运用支架理论实现初中几何证明简洁化-数学论文

这是一道典型的利用中点构造关于中点中心对称三角形的题目。本题虽然只有简单的两个条件,分散在两个三角形中,但这两个三角形很明显不能证全等,同学们知道要作辅助线,但以前接触过的添辅助线的方法只有联结、延长以及作垂线,所以本题中辅助线的添加,在学生思维区里有个不小的跳跃,学生自行探索起来非常困难。通常情况下绝大部分学生都是望而生畏。
设置支架一:动画演示
我用几何画板动画演示,把△ABD绕着点D旋转180°,得到△A′B′D,学生不难发现:
①点B′“恰好”与点C相重合,旋转后的△A′CD与△ECD能拼成一个三角形;
②△EA′C是等腰三角形,即A′C=EC;
③根据旋转的意义可知AB=A′C,通过等量代换可以得到AB=EC。
也就是说,如果△A′CD与△ABD关于点D中心对称,那么接下去的问题都容易解决。
设置支架二:构造全等三角形
如何构造一个三角形与△ABD关于点D中心对称呢?这个问题比较抽象,我把它分成了几个小问题。
问题1:点B′为什么恰好与点C重合?(这个问题的设计既可以解释B′为什么恰好与点C重合,又可以让学生审清题目的条件D为BC的中点)
问题2:△ABD与△A′CD全等吗?
问题3:不考虑旋转,要使△A′CD≌△ABD,条件够吗?若够,请证明它们全等,若不够,你需要添加什么条件?
第三个问题的提出,学生的信心回来了!因为全等学生们一直在运用。归纳起来,学生有三种添加的方法:①加AD=A′D②加∠1=∠A′③加∠B=∠A′CD。
下面需要的是如何引导学生用规范的几何语言恰当地表述:
①加AD=A′D,用规范的几何语言可描述为延长AD到点A′,使AD=A′D。AD可以看作是△ABC的中线,延长AD,使AD=A′D,可以归纳为“中线加倍”。
②∠1=∠A′或者∠B=∠A′CD,都可以由A′C∥AB得到,所以这种作辅助线的方法可以用几何语言描述为:过点C作AB的平行线,交AD的延长线于A′。
本题的证明方法I:延长AD点A′,使AD=A′D,联结A′C。
∵D为BC的中点(已知)∴BD=CD(中点的意义)
∵BD=CD(已证)∠ADB=∠A′DC(对顶角相等)AD=A′D(作图)
∴△ABD≌△A′CD(S.A.S)
∴AB=A′C,∠1=∠A′(全等三角形的性质)
∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠A′(等量代换)
∴EC=A′C(等角对等边)∴AB=EC(等量代换)
本题的证明方法II:过点C作AB的平行线,交AD的延长线于A′,联结A′C。
∵AB∥A′C(作图)∴∠1=∠A′(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠2(已知)∴∠2=∠A′(等量代换)
∴EC=A′C(等角对等边)∵D为BC的中点(已知)
∴BD=CD(中点的意义)∵∠1=∠A′(已证)∠ADB=∠A′DC(对顶角相等)BD=CD(已证)
∴△ABD≌△A′CD(S.A.S)
∴AB=A′C(全等三角形的性质)
∴AB=EC(等量代换)
二、举类似例题,便于归纳,形成模型
例2如图,AD为△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且AE=EF。求证:AC=BF
辅助线添加方法I:延长AD点M,使AD=MD,联结BC。
辅助线添加方法II:过点B作AC的平行线,交AD的延长线于M,联结BM。
通过上述两个例题的学习,以及老师的引导,学生可初步发现并总结出一些规律。
在上述例题中有一个非常特殊的点——中点,我们是如何利用这个特殊点的?
引导学生归纳,如果有中点,我们可以尝试通过中线加倍或者添平行线构造一个三角形关于中点中心对称。
提出问题:在例1中我们首先是构造△A′CD与△ABD关于点D中心对称,你能否构造△E′BD与△ECD关于点D中心对称?例2还可以如何作辅助线呢?
如果学生已经领会了解决此类问题的思路,那么一定会衍生出不同的作法。教是为了不教,教师可以适时引导学生归纳,让学生不自觉地触类旁通,形成知识的建构。
四、实践反思
数学教学要注重过程和方法,提倡在学习过程中学生的自主活动,培养学生发现规律、探求模式的能力。但是自主活动并不排斥师生之间的合作互动,有时候学生的自主探索,需要教师的激发以及及时适度的点拨。“当跳一跳苹果够得到时,孩子才有跳起来的欲望。”所以教师应在学生需要帮助时提供合适的学习“支架”,让学生有信心、有能力去探索。只有当学生的自主性得以充分发挥,才能真正学好数学。但是学习“支架”的提供要恰到好处,而且在知识的形成过程中要根据学生学习的实际情况逐渐拆去“支架”,并随着学生学习能力的提高而逐渐减少“支架”。
通过本案例的教学,学生不仅领会了作辅助线的思想,而且在突破障碍、得到结论的过程中,分析问题、解决问题的数学能力获得提高,钻研精神有了长足的进步。