、新的发明和新的改进改革方案的能力。表现在数学方面的创新能力是指一个学生在创新活动中所具有的提出问题、分析问题的解决问题这三种能力 的总和。创新能力并非少数人才具有的一种能力，而是人人都具有的一种能力，可以通过启发、教育、培训得到提升的一种潜在的能力。否则所有的创新理论都将失去存在的必要和意义。所以创新人人可为、时时可为、处处可为。就拿苏科版数学八年级下册第十一章复习题第16题来说吧，它就是一道培养学生创新能力的绝妙好题。

二、引入好题拓展创新思维

设疑问难是通向创新的第一阶梯，是培养创新能力的重要方法。陶行知指出：“学贵有疑，大疑则大进，小疑则小进，不疑则不进”，并明确地说：“这个疑字我当重用它”。我是这样设疑的：同学们！今天我们比比看，谁的创新能力最大？比如：当两条平行线被第三条直线所截时，有哪些角相等或互补？一下子把学生的数学兴趣提了起来。接着，用多媒体投出如下的题目：

已知：如图1，AB∥EF∥CD

你能证明∠B+∠D=∠BED吗？

同学们异口同声地说：“能证明。”说完，就迅速写出了“ 合情推理”的过程。其中一名学生的过程如下：

证明：  AB∥EF （已知）

∴∠B=∠BEF（两直线平行，内错角相等）      

EF∥CD  （已知）  

∴∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）

∠BED=∠BEF+∠DEF

∴∠B +∠D=∠BED（等量代换）

这种“合情推理”有理有据，同学们要牢牢掌握这一方法。

再来看这样的一道吧！你会做吗？（出示题目）

已知：如图2，AB∥CD，你能证明∠B+∠D=∠BED吗？

你有几种证明方法？同学们一看，这不是与例题差不多吗？但少一个条件，怎么办？有的同学说：“少了条件我们就添上去” ，赞同的同学越来越多。由于有了上题的解法基础，这题解起来也就顺手多了。

证明（一）：过点E作EF∥AB，  AB∥CD ∴EF∥CD                               

 （以下的内容与上题相同）如图3。

有的同学提出：“EF能画在∠BED的内部，能不能画在∠BED的外部？”这一问一下子点燃了同学们的创新火花，当即同学们都动手画了起来。同学们边画边思考，突然有个同学大声说：“孙老师，这种证法还要用到周角的知识”，           我听后就鼓励他说：“你把你的创新成果展示一下” ！这位

同学自信地讲了起来：如图4。

证明（二）：过点E作EF∥AB，

 AB∥CD（已知）

∴EF∥CD （平行于同一条直线的两条直线平行）      

∴∠1+∠B=180⁰（两直线平行，同旁内角互补）     

∴∠2+∠D=180⁰（两直线平行，同旁内角互补）                     

∠1+∠2+∠BED=360⁰（周角定义）

∴∠B+∠D=∠BED（等式性质）

这位同学展示完毕，赢得了全班同学的掌声。我这时又启发说：“还有其它方法吗？”于是同学们又进入到紧张的创新思维阶段。不一会就涌现出如下几种不同

的解法：（为了叙述简便，各步依据省略，只画出图形，再加上简要的说明即可。）

如图5，延长BE交CD于F，由AB∥CD可得∠1=∠B；由∠2是△EDF的一个外角可得，∠2=∠1+∠D；故∠B+∠D=∠BED。

如图6，连结BD，由AB∥CD可得∠1+∠3+∠2+∠4=180⁰；由△BED的内角和可得，∠1+∠2+∠E=180⁰可得：∠E=∠3+∠4；故∠B+∠D=∠BED。

如图7，过点E作直线FG交AB于F、CD于G，由AB∥CD可得∠3+∠4=180⁰；由△BEF与△DEG的内角和可得，∠1+∠3+∠B=180⁰，∠2+∠4+∠D=180⁰，从而得出∠1+∠2+∠B+∠D=180⁰；由平角∠FEG可得∠1+∠2+∠5=180⁰；所以∠5=∠B+∠D，故∠B+∠D=∠BED。

如图8，过点B作直线BG∥ED交CD的延长线于点G，延长AB到F，由AB∥CD可得∠1=∠2=∠3，∠5+∠6=180⁰；由平角∠ABF可得∠3+∠4+∠5=180⁰；所以∠6=∠4+∠1，故∠B+∠D=∠BED。

如图9，过点E作直线EG∥AB，延长BE到H，延长DE到F，由AB∥CD可得∠1=∠B，∠2=∠D；由∠FEH与∠BED是对顶角可得∠FEH=∠BED即：∠1+∠2=∠BED；故∠B+∠D=∠BED。

同学们的精彩展示，显示了学生对创新潜能的挖掘水平，既拓展了创新思维，又培养了创新能力。学困生王小林说：“这堂课，我真的有收获了！”另一位学困生刘玲说：“孙老师，我的图形画的有点偏差，我探索的结果也与例题有点类似，请你指点指点。”于是，我接过她的本子一看，情不自禁的说：“啊！太漂亮了！原来你的创新能力这么强大。”同学们听后，都争着要看呢！

三、继续研究培养创新能力

原来她在作业本上画着这样的图（如图10），这是典型的发散思维，同时也是创新思维的主要表现形式。学困生的潜能是可以开发的，为了让刘玲更进一步，我就把这道题写成：已知：如图10，AB∥CD，∠B+∠D=∠BED还成立吗？

