换元法在复积分中的应用-数学论文发表

摘要：工科复变函数是大学工科类专业的一门重要基础课，它是高等数学内容的延伸。与高等数学相比，在计算积分方法，积分性质等方面的存在巨大区别，在授课过程中，指出它们的区别和联系将有利于加深学生对复积分的理解。

关键词：复积分；曲线积分；换元法；

中图分类号：O13

在复变函数的解析理论中，复积分是研究解析函数的重要工具，研究复级数理论的重要基础，其计算方法多种多样，学生很难系统理解和应用这一重要知识模块。因此，在教学过程中，要灵活采用对比教学法，对所讲授的复积分内容进行纵横对比，让学生认清它们的异同，便于把握复积分理论与计算中的本质。本文着重对复积分与实积分的换元法进行对比研究，并给予总结。

先从一个具体的例子出发：试计算复积分 为 逆时针路径。由于被积函数在 内不解析，此题不能通过配元法（第一类换元）找原函数来解答。然而，可利用对数留数定理求解知，

另一方面，作变换 ，则将 映射为 ： 顺时针路径。

由此可见，在计算形如 的复积分时，往往不像计算定积分时，通过配元法计算，而是利用对数留数定理计算。另一方面，适当换元可以简化复积分的计算，但换元过程中，曲线方向的确定是一个容易出错的地方。

例2. 计算复积分分 为正向圆周 。

解：作变换 ，则将 映射为 ：反向圆周 。因此，

例3. 计算复积分分 为正向圆周 。

解：类似例2，作变换 ，可得

其中 为反向圆周 。

类似，还有许多复积分在变换 作用下，使计算更为简单，比如

以及 等，其中积分路径是正向圆周。

总之，通过作适当的变量替换化简复积分的计算，是复积分计算中的重要方法。在教学过程中应要求学生掌握这些计算方法，着力培养其计算能力，进而更牢固掌握这些知识点。在学习复变函数的过程中，注意跟高等数学中的内容及方法做比较，势必会使我们的复变函数与积分变换的知识容易掌握的多。