应急物流中成本与公平考量的博弈

应急物流的主要目标是在灾难发生前后拯救生命和减轻人类痛苦。国内外的诸多学者针对有限的资源，从物流成本[1]、需求满足率[2]以及响应时间[3]等方面进行了大量的研究。然而，上述研究忽略了受益人得到公平援助的权益。疫情中的武汉和上海的物资分配问题凸显了保障受益人权益的重要性。近年来，随着人道主义原则的提出，越来越多的学者开始关注从受灾者本身出发，缓解他们的心理创伤，寻求一种高效且公平的应急物资分配方案。

  目前国内外关于衡量公平分配的函数没有统一的标准，主流的研究采用剥夺成本[4]、最大最小函数[5]、嫉妒与同情函数[6]等构造表示公平性的函数。例如，Holguin-Veras 提出使用社会成本，通过在物流成本上增加剥夺成本作为灾后物流模型的目标函数。剥夺成本被定义为 “无法获得商品或服务有关的人类痛苦的经济价值”。朱莉[4]构建了一个多目标动态应急物资分配模型并提出相对剥夺成本来刻画救援的公平性。陈莹珍[5] 通过最大化物资的运输量以及最小化最大运输时间的目标函数来刻画公平性。陈刚[6]构建了以总加权嫉妒值最小为公平目标，以总物流成本最小为效率目标的多目标数学优化模型以应对灾害初期物资分配以及路由规划的问题。

关于应急物流公平性的研究中，大多数的研究都是将代表公平性的函数作为目标函数，一部分单独将公平性作为唯一的目标函数，另一部分采用多目标规划，公平性是其中的一个目标函数。对于多目标规划，将公平性函数直接放到目标函数中，决策者可以直观的到公平性与成本或者其他效用目标的均衡解。但是却忽略了决策者对于不同目标的偏好，换言之，决策者不能实现自己期望的公平水平。基于此，我们提出了约束导向的公平函数，将公平性函数作为约束条件，并设置一个公平偏差变量，决策者可以根据其对公平的偏好交互的得出基于其公平偏好水平下的物资分配方案。此外，关于公平函数的选择，大多数研究构建的公平性函数都是线形化或者容易线形化的函数以方便寻求解决方案。考虑到线形化的难度，关于福利经济学中反应收入差距的基尼系数作为公平性函数的研究并不多。在本文中，与其他研究所不同的是，我们尝试引入了福利经济学中的基尼系数作为公平性的函数的表达。最后，不同于以往的研究，我们量化了成本与公平之间的博弈，即成本投入与公平性改善之间的定量关系。这对于决策者来说，可以直观的感受到改善公平性所需要额外投入的成本，以方便决策者合理的做出灾后救援的决策。

1  建模准备

2.1  问题描述与研究假设

在有限资源、车辆容量以及旅行时间限制下，考虑灾害发生以后应急物资的分配以及车辆路由的规划问题。简单来说，为满足多个受灾点对于应急物资的需求，采用单批次多车辆调配策略，通过构建兼顾公平性（满足决策者所提出的公平水平）和效率（最小化总社会成本）的应急物资分配模型，探究物资分配的公平性与社会总成本之间的平衡关系。

  本文重点关注公平改善与成本投入之间的关系，因此在单物资种类的变体VRP框架下构建模型，所提出的假设如下：（1）受灾点的需求以及位置是已知的；（2）车辆规格相同，从仓库满载出发，返回仓库时允许有未分配的多余物资；（3）如果需求未得到满足，需求点的灾民会产生心理创伤并且这一创伤可用经济损失衡量；（4）各个受灾点仅接受单车服务，不允许多车多次服务。这一模型可以帮助我们获得访问受灾点的顺序、每个受灾点分配应急物资的数量以及如此的调度方案所产生的社会成本以及公平水平。