你有几种证明方法？

刘玲的创新解法展示：

如图11，由AB∥CD可知，∠1=∠2；由∠4是△BED的一个外角可知，∠4=∠3+∠E；所以∠1+∠4=∠2+∠3+∠E，即∠ABE=∠CDE+∠E（如果去掉辅助线，则是∠B-∠D=∠E），结论：∠B+∠D=∠BED虽然不成立，但可以确定∠B-∠D=∠E。我当众表扬了刘玲的进步，同学们也投去敬佩的目光。我说：“同学们！再来对刘玲的创新题目进行深入地研究，看看有没有新发现？”，话音一落，同学们就开始了新一轮的探究活动。过了一段时间，同学们的新证法跃然纸上，个个都想展示。归纳一下，有以下几种不同的证明方法：

如图12，过点B作直线HG∥ED交CD于点H，则有∠3=∠4，∠2=∠D；由AB∥CD可得∠1=∠2，所以∠1+∠3=∠D+∠4；即∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=

∠E。

如图13，延长AB交DE于F，由AB∥CD可得∠1=∠D；由∠2是△BEF的一个外角可得，∠2=∠1+∠E；所以∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=∠E。

如图14，过点E作直线EF∥CD，则有∠1+∠2+∠D=180⁰；由AB∥CD可得AB∥EF，∠1+∠B=180⁰；所以∠2+∠D=∠B，即∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=∠E。

如图15，延长EB交CD于F，由AB∥CD可得∠1=∠2；由∠1是△DEF的一个外角可得，∠1=∠D+∠E，即∠2=∠D+∠E；所以∠ABE=∠D+∠E，故∠B-∠D=∠E。

如图16，过点E作直线EF∥AB，则有∠1+∠2=∠B；由AB∥CD可得CD∥EF，∠2=∠D；所以∠1+∠D=∠B，即∠B=∠D+∠BED，故∠B-∠D=∠E。

如图17，过点E作直线MN∥AB，则有∠1+∠B=180⁰；由AB∥CD可得CD∥MN，∠3=∠D；由∠MEN是平角可得∠1+∠2+∠3=180⁰，所以∠2+∠3=∠B，即∠B=

∠D+∠BED，故∠B-∠D=∠E

如图18，过点E作直线PF∥AB，过点D作直线DF∥BE交直线PF于点F，由AB∥CD可得CD∥PF，则有∠2+∠1+∠3=180⁰，∠1=∠5，∠3=∠4，∠4+∠B

=180⁰，所以∠2+∠5=∠B，即∠B=∠EDC+∠BED，故∠B-∠D=∠E。

如图19，过点D作直线DF∥BE交AB的延长线于点F，由AB∥CD可得，

∠2+∠1+∠4=180⁰，∠1=∠E，∠3=∠2，∠5+∠3=180⁰，所以∠5=∠4+∠E，即∠ABE=∠EDC+∠E，故∠B-∠D=∠E。

因此，一个有趣的问题从一题多解转化为一题多变。

一题多解，培养学生求异创新的发散思维，实现和提高思维的流畅性。通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。使不同的知识得以综合运用，并能从多种解法的对比中优选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力得以提高，使思维的发散性和创造性得到增强。一题多变，培养学生的转向机智及思维的应变性，实现提高发散思维的变通性。把习题通过变换条件，变换结论，变换命题等，使之变为更有价值，有新意的新问题，从而应用更多的知识来解决问题，获得“一题多练”“一题多得”的效果。

突然间，有一位不爱多说话的朱小江大声说：“孙老师，我又想出一种与众不同的创新解法，你与同学们想知道吗？”，大家异口同声地说：“想知道！”

四、妙题多变取得更高效益

朱小江走上讲台，边画图边讲解。如图20，噢！他原来讲得是第一组问题，简述如下：

如图20，在线段DE上任取一点S，过点S作直线RF∥BE交AB的延长线于点F，交CD于点R。则∠3=∠E；由AB∥CD可知，∠2=∠F=∠1；由∠3是

△SRD的一个外角可得，∠3=∠1+∠D；所以∠E=∠2+∠D，故∠B+∠D=∠BED

这个解答确实别具一格，其它解法都是从点引出辅助线，而朱小江的方法是从线段上任意取点引出辅助线，真正做到解题创新，并收到了好的效益。其实，只要能拓展创新思维，就一定能培养同学们的创新能力，一定还能创造出新的解题方法。为了让同学们尽兴，不妨来探究一下下面的两道题目：

1、已知：如图21，AB∥CD，∠B-∠D=∠E还成立吗？

你有几种证明方法？ 

2、已知：如图22，点B、E分别的AC、DF上，    AF分别交BD、CE于点M、N，∠1=∠2，

∠A=∠F，

求证：∠C=∠D。

你有几种证明方法？

由此可见，在数学课堂教学中要鼓励创新，爱护创新，使一切创新想法得到尊重，一切创新举措得到支持，一切创新成果得到肯定。要关心学困生的创新过程，千方百计地帮助学困生排忧解难，要通过大力表彰和广泛宣传优秀学生的创新事迹，营造尊重科学、鼓励创新、团队合作的课堂氛围，在全班形成人人创新的良好风尚，为培养造就数以亿计的高素质劳动者、数以千万计的专门人才和一大批拔尖创新人才而奠定基础。