1.2  符号说明

本文采用以下参数作为模型的输入：

（1）集合

：仓库  以及受灾点的集合，；

：受灾点的集合；

：网络中的弧线集合；

：车辆的集合；

（2）参数

：公平偏差限制，决策者所要求达到的最低公平水平；

：极大的常量；

：车辆的容量；

：车辆的最大旅行时间；

：车辆的运营成本；

：车辆从  到  所产生的旅行成本，；

：车辆从  到  所花费的时间，；

：需求点  的需求，；

：车辆服务需求点  的服务时间，；

：车辆  到达需求点  的时间，；

（3）决策变量

：车辆  遍历弧 ，则 ，否则，，；

：车辆  访问需求点 ，则 ，否则，，；

：车辆  分配给需求点  的应急物资数量，；

：需求点  收到的应急物资，；

：车辆  从  直接运输到  的应急物资数量，；

1.3  公平指标与成本指标

基尼系数是国际上用来综合考察居民内部收入分配差异状况的一个重要分析指标。当个体收入差距大时，基尼系数就高；相反，基尼系数就低。基尼系数是根据洛伦茨曲线，即收入分布曲线计算的，其在洛伦兹图中被定义为描述相对财富的曲线与平等线之间的面积与该线下的三角形面积之比[7]。在本文中，我们使用一种等效的数学表示法提出的相对公平的定义，来构建基于每个需求点收到应急物资数量的基尼系数表达。对于每个需求点所收到的物资数量 ，基尼系数： 

它是一个介于0和1之间的数值。数值0代表完全公平，即所有个人分享相同的资源收益或损失，而数值1则代表完全不公平。

此外，我们将应急物资分配模型产生的成本分为两部分，一部分是从运营者角度考虑的运营成本，即运输费用。另一部分是从受灾者角度考虑的剥夺成本，即受灾者因为需求未得到满足产生的心理创伤成本。这一成本最初由Holguín-Veras所提出并广泛的应用到应急物流中。鉴于模型假设仅考虑单物资，我们给出因缺乏应急物资而导致受灾点  的创伤经济度量值：

其中， 和  是两个常数。从剥夺成本的构建我们可以看出，这是一个成本随着物资数量的匮乏呈指数增长的函数。

1.应急物资分配模型

基于上述建模准备，构建如下应急救援的物资分配模型，该模型

主要解决的决策问题是：在容量约束、旅行时间约束以及决策者所要求的最低公平水平约束下，寻找使得运营方的物流成本与被援助方的剥夺成本加总最小的分配策略以及路由调度方案。

目标函数（1）表示最小化社会总成本，其中包含车辆的运输费用、车辆的发车费用以及需求点的剥夺费用，体现了应急救援的社会成本最小化；约束条件（2）表示可使用的车辆不能超过仓库所拥有的车辆；约束条件（3）和（4）表示每辆车从仓库出发然后返回仓库并且已经返回的车辆不能再次使用；约束条件是（5）流量平衡限制，即车辆访问某个需求点后必须离开它；约束条件（6）表示每个需求点必须被访问并且分批交付应急物资是不允许的；约束条件（7）表示只有车辆经过需求点时，该需求点才会被访问；约束条件（8）给出了车辆访问需求点时交付给该点应急物资的数量；约束条件（9）是车辆的旅行时间限制；约束条件（10）是公平偏差限制，即模型求解得到分配方案的公平指标不能超过决策者所要求的最低公平限制，体现了应急救援公平的考虑；约束条件（11）和（12）是车辆的容量限制；约束（13）是车辆到达时间的约束；约束条件（14）表示如果车辆访问某个需求点，那么必须给该需求点分配应急物资，这一约束的目的是防止模型为了满足公平偏差限制，选择不给任何一个需求点分配物资；约束条件（15）表示了变量的完整性与非负性。

由于约束条件（10）是一个非线形的约束条件，为了方便求解，将其转化为线形约束：

其中，。

2  案例分析

2.1  案例介绍

2010年4月14日，青海省玉树藏族自治州玉树市发生6次地震，最高震级7.1级，震源深度13公里。以玉树地震为案例场景，结合真实数据以及部分仿真参数，探究灾后应急帐篷的运输与分配问题。

依据玉树地震的灾情报告，选择12个乡镇受灾点和灾区附近玉树市结古镇作为应急物资集散中心。帐篷的重量为2kg/顶，需求量根据各个乡镇当地的居民数量来估计；救援车辆的数量为6辆，每辆车的载重为40吨，行驶速度为50km/h且工作时间不超过8h；车辆的运营成本包括运输成本以及发车成本，分别按照当地每公里的油耗价格以及当地货车发车的费用来估计；车辆访问每个乡镇受灾点的服务时间一致为0.5h；车辆的行驶时间是由经纬度计算得到的距离与行驶速度的比值；关于剥夺函数的系数，分别取 ， 。

2.2  求解方法

  传统的VRP问题已经被证明为NP-hard问题，而我们所构建的应急物资分配模型是VRP问题的变体，因此不难证明我们所要求解的模型也是NP-hard问题。目前关于此类问题的求解方法分为两大类，一类是利用商业求解器，例如：CEPLEX、GUROBI等进行求解，此类求解器适用于小规模算例。另一个求解方法是设计启发式算法，例如；遗传算法、蚁群算法等进行求解，所得到的解并不是最优解，而是一个近似最优解，这一类求解方法适用于大规模算例。

  考虑到我们所探究的问题重点是成本与公平的平衡而不是求解的速度，并且所介绍的案例属于小规模案例。因此我们使用python调用了GUROBI求解器对上述案例进行了求解。当然，针对大规模问题，我们这里也提供了启发式算法设计的思路。考虑一个两阶段算法，包含路由检索阶段与应急物资分配阶段。（1）路由检索阶段，可以采用合适的搜索算法，尽可能多的搜索出满足旅行时间等限制的路由。（2）应急物资分配阶段，对于给定一个路由，我们给出满足公平偏差限制的方案。（3）综合考虑，对于路由检索阶段所搜索到的每一条路径，我们采用应急物资分配阶段的方法分别得到其目标函数值，最后找到所有路由中目标函数值最小的路由即为近似最优的解决方法。

2.3  敏感性分析

  在本节中，我们通过调整公平偏差限制来探究成本与公平性之间的博弈。因为基尼系数是一个不超过1的数值，所以公平偏差限制应该在0-1之间。将  以0.1为步长，分别设置十个不同的 ，然后对该案例在不同  下进行求解，结果如表1所示。

表1 不同公平偏差限制下的最优解

公平偏差限制（W） 社会成本（¥） 基尼系数 满足公平偏差的投入成本（¥） (投入成本/社会成本)x100%

1.00 9207.33 0.68 / /

0.90 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.80 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.70 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.60 11103.83 0.51 1896.49 20.60%

0.50 12335.88 0.48 3128.54 33.98%

0.40 13875.61 0.36 4668.28 50.70%

0.30 15630.87 0.24 6423.54 69.77%

0.20 19479.88 0.15 10272.55 92.51%

0.10 24540.69 0.09 15333.35 124.30%

  由表1可知:（1）当  时，此时模型等价于不考虑公平性而只对社会成本最小化，因此这是一个社会成本最小化解决方案。（2） 取值过大时，并不会使得社会成本增加，这是因为如果不考虑公平性而仅仅最小化社会成本，那么也会存在一个基尼系数，如果  取值较大，仅最小化社会成本的方案也会被接受。（3）随着决策者对应急物资分配的公平性逐渐重视，所需要投入的额外社会成本也逐渐增加。（4） 按照步长0.1逐渐减少，额外投入成本的斜率是上升的趋势。例如：， 成本需要增加13.38%；，成本需要增加16.72%；同理，成本的增加量为19.07%、22.74%、31.79%。这说明决策者在选择公平偏差限制时，要考虑成本投入带来公平性改善的性价比是否在自己的心理预期内。

  此外，我们还通过改变模型中的一些参数来探究成本与公平的博弈。表1展示了这一结果：增加车辆的旅行时间、降低车辆访问需求点的服务时间以及增大车辆的容量都可以降低改善公平性所需要投入的成本。前两种措施的本质是使得车辆相较于之前可以访问更多的需求点从而减少车辆的使用，降低了发车费用；此外，同一辆车访问更多的需求点也有利于同一车辆上的物资通过转移的方式提升公平性。增加车辆容量的本质是增大了供给，因此会降低需求点的剥夺成本；此外容量的提升也有助于需求点之间应急物资通过转移来改善公平性。

表1 不同公平偏差下成本的投入

3  结  论

本研究考虑兼顾社会成本与公平性的应急物资分配和路由调度。首先,为强调人道主义救援公平性原则，引入了福利经济学中的基尼系数并将其纳入约束条件中，以社会成本最小化为目标构建了一个与决策者交互的应急物资分配模型并且探究了成本与公平之间的权衡。然后，以2010年玉树地震为案例背景做对比分析，以展示不同公平水平下成本的投入。最后，通过实施敏感性分析来讨论不同旅行时间、服务时间以及车辆容量下公平与成本之间的博弈。

未来研究可考虑需求不确定的情景下成本与公平的博弈，也可以考虑多品类物资的分配与路由规划。此外，考虑将代表公平函数的基尼系数纳入目标函数中，构建单目标或者多目标规划并探究寻优方法也是一个可行的方向。

本文来源：《物流科技》https://www.zzqklm.com/w/jg/30901.html